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人教版数学八年级11.3.1教学设计
课题
11.3.1多边形及其内角和
单元
第十一单元
学科
数学
年级
八年级
学习目标
1.知识与技能掌握多边形的定义及相关概念，能区分凹凸多边形；掌握正多边形的概念2.过程与方法通过观察、类比、推理等数学活动，探究多边形的对角线条数，感受数学思考过程的条理性，发展推理和语言表达能力。3.情感态度和价值观通过联系现实世界中各种常见的几何图形及情景，让学生认识数学与现实生活的密切联系。
重点
了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念。
难点
多边形对角线的条数及其规律的探索。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课件展示：多媒体投影一组图片，让同学们从中抽象出平面图形，从而引出课题。
【过渡】这些图形是大家在生活中能经常看到的，大家从这些图形中能够观察到哪些数学图形呢？（学生回答）【过渡】从刚刚的这些图形中，我们能够看到几个不同的图形，这就是我们今天要学习的多边形。
学生通过实际中见到的几何图形，联系数学知识，得到实际与数学的关联。。
让学生通过实际生活与数学的联系，对本节课所要学习的内容有一个初步的印象及了解。
讲授新课
1．多边形的概念【过渡】在前几节课的学习中，我们学习了三角形的相关知识，现在，我想请大家回答一个问题，对于三角形，我们是如何对其进行定义的呢？（学生回答）【过渡】三角形的定义是这样的：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。在这里我们需要注意的：“不在同一条直线”以及“首尾顺次相接”。既然我们已经知道什么是三角形，根据三角形的定义，你能说出什么叫四边形吗？（学生回答）在平面内，由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四边形。【过渡】以此类推，大家能总结出多边形的概念吗？【过渡】对比一下这几个图形，大家来总结一下吧。（学生回答）多边形概念：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形。【过渡】在这里，我们同样需要注意的是刚刚的那两点，而这也是我们判断是否为多边形的依据。【过渡】在多边形里，我们该如何命名呢？其实这个很简单。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个图形就叫做n边形。比如有6条边，就叫做6变形，12条边，就叫做12边形等。大家需要注意的是，这里n的意义存在于n≥3.【过渡】同样类比三角形，我们知道三角形有内角及外角，那么对于多边形而言，其内角与外角又是如何定义的呢？我们以一个五边形为例：在多边形里，多边形相邻的两边组成的角叫做内角。【过渡】大家能找到五边形里所有的内角吗？（学生回答）根据内角的定义，五边形中的五个顶点对应的角即为五个内角。【过渡】那外角又是否有区别呢？外角的概念：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。【过渡】大家一起来寻找一下五边形的外角吧。学生回答，课件展示外角。【过渡】在多边形中，我们还需要了解概念，即对角线，多边形也有对角线，什么是多边形的对角线呢？对角线的概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。如图所示的五边形，大家能说出它有多少条对角线吗？（学生回答）【过渡】对于一个五边形来说，我们还能够数的清有多少条对角线，那么如果是一个12边形，甚至更多边的多边形呢？那么一个多边形到底有多少条对角线呢？我们一起来探究一下。课件展示图形。【过渡】首先，请大家思考一个这样的问题，画出多边形从一个顶点出发的对角线，写出条数。课件展示图形，并让学生思考回答。【过渡】通过刚刚我们的展示，我们知道，三角形是没有对角线的，四边形从一个顶点可以画一条对角线，五边形可以画两条。由此，大家能总结出什么规律呢？【结论】多边形从一个顶点出发的对角线的条数=n-3。【过渡】接下来我们对角线，对于三角形而言，没有对角线。对于四边形而言，可以作出2条对角线。对于五边形来说，可以作出10条对角线。现在，大家一起来看一下一个八边形能有几条对角线。（学生讨论回答）【过渡】我们从一个顶点出发，发现可以作出五条对角线，八边形共有8个顶点，除去那些重复的，也就是说我们可以作出20条对角线。以此类推，大家来总结一下多边形对角线的规律吧。课件展示。【过渡】经过分析，最终我们得到多边形对角线的个数与边的关系是：n(n-3)/2。2、凸多边形与凹多边形【过渡】在了解了多边形的基础概念之后，我们来看一下这样两个图形。大家观察这两个图形，能发现有什么不同吗？（学生回答）在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形。3、正多边形【过渡】在多边形里，有一类比较特殊的图形，最简单的就是正方形，大家来说一下你眼中的正方形都有什么特点呢？【过渡】像正方形一样，在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形。【知识巩固】1、十五边形从一个顶点出发有
（
B
）条对角线．
A、11
B、12
C、13
D、142、如果一个四边形的面积正好等于它的两条对角线乘积的一半，那么这个四边形一定是（
D
）
A、菱形
