中小学教育资源及组卷应用平台
《与三角形有关的角》练习
一、选择——基础知识运用
1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是(
)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．钝角或直角三角形
2．下列说法正确的是(
)
A．三角形的内角中最多有一个锐角
B．三角形的内角中最多有两个锐角
C．三角形的内角中最多有一个直角
D．三角形的内角都大于60°
3．已知三角形的一个内角是另一个内角的2/3，是第三个内角的4/5，则这个三角形各内角的
度数分别为(
)
A．60°、90°、75°
B．48°、72°、60°
C．48°、32°、38°
D．40°、50°、90°
4．已知△ABC中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A的度数为
(
)
A．100°
B．120°
C．140°
D．160°
5．已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是
(
)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
6．设α，β，γ是某三角形的三个内角，则α+β，β+γ，α+γ
中
(
)
A．有两个锐角、一个钝角
B．有两个钝角、一个锐角
C．至少有两个钝角
D．三个都可能是锐角
7．在△ABC中，∠A=
1/2∠B=1/3∠C，则此三角形是(
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
二、解答——知识提高运用
8．三角形中，若最大内角等于最小内角的2倍，最大内角又比另一个内角大20°，则此三角形的最小内角的度数是多少？
9．在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则此三角形为_______三角形；若∠A+∠B<∠C，则此三角形是_____三角形。
10．在△ABC中，已知∠B-∠A=5°，∠C-∠B=20°，求三角形各内角的度数。
11．已知：如图A，△ABC各角的平分线AD，BE，CF交于点O。
（1）试说明∠BOC=90°+∠BAC；
（2）如图B，过点O作OG⊥BC于G，试判断∠BOD与∠COG的大小关系（大于，小于或等于），并说明理由。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】A
【解析】设三角形的三个角度数分别为：2x、3x、4x，三角形的内角和为180°。
则2x+3x+4x=180°
∴9x=180°
∴x=20°
则三角形的三个角分别为40°、60°、80°。故三角形为锐角三角形。
故选A。
2．【答案】C
【解析】A选项：如三个角的度数分别为40°、60°、80°的三角形，三个角都是锐角，故A选项错误；
B选项：如三个角的度数分别为40°、60°、80°的三角形，三个角都是锐角，故B选项错误；
C选项：正确
D选项：三角形的内角和为180°，如果都大于60°则不符合三角形内角和的性质，故D选项错误。故选C。
3．【答案】B
【解析】解：设三角形的三个角度数分别为：x、3/2x、5/4x，三角形的内角和为180°。
∴选项A、C排除
∴x+3/2x+5/4x=180°
∴12x=720°
∴x=60°
故三角形的三个内角分别为：60°、48°、72°。
故选B。
4．【答案】B
【解析】根据三角形的内角和为180°可知：∠A+∠B＋∠C=180°。
∠B＋∠C=180°-∠A=1/2∠A
∴∠A=120°
故选B。
5．【答案】C
【解析】解：由题意可知∠A-∠B=∠C
∴∠A=∠B+∠C
根据三角形内角和的性质可知∠A+∠B+∠C=180°。
则∠A=90°。
故选C。
6．【答案】C
【解析】解：由三角形的内角和性质可知答案选C。
故选C。
7．【答案】B
【解析】设∠A=x，则∠B=2x、∠C=3x，
根据三角形的内角和性质可知∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x=180°，x=30°
∴∠A=30°、∠B=60°、∠C=90°；
故此三角形为直角三角形，
故选B。
二、解答——知识提高运用
8．【答案】设此三角形的最小内角为x，
则此三角形的三个内角分别为x、2x、2x-20°
根据三角形的内角和性质可知：x＋2x＋2x-20°=180°
∴x=40°
故此三角形的最小内角为40°。
9．【答案】由三角形的内角和性质可知：
（1）若∠A+∠B=∠C，则此三角形为直角三角形
（2）若∠A+∠B<∠C，则此三角形是钝角三角形。
故答案为直角、钝角。
10．【答案】设∠A=x，则∠B=∠A+5，∠C=∠B+20°=∠A＋25°
根据三角形的内角和性质可知：∠A
+∠B+∠C
=180°。
∴∠A+∠A+5°+∠A＋25°=180°
∠A=50°、∠B=55°、∠C=75。
11．【答案】（1）证明：∵OB、OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠BAC）
=180°-90°+∠BAC
=90°+∠BAC；
（2）解：∠BOD=∠COG．理由如下：
∵△ABC各角的平分线AD，BE，CF交于点O，
∴∠ABO=∠ABC，∠BAO=
∠BAC，∠OCG=
∠ACB，
∴∠BOD=∠ABO+∠BAO=
（∠ABC+∠BAC）
=
（180°-∠ACB）
=90°-∠OCG，
∵OG⊥BC于G，
∴∠OGC=90°，
∴∠COG=90°-∠OCG，
∴∠BOD=∠COG。
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
11.2
与三角形有关的角
人教版
八年级上册
教学目标
导入新课
如图,小明同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是把哪块玻璃块带去。
3号
教学目标
新课讲解
三角形内角和的性质
三角形三个内角相加的度数即为三角形的内角和。
1、三角形的内角和
A
B
C
∠A＋∠B＋∠C
想一想
三角形的三个内角和是多少?
