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人教版数学八年级11.2.2教学设计
课题
11.2.2与三角形有关的外角
单元
第十一单元
学科
数学
年级
八年级
学习目标
1.知识与技能（1）了解三角形的外角；（2）探索并理解三角形外角定理及其推论的推导。（3）会用三角形外角定理及其推论解决一些实际问题。2.过程与方法通过观察、操作、交流等活动发展推理能力。3.情感态度和价值观通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
重点
三角形外角定理及其推论的推导。
难点
三角形外角定理及其推论的实际应用。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课件展示：如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？学生回答。【过渡】若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
回顾上节课的内容，学生自己查阅课本得出∠ACD是△ABC的一个外角。
让学生自己动手查阅课本，提高学生的自主学习能力，同时引出本节课的内容。
讲授新课
1．三角形外角的概念【过渡】观察上图说出三角形ABC的一个外角。例如∠ACD。【过渡】大家可以总结一下如何定义三角形的外角？三角形的外角概念：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角。【过渡】在三角形的外角的学习中，我们需要明白这几个名词。【过渡】现在请大家将一个三角形的全部外角都画出来，并思考一下：三角形的外角有几个？每个顶点处有两个外角，共有6个外角。【过渡】知道了三角形的外角的定义，那么请同学们思考如何计算三角形的外角呢？三角形的外角有哪些特征呢？（2）三角形外角的特征课件展示三角形ABC的外角每个外角与相邻的内角是邻补角。每个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角。2．三角形外角和定理【过渡】我们了解了三角形的内角和等于180°，那么如何计算三角形的外角和呢？三角形的一个外与它相邻的内角内角之间是什么关系？与它不相邻的两个内角之间是什么关系呢？三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；在△ABC中∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=∠A+∠B。【过渡】这个定理在运算过程中，能够帮我们简化问题，现在大家来试一下吧。【牛刀小试】求下列各图中∠1的度数。【过渡】我们知道三角形的外角等于与它不相邻的两个角的和，也就是说三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。【牛刀小试】比较大小。(1)∠ACD
____∠ABC；∠ACD
____∠BAC；(2)∠EAB____∠ACB；∠EAB____∠ABC；(3)∠FBC____
∠BAC；∠FBC____
∠ACB.【过渡】结合我们之前学习的三角形的内角和，大家能总结一下三角形的外角和内角都有哪些关系吗？（1）三角形的一个外角与它相邻的内角互补；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。【过渡】现在，我们一起来看一下例3。∵∠A+∠B+∠2=1800(三角形内角和等于180°)，∠1+∠2=1800(平角的意义)，∴∠1=
∠A+∠B.(等量代换)。∠1>∠A，∠1>∠B(和大于部分)。【过渡】通过例3，我们知道了三角形的外角的另一个性质：三角形的外角和等于360°。想一想，除了课本展示的解法，你还有哪些方法证明这个结论？（学生讨论回答）【知识巩固】1、一个三角形的两内角分别55°和65°，它的外角不可能是（
D
）A．115°
B．
120°
C．125°
D．130°2、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为(
C
)
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°3、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是(
C
)
A．等腰直角三角形
B．一般的等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰钝角三角形【拓展提升】1、已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（
C
）A．锐角三角形
B．直角三角形
C．
钝角三角形
D．
以上三种情况都有可能2、已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为(
A
)
A．90°
B．110°
C．100°
D．120°
学生观察上图说出除了∠ACD还有哪些是三角形的外角，学生思考讨论如何给三角形的外角一个准确的定义。并思考每个三角形有几个外角。三角形的外角有什么特征？如何计算三角形的外角？结合教师所出示的问题，结合具体的实例，在小组内展开充分的讨论，积极性的发表自己的见解，积极参与问题的探索，清楚的认识内外角之间的关系。
通过学生自由讨论，可以锻炼学生的自主学习能力，并深刻的记住本节课的内容。
课堂小结
通过本节课的教学学生能积极的参与小组的各个活动，通过学习了解三角形的外角的概念，并探究出三角形的外角的两个重要性质并尝试运用此性质去解决一些简单的问题，但学生探索问题的深度与广度不够，老师要加强这方面的引导。
板书
1、三角形的外角的定义2、三角形外角和定理
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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11.2
与三角形有关的角
人教版
八年级上册
教学目标
导入新课
如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
那么若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
∠A＋∠B＋∠ACB=180°
与三角形有关的角
1、三角形的外角定义
观察：下面一组图形中∠
1在各个图形中的位置
都是三角形的一边与另一边的延长线组成的角
教学目标
新课讲解
三角形的一边与另一边的延长线组成的角为三角形的外角，例如图中∠BCD
。
教学目标
新课讲解
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
△ABC的外角共有几个呢？
A
B
C
1
2
3
4
6
5
每一个三角形都有6个外角.
