(共22张PPT)
11.3
多边形及其内角和
人教版
八年级上册
教学目标
导入新课
三角形的内角和是多少？
三角形
180°
长方形的内角和是多少？
360°
你能用三角形得到长方形的内角和吗？
多边形的内角和
教学目标
新课讲解
B
A
D
C
一般四边形ABCD的内角和是多少？
探究
猜想：
四边形ABCD的内角和是360°。
你能利用用三角形证明这个结论吗？
教学目标
新课讲解
B
A
D
C
证明：对角线AC将四边形分为△ABC和△ACD。
在△ABC中，
∠B+∠2+∠3=180°
1
2
3
4
在△ACD中，
∠D+∠1+∠4=180°
三角形内角和=180°
∴∠B+∠2+∠3+∠D+∠1+∠4=360°
∴∠B+∠BAD+∠D+∠BCD=360°
四边形ABCD的内角和为360°。
教学目标
新课讲解
(1)从顶点A可以画
条对角线：
。
(2)这样五边形被分成了
个三角形？
(3)五边形的内角和是
.
A
B
D
C
E
对于五边形ABCDE的内角和，你能推出来是多少吗？
AD、AC
2
3
180°×3=540°
(3)五边形的内角和是
.
教学目标
新课讲解
A
B
C
D
E
F
对于六边形ABCDEF的内角和，你能推出来是多少吗？
(1)从顶点A可以画
条对角线：
。
(2)这样五边形被分成了
个三角形？
AD、AC、AE
3
4
180°×4=720°
你能总结多边形的内角和与边数的关系吗？
教学目标
新课讲解
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
分成的三角形个数
1
2
…
多边形的内角和
180°
180°
×2
180°
×3
…
3
4
5
n-2
180°
×5
(n-2)
×180
180°
×4
多边形的内角和与边数的关系
教学目标
新课讲解
想一想
把一个五角形分成几个三角形，有几种方法？
A
B
D
C
E
180°×3=540°
A
B
D
C
E
180°×4-180°=540°
A
B
D
C
E
180°×5-360°=540°
教学目标
新课讲解
多边形的内角和公式
n边形的内角和等于
(n－2)．180°
从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线
这些对角线将n边形分为（n-2）个三角形
教学目标
牛刀小试
（1）已知一个多边形的内角和等于2340°，
它的边数是
。
（2）小明在计算多边形的内角和时求得的
度数是1000°，他的答案正确吗？为什么？
15
根据多边形的内角和公式：
(n－2)．180°=1000°
计算得到n=7.56，不是正整数，所以答案错误。
教学目标
新课讲解
B
A
D
C
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°。
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°。
∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°。
如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
教学目标
新课讲解
在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？
例2
A
B
C
D
E
F
六边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以六边形的外角和加内角和等于6·180°，内角和为(6－2)·180°,因此，外角和为：6·180°－(6－2)·180°=
360°.
教学目标
新课讲解
n边形的外角和是多少度呢?
答:都是360°.因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n－2)·180°=
360°.
结论:多边形的外角和都等于360°.
想一想
1.我区某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论，甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180°，”乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”，丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”，丁说：“只要是多边形，不管有几边，其外角和都是360°”．你认为正确的是（
）
A．甲和丁
B．乙和丙
C．丙和丁
D．以上都不对
A
教学目标
巩固提升
解析：根据多边形内角和公式：（n-2）?180
（n≥3）且n为整数）可得甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180”是正确的；
根据多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360度可知乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”是错误的；
丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”错误，三角形的内角和为180°，外角和为360°，故丙错误；
根据多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360度可知丁说：“只要是多边形，不管有几边，其外角和都是360°”正确；
故正确的是：甲和丁，
故选：A
教学目标
巩固提升
2.如果多边形的内角和等于外角和，则这个多边形的边数是4；如果多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数是6；如果多边形的内角和等于外角和的3倍，则这个多边形的边数是8；…；如果多边形的内角和等于外角和的n倍，则这个多边形的边数是
．（n为正整数，用n表示）
2n+2
教学目标
巩固提升
解析：如果多边形的内角和等于外角和，则这个多边形的边数是2×1+2=4；
如果多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数是2×2+2=6；
如果多边形的内角和等于外角和的3倍，则这个多边形的边数是2×3+2=8；…；
如果多边形的内角和等于外角和的n倍，则这个多边形的边数是2n+2，
故答案为：2n+2．
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
3、
一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加多少度？
解：
设多边形的边数为n，
因为它的内角和等于
(n-2)?180°,
当边数增加1时，内角和为(n+1-2)?180°，
?