B、矩形C、正方形
D、对角线互相垂直的四边形3、一个n边形共有20条对角线，则n的值为（
C
）
A、5
B、6
C、8
D、10【拓展提升】1、下列说法正确的是（B
）A．一个多边形外角的个数与边数相同B．一个多边形外角的个数是边数的2倍C．每个角都相等的多边形是正多边形D．每条边都相等的多边形是正多边形2、两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，如果小多边形周长为15cm，那么较大的多边形的周长为（
C）A．15cm
B．18cm
C．20cm
D．25cm
结合之前对三角形的学习，采用类比的方法，由学生自己总结出多边形的定义及内角、外角等，并通过探究得出多边形对角线与边数的关系。结合教师所出示的问题，结合具体的实例，在小组内展开充分的讨论，积极性的发表自己的见解，积极参与问题的探索。
本节课的学习以学生为主，让学生通过对比及探究，得到所需学习的知识，感受由特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法.同时让学生体验数学活动充满着探究。在探索的过程中再一次发展学生的推理能力和表达能力。
课堂小结
这节课师生教与学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的经验基础上，教师激发学生的学习兴趣和积极性，向学生提供了从事数学活动的机会，构建了学生自主探究、合作实践、展现交流的平台；教师较好地引导学生在探究实践的过程中，真正理解和掌握数学的知识、技能和数学思想方法，增强空间观念及数学思考能力的培养，并获得数学活动经验。
板书
1、多边形的定义2、多边形的内角3、多边形的外角4、多边形的对角线5、正多边形
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《多边形及其内角和》练习
一、选择——基础知识运用
1．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成5个三角形，那么这个多边形有（
）
条对角线．
A．13
B．14
C．15
D．5
2．下列图形中，是四边形的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A．
六边形
B．
五边形
C．四边形
D．三角形
4．如图，下列图形不是凸多边形的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（
）
A．2001
B．2005
C．2004
D．2006
6．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A．
六边形
B．
五边形
C．
四边形
D．
三角形
7．一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形的边数是（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
二、解答——知识提高运用
8．过m边形的顶点能作7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则（m﹣k）n=________．
9．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上几根木条，请画出相应木条所在线段。
10．我们知道各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，小明却说各边都相等的多边形就是正多边形，各角都相等的多边形也是正多边形，他的说法对吗？如果不对，你能举反例（画出相应图形）说明吗？
参考答案
一、选择——基础知识运用
2．【答案】D
【解析】根据四边形的定义，由四条线段首尾顺次连接而成的图形是四边形，再结合图形进行判断即可。A、D的图形都由5条线段组成，是五边形；C、围成图形的不都是线段，所以不是四边形；只有B选项符合四边形的定义。
故选B
3．【答案】A
【解析】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，
则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形。
故选A。
4．【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形。
故选C。
5．【答案】C
【解析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解。多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1=2004。
故选C
6．【答案】A
7．【答案】C
【解析】设多边形有n条边，
则=n，
n（n-3）-2n=0
n（n-5）=0
解得n1=5，n2=0（舍去），
故多边形的边数为5。
故选C。
二、解答——知识提高运用
8．【答案】若过m边形的一个顶点有7条对角线，则m=10；n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而n=3；k边形有k条对角线，即得到方程
k（k﹣3）=k，解得k=5；正h边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而h=4．代入解析式就可以求出代数式的值.