教学目标
导入新课
180°
方法一：
度量法
通过具体的度量，验证三角形的内角和为180°.
你有什么办法可以验证呢?
教学目标
导入新课
方法二
：拼合法
把三个角拼在一起试试看？
A
B
C
2
1
三角形的内角和为180°.
教学目标
导入新课
问题：有什么方法可以得到180
°
１．平角的度数是180°
２．两直线平行，同旁内角的和是180°
从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗?
3、邻补角的和是180
°
教学目标
新课讲解
证法１：过A作EF∥BC，
F
2
1
E
C
B
A
2、三角形内角和性质的证明
∴∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
又∵∠1+∠2+∠BAC=180°
∴∠C+∠B+∠BAC=180°
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°。
教学目标
新课讲解
证法2：过A作AE∥BC，
F
1
E
C
B
A
∴∠B=∠1
，
(两直线平行,内错角相等)
∠1+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
证明3：延长BC到D，过C作CE∥BA，
教学目标
新课讲解
2
1
E
D
C
B
A
∴
∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
通过这三种证明方法，你有什么总结吗？
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线。
教学目标
新课讲解
为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角，这种转化思想是数学中的常用方法。
在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
教学目标
新课讲解
例1
如图，在△ABC中，∠BAC=40
°
，∠B=75
°
，AD是△
ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
C
D
B
A
解：
∵AD是△
ABC的角平分线,
∠BAC=40
°
1
(已知)
∴∠1=
∠BAC=20°
(角平分线定义)
在△
ABD中
∵
∠1+
∠B+
∠ADB=180°
(三角形内角和定理)
∴
∠ADB=180°－∠1－∠B
=180°-75°-20°
=85°
教学目标
牛刀小试
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠
B=43
°
则∠
C=
。
（2）在△ABC中，
∠A
:∠B:∠C=2:3:4
则∠A
=
∠
B=
∠
C=
。
102°
80°
60°
40°
（3）在△ABC中,
∠A=40
°
∠A=2∠B，则∠C＝
。
120°
教学目标
新课讲解
如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80
°方向，C岛在B岛的北偏西40
°方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
教学目标
新课讲解
解：∠CAB=
∠BAD
-
∠CAD
=80°-50°=
30°
∵AD∥BE，得：
∠BAD
+∠BADE=180°
∴
∠ABE=180°-
∠BAD
=
180°-
80°=100°
∠ABC=∠ABE-∠EBC=
100°-
40°=60°
在△ABC中
，∠ACB=
180°-
∠ABC
-∠CAB
=
180°-
60°-
30°=
90°
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°
教学目标
新课讲解
你能找出上图中所包含的直角三角形吗
？
3、直角三角形的内角和
直角三角形的两锐角互余．
在Rt△ABC中．
∵∠A+∠B
+∠C
=
180°，(三角形内角和定理）
而∠C
=
90°，
∴
∠A+∠B
=
90°．
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
三角形用什么符号表示的？那么直
角三角形又用什么符号表示呢？
三角形ABC表示为：
直角三角形可以用符号：
如图直角三角形ABC表示为：
△ABC
Rt△
Rt△ABC
例3：如图，∠C
=∠D
=90°，AD，BC
相交于点E，
∠CAE
与∠DBE
有什么关系？
C
D
E
A
B
∠CAE
＝∠DBE
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.
