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人教版数学八年级11.1.2教学设计
课题
11.1.2三角形的中线、高于角平分线
单元
第十一单元
学科
数学
年级
八年级
学习目标
1.知识与技能（1）理解三角形的高、中线与角平分线的概念；（2）会画三角形的高、中线与角平分线；（3）三角形在实际生活中的应用。2.过程与方法通过观察、操作、交流等活动发展空间观念和推理能力。3.情感态度和价值观采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精神。
重点
1．了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线。2．了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点。
难点
1．三角形平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别。2．三角形高的画法。3．不同的三角形三条高的位置关系。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
提问：你还记得
“过一点画已知直线的垂线”
吗？请大家思考一下，然后挑同学回答。课件展示。关于垂线的画法，我们可以总结八个字：一贴二推三靠四画。相信大家对这个都不陌生。【过渡】在上节课我们学习了与三角形有关的线段，那么如果我们要在三角形上画其中一点的垂线，又会是什么样的情况呢？今天我们就来学习三角形的高、中线与角平分线。
学生观察，讨论，回答老师的问题
由学生自由讨论，增加学生的思考能力，并引出本节课的内容，吸引学生的兴趣。
讲授新课
1．三角形的高【过渡】现在，请大家在纸上任意画出一个三角形，然后根据刚刚垂线的画法，做一下其中一条边的垂线吧。（老师巡视，同时指出不足）【过渡】我看大家画的都很不错，现在，大家把与直线相交的点任意标一个字母吧，比如D，那么AD就是我们所谓的三角形的高。（1）三角形的高定义：三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线。【过渡】我们知道，三角形有三种类型，那么这三种类型的三角形的高又都有哪些不同呢？大家一起来动手画一下吧。课件展示【过渡】对于锐角三角形，分别作出其三条边的高，大家能发现有什么特点吗？锐角三角形高的特点：锐角三角形的三条高交于同一点。锐角三角形的三条高都在三角形的内部。【过渡】同样地，对于直角三角形来说，直角三角形的三条高交于直角顶点。【过渡】钝角三角形的高则相对复杂一点，大家看课件展示。钝角三角形的三条高不相交于一点。钝角三角形的三条高不一定都在三角形内部。钝角三角形的三条高所在直线交于一点。并强调三角形高的判断方法：三角形的高垂直于顶角对边的边。课件展示三种三角形高的特点比较表格。【过渡】了解了这三种三角形的高，我们一起来看一个问题吧。【牛刀小试】下列说法正确的是（
）A．三角形的高就是顶点到对边垂线段的长度B．直角三角形有且仅有一条高C．三角形的高都在三角形的内部D．三角形的三条高至少有一条高在三角形的内部【过渡】这个问题就是结合三角形高的特点进行作答。2．三角形的中线教师引导学生思考什么是三角形的中线？（学生思考）教师给出定义：在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段即为三角形的中线。【过渡】我们了解了如何画出三角形的高，那么现在我们来考虑一下，如何确认并画出三角形的中线？教师让学生随意画出一个三角形并画出其三条中线，如下图：AD是△ABC的边BC上的中线，则有DB＝DC＝1/2BC；学生在练习本上画三角形，并在这个三角形中画出它的三条中线。(
如果他们所画的是锐角三角形，接着让他们画出直角三角形和钝角三角形，看看这些三角形的中线在哪里)？观察这三条中线的位置有何关系？三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部。这点叫做三角形的重心。3．三角形的角平分线教师指出：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。【牛刀小试】如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）在△BED中作BD边上的高EF；（2）若△ABC的面积为60，BD=5，求EF的长。课件展示答案。【过渡】我们了解了三角形的高、中线，现在，我们来考虑一下，如何确认并画出三角形的角平分线？如图，AD是△ABC的角平分线，则有∠BAD＝∠DAC＝1/2∠BAC；三角形的角平分线定义：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线有3条，相交于一点，且在三角形的内部。【过渡】想一想，三角形的角平分线与角的角平分线有什么区别？课件展示两种角平分线。三角形的角平分线是线段，而角的角平分线是射线。课件展示三角形的高、中线及角平分线的比较。【知识巩固】1、三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（
C
）A．直线
B．射线
C．线段
D．射线或线段2、一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（
B
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定3、直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度。解答：135°。【拓展提升】1、在△ABC，∠A=90°，角平分线AE、中线AD、高AH的大小关系为（
D
）A．AH
B．AHC．AH≤AD≤AE
D．AH≤AE≤AD
2、等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为
3条或7条
。
学生阅读课本仔细观察投影中的内容,并回答下面问题：（1）什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系？
判断教师给出的图形中三角形的高是否正确。学生在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.(
如果他们所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角形的三条高在那里?)观察这三条高所在的直线的位置有何关系?（2）什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系？自己动手画出三角形的中线。完成教师给出的问题。同学们在画图的过程中，展示议论
(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?学生在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?