每一个顶点相对应的外角都有2个．
每个外角与相邻的内角是邻补角．
教学目标
新课讲解
2、三角形外角的性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
∠ACD=
∠A+
∠B
教学目标
新课讲解
如何证明？
教学目标
新课讲解
D
因为∠ACD+
∠ACB=180°
又因为∠A+
∠B+
∠ACB=180°
所以，
∠A+
∠B=
∠ACD
解：
A
B
C
所以∠ACD
=180
°
－∠ACB
所以∠A+
∠B
=180
°
－∠ACB
（邻补角的定义）
（三角形内角和180
°
）
(等量代换)
教学目标
牛刀小试
求下列各图中∠1的度数。
30°
60°
1
35°
120°
1
45°
50°
1
∠1=
∠1=
∠1=
90?
85?
95?
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
∠ACD
∠B，
教学目标
新课讲解
D
A
C
B
想一想：下面两组角的大小是什么样？
∠ACD
∠A
＞
＞
比较大小
A
B
D
E
F
C
(1)∠ACD
____∠ABC；
∠ACD
____∠BAC；
(2)∠EAB____∠ACB；
∠EAB____∠ABC；
(3)∠FBC____
∠BAC；∠FBC____
∠ACB.
>
>
>
>
>
>
教学目标
牛刀小试
教学目标
新课讲解
三角形内角和外角的关系
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
例3：如图所示，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
1
2
3
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：
∠BAE=∠2＋∠3
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1+∠2+∠3）
教学目标
新课讲解
三角形的外角和等于360°
∠CBF=∠1＋∠3
∠ACD=∠1＋∠2
∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°
A
B
C
1
2
3
解法2：∵∠1＋∠BAC＝1800
∠2＋∠ABC＝1800
∠3＋∠ACB＝1800
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝5400
又∵
∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝1800
∴∠1＋∠2＋∠3＝3600
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
解：过A作AD∥BC
∴
∠3＝
∠4
(两直线平行,同位角相等)
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝
∠BAD
(两直线平行,同旁内角互补)
∴
∠1＋
∠2＋
∠3＝
∠1＋
∠BAD＋
∠4=360°
D
基本思想：转化
解法3：
解析：A中，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故错误；
B中，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和，故错误；
C中，因为三角形的内角和是180°，故三角形的内角中，最多有一个钝角，则至少要有两个锐角，那么和它相邻的外角即为钝角．故C正确，D错误．故选C．
1.下列语句中，正确的是（
）
A．三角形的外角大于任何一个内角
B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和
C．三角形的外角中，至少有两个钝角
D．三角形的外角中，至少有一个钝角
C
教学目标
巩固提升
解析：三角形的三角的和是180度
则外角是：225°-180°=45°．
则与这个外角相邻的内角是180-45=135°．
2.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是__
__度.
135°
教学目标
巩固提升
解析：∵三角形的内角最多有1个钝角，
∴三角形的三个外角中，锐角最多有1个．
故答案为：1
3.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角.