∵n边形从一个顶点发出的对角线有n﹣3条，
∴m=7+3=10，n=3，k=5，h=4；
∴（m﹣k）n=（10﹣5）3=125，
故答案为：125。
9．【答案】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条。
解：如图所示：
至少要定3根木条，
10．【答案】根据正方形的定义，各边相等，各角相等的四边形是正方形，依据定义即可判断．
解：他的说法错误。
菱形各边相等，但不是正多边形。
如图，菱形ABCD的四个角不相等，不是正多边形；
矩形各个角相等，但四边不一定相等，不是正方形。
．
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11.3
多边形及其内角和
人教版
八年级上册
教学目标
导入新课
你从图片里看到了什么图形？
多边形
教学目标
新课讲解
三角形
三角形是如何定义的？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
教学目标
新课讲解
长方形
四边形
在平面内，由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四边形。
既然我们已经知道什么是三角形，根据三角形的定义，你能说出什么叫四边形吗？
想一想
教学目标
新课讲解
六边形
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形。
八边形
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个图形就叫做n边形。
依次类推，你能说出什么叫多边形吗？
想一想
n≥3
教学目标
新课讲解
多边形的内角
A
B
C
D
E
多边形相邻的两边组成的角叫做内角。
如图所示的五边形，内角分别为：
∠A
∠B
∠C
∠D
∠E
可表示为：五边形ABCDE或五边形DCBAE
教学目标
新课讲解
A
B
C
D
E
多边形的外角
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
如图所示的五边形，内角对应的外角分别为：
∠A
1
2
3
4
5
∠1
∠B
∠2
∠C
∠3
∠D
∠4
∠E
∠5
教学目标
新课讲解
连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
A
B
C
D
E
多边形的对角线
你能说出五边形的全部对角线吗？
AC、AD
BE、BD
CE
在n边形中与一个定点不相邻的顶点有（n﹣3）个
教学目标
牛刀小试
画出多边形从一个顶点出发的对角线，写出条数。
0
1
2
教学目标
牛刀小试
3
你能总结出规律吗？
5
多边形从一个顶点出发的对角线的条数=n-3
教学目标
牛刀小试
你能写出每个图形中对角线的总条数吗？
如果不行，请画出所有对角线。
0
2
5
教学目标
牛刀小试
9
你能总结出多边形对角线的数量的规律吗？
20
教学目标
新课讲解
边数
3
4
5
6
8
…
n
从一个顶点出发的对角线的条数
上述对角线分成的三角形个数
…
总的对角线条数
…
0
1
0
1
2
2
2
3
5
3
4
9
5
6
20
n-3
n-2
n(n-3)
2
…
教学目标
新课讲解
凸四边形
凹四边形
凸多边形与凹多边形
整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。
整个四边形不在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凹四边形。
教学目标
新课讲解
在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形。
等边三角形
正方形
正五边形
正六边形
想一想
观察下边的图形，它们的边和角有什么特点？
解析：根据正多边形的概念得：
A、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，故错误；
B、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，故错误；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形，错误，如菱形；
D、符合正多边形的定义，正确．故选D．
1.下列命题正确的是（
）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
D
教学目标
巩固提升
解析：从n边形的一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成（n-2）个三角形，
即可得n-2=10，
解得：n=12．
故选C．
2.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数是（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
C
教学目标
巩固提升
3.如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正八边形“扩展”而来的多边形的边数为（
）
A．32
B．40
C．72
D．64
C
教学目标
巩固提升
解析：∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4，
②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5，
③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6，
④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7，
∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．
当n=8时，8（8+1）=72个，
故选C
教学目标
巩固提升
4.图所示，写出这些多边形的名称，并从多边形的一个顶点出发到其他顶点把多边形分割成若干个三角形．
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
（1）四边形，分割如图（1）：
（2）五边形，分割如图（2）：
（3）七边形，分割如图（3）：
5.同学们，你们会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？
比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，根据积分排列名次．问学校一共要安排多少场比赛？
我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接（如右图）．
现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛．
同学们，请用类似的方法来解决下面的问题：
姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手。
教学目标
巩固提升
解析：先画出6个点，A、B、C、D、E、F各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用1条线段连接起来（如图所示）。
教学目标
巩固提升
先看姣姣（A）和红红（E）．姣姣已握手5次，说明姣姣与另外5人都握了手，因此代表姣姣的A点与B、C、D、E、F这5点都有一条线段连接；红红握手1次，他只能是与姣姣握的手了，所以E点只能与A点之间有线段连接，与其它各点再也不能有线段连接了．
其次分析林林（B）．林林已握手4次，由于他没有可能与红红握过手，所以只能是与剩下的四个人姣姣、可可、飞飞和娜娜握过手了，因此，点B与A、C、D、F四点之间有线段连接．
教学目标
巩固提升
再看飞飞（D）．飞飞已握手2次，而代表飞飞的D点已与A、B两点有线段连接了，所以D点与其它的点不能再有线段连接了．
最后考察可可（C）．可可与3人握了手，但已不能是与飞飞和红红握的手了，所以代表可可的点C只能与A、B、F三点有线段连接．
现在观察图形，与代表娜娜的点连接的线段有3条（AF、BF和CF），这说明姣姣、林林和可可三人已与娜娜握过手．
教学目标
课堂小结
1、多边形的定义
2、多边形的内角及外角
3、多边形的对角线
4、正多边形
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