学生能由教师的引导自己梳理知识点由此加深对三角形线段性质的理解。
课堂小结
1．三角形的三条高交于一点，锐角三角形三条高交点在直角三角形内，直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点，而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。2．无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形，它们的三条角平分线都在三角形内，并且交于一点。3．三角形的三条中线都在三角形内部。它们交于一点，这个交点在三角形内。
认真记笔记，并理解本节课的内容。
对知识点进行梳理，有利于学生的理解。
板书
1、三角形的三条高2、三角形的三条中线3、三角形的三条角平分线
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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11.1.2
与三角形有关的线段
人教版
八年级上册
教学目标
导入新课
你还记得
“过一点画已知直线的垂线”
吗?
一贴
四画
二推
三靠
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
0
1
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0
1
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6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
教学目标
新课讲解
与三角形有关的线段
1、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，
简称三角形的高。
如图,
线段AD是BC边上的高。
注意：要标明垂直的记号和垂足的字母！
教学目标
新课讲解
用几何语言表述：
∵
AD是BC边上的高。
∴
∠BDA=∠CDA=90°。
教学目标
新课讲解
A
B
C
A
B
C
A
B
C
自己动手画出三角形的高
教学目标
新课讲解
锐角三角形的三条高
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
O
A
B
C
D
E
F
教学目标
新课讲解
直角三角形的三条高
直角边BC边上的高是
;
直角边AB边上的高是
;
直角三角形的三条高交于直角顶点.
斜边AC边上的高是
;
A
B
C
D
AB
BC
BD
教学目标
新课讲解
钝角三角形的三条高
钝角三角形的三条高不相交于一点。
钝角三角形的三条高所在直线交于一点。
F
E
A
B
C
D
钝角三角形的三条高不一定都在三角形内部。
教学目标
新课讲解
三角形的三条高的特性
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
交点的位置
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
下列说法正确的是（
）
A．三角形的高就是顶点到对边垂线段的长度
B．直角三角形有且仅有一条高
C．三角形的高都在三角形的内部
D．三角形的三条高至少有一条高在三角形的内部
D
教学目标
牛刀小试
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部。这点叫做三角形的重心
2、三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线。
教学目标
新课讲解
A
B
C
D
●
●
E
F
O
教学目标
新课讲解
E
A
B
C
D
也就是说：三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
想一想：三角形的中线分成的两个三角形有什么关系？
教学目标
新课讲解
②三角形的中线是一条线段。
①任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交与一点。
③三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
三角形中线的特点
教学目标
牛刀小试
如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）在△BED中作BD边上的高EF；
（2）若△ABC的面积为60，BD=5，求EF的长。
教学目标
牛刀小试
（2）解：∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
∴S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD，
∴S△BDE=S△ABC，
∵△ABC的面积为60，BD=5，
∴×5×EF=15，
∴EF=6．
教学目标
新课讲解
3、三角形的角平分线
∵AD是
△
ABC的角平分线
∴∠
BAD
=
∠
CAD
=∠BAC
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部.
任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
A
B
F
E
D
O
C
教学目标
新课讲解
想一想
新课讲解
三角形的角平分线与角的角平分线有什么区别？
A
B
F
E
D
O
C
A
B
E
三角形的角平分线是一条线段
角的角平分线是一条射线
4、高、中线与角平分线的比较
名称
基本图形
画法
性质
高
用边的垂线三角板画顶点到对段
三条高线相交于三角形内部、外部或边上一点，线段
中线
用直尺画两点之间的线段
三条中线相交于三角形内一点，且把三角形分成面积相等的两部分，线段
角平分线
利用量角器画角的平分线的一部分
三条角平分线相交于三角形内一点，射线
教学目标
新课讲解
教学目标
巩固提升
解析：∵三角形的高是从三角形的一个顶点作它的对边的垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高.
∴三角形的高是线段.
故选B.
1.三角形的高线是（ ）
A．直线
B．线段
C．射线
D．三种情况都有
B
2.如图,在⊿ABC中,
∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.
①AD是⊿ABE的角平分线
(
)
②BE是⊿ABD边AD上的中线
(
)
③BE是⊿ABC边AC上的中线
(
)
④CH是⊿ACD边AD上的高
(
)
×
×
×
√
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
3.