在Rt△ACE中，∠DBE=90°-∠BED
∵
∠AEC=∠BED
∴
∠CAE
＝∠DBE
教学目标
新课讲解
想一想：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请说明理由．
已知：（如图）在△ABC中，
∠A+∠B
=
90°.
求证：△ABC是直角三角形．
教学目标
新课讲解
证明：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C
=?180°，（三角形内角和定理）
∵?∠A+∠B
=
90°，（已知）
∴?∠C
=
90°，
∴?△ABC是直角三角形．(直角三角形定义）
结论：有两个角互余的三角形是直角三角形．
教学目标
新课讲解
教学目标
牛刀小试
如果一个三角形的两个内角分别是36°和54°，那么这个三角形是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：第三个角是180°-36°-54°=90°，
∴三角形是直角三角形．
故选B．
不需要计算，你能得到答案吗？
B
教学目标
巩固提升
解析：设∠A＝x°，则∠ABC＝∠C＝2x°，根据三角形内角和性质可知x＋2x＋2x＝18°
解得x＝36
∴∠C＝2×36°＝72°
在△BDC中，∵
BD是AC边上的高
∴∠BDC＝90°；∴∠DBC＝90°－72°；∴∠DBC＝18°
1.已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A
,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
18°
解析：设此三角形的三个内角分别为x°、2x°、x°
则由三角形的内角和性质可知：x°+2x°+x°=180°。∴x=45°
则此三角形的三个内角分别为45°、90°、45°。
故答案选D。
2.一个三角形的三个内角的度数比是1：2：1，这个三角形是（
）?
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
D
教学目标
巩固提升
解析：设∠A为x，则∠B=2∠A=2x，∠C=3∠A=3x
∵三角形的内角和为180°
∴x+2x+3x=180°，∴x=30°
则此三角形的三个内角为30°、60°、90°，故此三角形为直角三角形。
3.
在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ=∠B=∠C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？
直角三角形
教学目标
巩固提升
4.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.
(1)
若∠ABC=60°，∠ACB=80°，求∠BOC的度数。
(2)
若∠A=70°,
求∠BOC的度数。
教学目标
巩固提升
解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∠ABC=60°，∠ACB=80°
教学目标
巩固提升
∴∠OBC=∠ABC=×60°=30°
∠OCB=∠ACB=×80°=40°
∵∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°
∴∠BOC=180°-40°-30°=110°
（2）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB
教学目标
巩固提升
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）
∵∠A=70°∴∠ABC+∠ACB
=180°-∠A=180°-70°=110°
∴∠OBC+∠OCB=×110°=55°
∵∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°
∴∠BOC=180°-55°=125°
5.如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为45°，此时，如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米？
教学目标
巩固提升
解：由题意可知：
教学目标
巩固提升
∠ABC=90°，∠ACB=45°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB
=180°-90°-45°
=45°
∴BC=AB=16米
答：两楼的距离是16米。
教学目标
课堂小结
1、三角形的内角和
2、三角形内角和性质
3、三角形的判断
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
人教版数学八年级11.2.1教学设计
课题
11.2.1与三角形有关的内角
单元
第十一单元
学科
数学
年级
八年级
学习目标
1.知识与技能（1）探究并掌握三角形内角和性质；（2）能应用三角形内角和性质解决一些简单的实际问题。2.过程与方法经历观察、操作、想象、推理、交流，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力。3.情感态度和价值观学会多角度寻求解决问题的途径，在操作中进行自觉思考，积累数学探索的经验。
重点
三角形内角和定理。
难点
三角形内角和定理的推理的过程。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