1
教学目标
巩固提升
解析：证明：
在△ABC中
∠A+∠B+∠ACB=180°
∠ACB+∠ACD=180°
∴∠ACD=∠A+∠B.
4.已知：∠ACD
是△ABC的外角。求证：∠ACD=
∠
A+
∠
B
教学目标
巩固提升
5.如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠E的度数．
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
解析：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；
又∵∠B=47°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）=
×277°（外角定理），
∴∠E=180°-（∠DAC+∠ACF）=66.5°
教学目标
课堂小结
1、三角形外角的定义
2、三角形外角的性质
3、三角形的外角和定理
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《与三角形有关的角》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，CD∥AB，∠1=120°，∠2=80°，则∠E的度数是（
）
A．
40°
B．
60°
C．
80°
D．
120°
2．如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（
）
A．
80°
B．
50°
C．
30°
D．
20°
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3．如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（
）
A．
30°
B．
60°
C．
90°
D．
45°
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4．如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角。关于这七个角的度数关系，下列何者正确（
）
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A．∠2=∠4+∠7
B．∠3=∠1+∠6
C．∠1+∠4+∠6=180°
D．∠2+∠3+∠5=360°
5．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（
）
A．
165°
B．
120°
C．
150°
D．
135°21·cn·jy·com
6．如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（
）
A．
30°
B．40°
C．60°
D．
70°
7．下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（
）
二、解答——知识提高运用
8．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是什么三角形？
9．已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。求证：AD∥BC。
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°。
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：有同学认为，不论∠B，∠C的度数是多少，都有∠DAE=
（∠B-∠C）成立，你同意吗？你能说出成立或不成立的理由吗？
参考答案www.21-cn-jy.com
一、选择——基础知识运用
1．【答案】A
【解析】∵CD∥AB
∴∠1=∠EDF=120°
根据三角形的外角和定理可知：∠EDF=∠E+∠2
∴∠E=∠EDF-∠2=120°-80°=40°
故选A。
2．【答案】D
【解析】∵直尺的两条边平行，且三角形的外角等于另外两个不相邻的内角的和
∴∠3=∠2-∠1=50°-30°=20°。
故选D。
4．【答案】C
【解析】根据三角形的外角和定理可知：
A选项：∠2=∠4+∠6，∠6≠∠7，故选项A错误；
B选项：∠3=∠1+∠7，∠6≠∠7，故选项B错误；
D选型：∠2+∠4+∠6=180°，∠5与∠2是同一个三角形的外角，故∠2+∠5＞180°，故选项D错误；2·1·c·n·j·y
故选C。
5．【答案】A
【解析】由题意可知：
∠1=90°-30°=60°=45°+∠4
∴∠4=60°-45°=15°
又∠3与∠4是对顶角
∴∠3=∠4=15°
∴∠α=180°-15°=165°
故选A。
6．【答案】B
【解析】∵AB∥CD
∴∠1=∠A=70°
根据三角形的外角和定理可知：∠1=∠E+∠C
∴∠E=∠1-∠C=70°-40°=30°。
故选B。
7．【答案】B
【解析】对顶角相等，故答案选B。
二、解答——知识提高运用
8．【答案】∵三角形的外角与相邻的内角和为180°
∴外角为锐角，则相邻的内角为钝角
∴此三角形为钝角三角形。
9．【答案】∵AD平分∠EAC
∴∠EAD=1/
2
∠EAC
∵AB=AC
∴∠B=∠C，∠EAC=∠B+∠C
∴∠B=1
2
∠EAC
∴∠EAD=∠B
∴AD∥BC
10．【答案】（1）∵在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=
×80°=40°；
（2）∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∵∠BAE=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°；
（3）成立．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=
（180°-∠B-∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=
（180°-∠B-∠C）-90°+∠B=
（∠B-∠C）。
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精品试卷·第
2
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（共
2
页）
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