如图,已知:△ABC中,BD、CE分别是△ABC的两条角平分线,相交于点O.当∠ABC=60°,∠ACB=80°时,求∠BOC的度数.
110°
解析：∵BD、CE分别是△ABC的角平分线
∴
∠
DBC=∠ABC=×60°=30°
∠ECB=∠ACB=×80°=40°
∴∠BOC=180°-30°-40°=110°
解析：∵BM是△ABC的中线，
∴MA=MC，
∴C△ABM-C△BCM
=AB+BM+MA-BC-CM-BM
=AB-BC=5-3=2cm．
答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．
4.如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长的差是多少？
2cm
教学目标
巩固提升
解析：∵BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠ECB，
又∠DBC=∠ECB，
∴∠ABC=∠ACB．
故答案为相等．
5.如图，BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，如果∠DBC=∠ECB，那么∠ABC=∠ACB吗？?
相等
教学目标
巩固提升
教学目标
课堂小结
1、三角形的高。
2、三角形的中线。
4、三角形的稳定性。
3、三角形的角平分线。
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《与三角形有关的线段》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列说法正确的是
(
)
A．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的三条高至少有一条在三角形内
D．钝角三角形的三条高均在三角形外
2．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是
( )
A．中线
B．角平分线
C．高线
D．三角形的角平分线
3．三角形的角平分线是
(
)
A．直线
B．射线
C．线段
D．射线或线段
4．下列说法：①钝角三角形有两条高在三角形内部；②三角形三条高至多有两条不在三
角形内部；③三角形的三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部；④钝角三角形
三内角的平分线的交点一定不在三角形内部。其中正确的个数为
(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．等边三角形三边上的中线、高、角平分线共有
(
)
A．3条
B．5条
C．7条
D．9条
7．如图，在△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于点O，连接CO并延长，交AB边于点D，则CD是△ABC的（
）21教育网
A．角平分线
B．中线
C．高
D．以上都不对
二、解答——知识提高运用
8．一个等腰但不等边的三角形，它的角平分线、高、中线的总条数为多少条？
9．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC=9cm，BC边上中线AD=6cm，△ABD周长为19cm，AB的长度为多少？21cnjy.com
10．如图，已知△ABC．
（1）画△ABC的角平分线AD；
（2）过点D画△ABD的高DE，过点D画△ACD的高DF；
（3）量出DE、DF的长度，你有怎样的发现？用语言表达出来．
11．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差。
12．如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12。
（1）求△ABC的面积；
（2）求BC的长。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】A
【解析】A、正确；
B、直角三角形有3条高线，故错误；
C、三角形的中线不可能在三角形的外部，故错误；
D、锐角三角形的高的交点在三角形的内部，但直角三角形的高的交点即直角顶点，钝角三角形的高所在的直线的交点在三角形的外部，故错误．21·cn·jy·com
故选A．
2．【答案】A
【解析】∵三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高，
∴分成的两三角形的面积相等。
故选A．
3．【答案】D
【解析】三角形的角平分线是一条线段．
故选D．
4．【答案】A
【解析】钝角三角形有三条高，一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，锐角三角形有三条高，高都在三角形内部，锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部，三条高的交点在顶点上；所以①②③错误，只有④是正确的。
故选A。
5．【答案】A
【解析】由题意可知BD垂直BC。
故选A。
6．【答案】C
【解析】解析：底边上的中线,高,角平分线三线合一。
另外两腰上的中线,高,角平分线各3条。
故总共有7条线。
故选C。
7．【答案】B
【解析】解析：过点D作DH⊥AB于H，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，
∵∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D，
∴DH=DM，DH=DN，
∴DM=DN，
∴CD平分∠ACB．
故选B。
二、解答——知识提高运用
8．【答案】解：等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线，21世纪教育网版权所有
故答案为：7
9．【答案】解：设AB=xcm，BD=ycm，
∵AD是BC边的中线，
∴BC=2BD=2ycm．
由题意得
x+9+2y＝27
x+6+y＝19
，
解得
x＝8
y＝5，
所以AB=8cm．
10．【答案】解：（1）△ABC的角平分线AD如图所示；
（2）△ABD的高DE，△ACD的高DF如图所示；
（3）结论：角平分线上的点到角的两边距离相等．
11．【答案】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=DC=1/2
BC，
∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+1/2
BC+AD）-（AC+1/2
BC+AD）=AB-AC=1。
12．解：（1）∵CE=9，AB=12，
∴△ABC的面积=1/2×12×9=54；
（2）△ABC的面积=1/2
BCAD=54，
即1/2
BC10=54，解得BC=54/5。
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