(n+1-2)?180°-
(n-2)?180°
=n?180°-180°-
n?180°+360°
=
180°?内角和增加180°
教学目标
巩固提升
4、
一个多边形除一个内角外其余各内角和1999°,求这个多边形的变数。
解:设边数为N,这个内角的度数为X.
∴180(n-2)-x=1999，x=180(n-2)-1999
得到x=180n-2359
又∵0180n-2359
<180
∴13
（n为正整数）∴n=14。
教学目标
课堂小结
1、多边形内角和公式：(n－2)．180°
2、多边形外角和为360°。
3、如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
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《多边形及其内角和》练习
一、选择——基础知识运用
1．若一个多边形的边数增加1，它的内角和（ ）
A．不变
B．增加1
C．增加180°
D．增加360°
2．某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（ ）
A．180°
B．540°
C．1900°
D．1080°
3．我区某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论，甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180°，”乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”，丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”，丁说：“只要是多边形，不管有几边，其外角和都是360°”．你认为正确的是（
）
A．甲和丁
B．乙和丙
C．丙和丁
D．以上都不对
4．一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（ ）
A．19
B．17
C．15
D．13
5．一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形；一个多边形的内角和是外角和一半，它是几边形。以上两个多边形分别是（
）
A．八边形、四边形
B．九边形、四边形
C．七边形、三角形
D．九边形、三角形
6．若一个多边形的内角和与外角和的度数比为4：1，则此多边形共有对角线（
）
A．35条
B．40条
C．10条
D．50条
二、解答——知识提高运用
7．小贝在进行多边形内角和的计算时，求得一多边形的内角和为1500°，当她发现错了之后，重新检查，发现少加一个内角，你知道她少加的这个内角是多少度吗？她求的这个多边形是几边形？
8．若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之和为1440°，求这两个多边形的边数。
9．如图，小明从点A出发，前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形。
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
10．我们知道三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果边数为n的多边形，其内角和为（n-2）180°；反过来，已知多边形的内角和，同样利用内角和公式可求出这个多边形的边数，如：一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为8；
（1）求十边形的内角和；
（2）已知一个多边形的内角和为2160°，求这个多边形的边数；
（3）已知一个多边形的内角和是三角形内角和的2倍，求这个多边形的边数。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】设原来的多边形是n，则新的多边形的边数是n+1．根据多边形的内角和定理即可求得．
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）?180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1﹣2）?180°。
则（n+1﹣2）?180°﹣（n﹣2）?180°=180°。
故选C。
2．【答案】C
【解析】∵n（n≥3）边形的内角和是（n﹣2）180°，所以多边形的内角和一定是180的整数倍．
∴在这四个选项中不是180的倍数的是1900°。
故选C。
3．【答案】A
【解析】根据多边形内角和公式：（n-2）?180
（n≥3）且n为整数）可得甲说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180”是正确的；
根据多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360度可知乙说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”是错误的；
丙说：“多边形的内角和不小于其外角和”错误，三角形的内角和为180°，外角和为360°，故丙错误；
根据多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360度可知丁说：“只要是多边形，不管有几边，其外角和都是360°”正确；
故正确的是：甲和丁，
故选：A
4．【答案】C
【解析】解：设内角和是2520°的多边形的边数是n．
根据题意得：（n﹣2）?180=2520，
解得：n=16．
则原来的多边形的边数是16﹣1=15。
故选C。
6．【答案】A
设这个多边形是n边形，
∵多边形的内角和与外角和的度数比为4：1，
∴（n-2）?180°=4×360°，
∴n=10。
∴10×（10-3）÷2=35（条），
故选A。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】n边形的内角和是（n-2）?180°，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大的且最接近的整数就是多边形的边数。
则1500÷180=8，则边数n=8+2+1=11；
即少加的内角是：（11-2）×180-1500=120°．
8．【答案】本题根据等量关系“两个多边形的内角之和为1440°”列方程求解，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。
设多边形较少的边数为n，则
（n﹣2）?180°+（2n﹣2）?180°=1440°，
解得n=4。
2n=8。
故这两个多边形的边数分别为4，8。
9．【答案】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得边数，即可求解；
∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20=18，18×5=90m；
答：小明一共走了90米；
（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论。
（18-2）×180°=2880°，
答：这个多边形的内角和是2880度。
10．【答案】（1）（10-2）×180°，
=8×180°，
=1440°；
答：十边形的内角和是1440°。
（2）设这个多边形的边数为n，根据题意可得：
（n-2）×180°=2160°，
180°n-360°=2160°，
180°n=2520°，
n=14；
答：这个多边形是14边形。
（3）设这个多边形的边数为x，根据题意可得：
（x-2）×180°=180°×2，
180°x-360°=360°，
180°x=720°，
x=4；
答：这个多边形是4边形。
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精品试卷·第
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