【过渡】在生活中，我们总会遇到这样的问题，不小心把玻璃打破，但我们又需要一样的玻璃，我们该如何做呢？小明就遇到了这样的问题：如图,小明同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是把哪块玻璃块带去？【过渡】大家都同意把3号带去，这是什么原因呢？今天我们就来探究一下。
学生根据情景进行讨论，回答问题
通过学生的思考引出本节课的内容。
讲授新课
1．三角形的内角和三角形的三个内角的度数相加即为三角形的内角和。【过渡】我们在之前就已经了解到，对于一个三角形来说，它的内角和是等于180°的，我们有哪些方法可以得到这个结论呢？（学生讨论回答）【过渡】方法一：
度量法
通过具体的度量，验证三角形的内角和为180°。大家可以任意在纸上画一个三角形，然后利用量角器验证一下是不是180°。【过渡】除了这种方法之外，还有我们课本中的介绍的拼图法。在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码，让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出各个的度数并相加，可得到∠A+∠B+∠C=180°。如图：（老师巡视，同时指出不足）【过渡】大家可以看看，自己摆的三角形有什么特点呢？是不是每个三角形的内角和都是180°。（引导学生回答）2．三角形内角和的性质三角形的内角和等于180°。由前面你们自己动手操作拼接的三角形可以知道，三角形内角和都等与180°，那么如何证明这个性质呢？教师展示课件，通过几种方法证明三角形内角和的性质。【过渡】证法1：过A作EF∥BA，
∴∠C=∠1，(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，内错角相等)
又∵∠1+∠2+∠BAC=180°∴∠C+∠B+∠BAC=180°。证法2：过A作AE∥BC，∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°证法3：延长BC到CD，在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，于是CE∥BA
(内错角相等，两直线平行)。∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)。又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°:【过渡】这里我们介绍了三种证明三角形内角和的方法，通过这三种证明方法，你有什么总结吗？【过渡】在刚刚的证明方法中，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线。我们可以看到，我们所添加的辅助线都是用虚线画出的，这一点就需要特别注意一下。同时，在这里，我们还可以看到，为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角，这种转化思想是数学中的常用方法。【过渡】现在，我们来看一下如何利用三角形的内角和进行解答问题。讲解例1、例2。【牛刀小试】（1）在△ABC中，∠A=35°，∠
B=43
°，则∠
C=
。（2）在△ABC中，
∠A
:∠B:∠C=2:3:4则∠A
=
，∠
B=
，
∠
C=
。（3）在△ABC中,
∠A=40
°
∠A=2∠B，则∠C＝
。
【过渡】我们知道，三角形例有一类特殊的三角形——直角三角形，同样的，直角三角形的内角和也是180°。
有一个角等于90°的三角形是直角三角形。直角三角形的两锐角互余。在Rt△ABC中．∵∠A+∠B
+∠C
=
180°，(三角形内角和定理）而∠C
=
90°，∴
∠A+∠B
=
90°。【过渡】三角形用什么符号表示的？那么直
角三角形又用什么符号表示呢？三角形ABC表示为：△ABC。直角三角形可以用符号：
Rt△
。如图直角三角形ABC表示为：Rt△ABC。【牛刀小试】如果一个三角形的两个内角分别是36°和54°，那么这个三角形是（
）A．锐角三角形
B．直角三角形C．钝角三角形
D．等腰三角形【拓展提升】1、在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为（ C
）A．35°
B．40°
C．45°
D．50°2、已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1：2，则这个等腰三角形的顶角为
36°或90°。
学生自己动手，得出三角形的内角和。由几个同学分别展示自己拼接的三角形，观察是不是每个三角形的内角和都相等。是不是都等于180°，并相互讨论有没有什么方法能够证明三角形的内角和等于180°这个性质，学生证明。分别画出一个直角三角形，并用量角器分别量出所画的直角三角形两锐角∠A和∠B的大小，并求出∠A＋∠B
的值，依据三角形内角和定理对所求得的值进行说明。
通过学生自己动手学习，加深学生对三角形的内角和为180°这个知识点的记忆。
课堂小结
本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“三角形的内角和为180°”这个性质引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，证明这个性质的正确性，。通过观察、验证、再操作，最终发现三角形的内角和为180°这一结论。这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生的动手能力。
板书
1、三角形的内角和2、三角形内角和的性质3、三角形的判断
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
