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12.2
三角形全等的判定
人教版
八年级上册
教学目标
导入新课
如何通过三角形的角和边来判断两个三角形是否全等呢？
A
B
C
E
F
G
已知：如图，△ABC≌△EFG，找出图中相等的边和角.
AB=EF,
AC=EG,
BC=FG.
∠A=
∠E,
∠C=
∠G,
∠
B=∠
F.
三角形全等的判定
教学目标
新课讲解
要画一个三角形与已知的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件？两个条件？三个条件？……
探究
教学目标
新课讲解
有一条边相等的两个三角形
不一定全等
结论：有一条边相等不能保证两个三角形全等.
如果给出一个条件，有哪几种情况？
教学目标
新课讲解
2.
有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论：有一个角相等不能保证两个三角形全等.
教学目标
新课讲解
有两个角对应相等的两个三角形
如果给出两个条件，有哪几种情况？
3.
有一个角和一条边对应相等的两个三角形
2.
有两条边对应相等的两个三角形
教学目标
新课讲解
60o
300
1、有两个角对应相等的两个三角形
300
60o
不一定全等
结论：有两个角相等不能保证两个三角形全等.
教学目标
新课讲解
2.
有两条边对应相等的两个三角形
4cm
6cm
4cm
6cm
不一定全等
结论：有两条边相等不能保证两个三角形全等.
教学目标
新课讲解
6cm
300
3.
有一个角和一条边对应相等的两个三角形
30o
6cm
不一定全等
结论：有一个角和一条边相等不能保证两个三角形全等.
教学目标
新课讲解
若给出三个条件画三角形，你能说出有哪几中可能情况?
想一想
三个角
三条边
一个角，两条边
两个角，一条边
能画出全等的三角形吗？
教学目标
新课讲解
1、三个角相等
结论：有三个角相等不能保证两个三角形全等.
教学目标
新课讲解
已知△ABC，再画一个△A’B’C’，使得A’B’=AB，A’C’=AC，B’C’=BC，把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上这两个三角形全等吗？
探究
A
B
C
教学目标
新课讲解
画法:
2.分别以
B’
，
C’为圆心,
BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’;
3.
连接线段
A’B’
，
A’C’
.
上述结论反映了什么规律？
1.画线段
B’C’
=BC;
A
B
C
B’
C’
A’
教学目标
新课讲解
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）
三角形全等的判定定理1：
这个定理说明：三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这也是三角形具有稳定性的原理。
教学目标
新课讲解
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△
DEF中，
∴
△ABC
≌△
DEF（SSS）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
用符号语言表达为：
教学目标
新课讲解
例1.
如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。
求证：△
ABD≌
△
ACD。
证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD
在△ABD与△ACD中
AB=AC（已知）
BD=CD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
教学目标
新课讲解
①分析已有条件,准备所缺条件：
证全等时要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
全等三角形证明的基本步骤：
教学目标
新课讲解
O
D
B
C
A
已知：∠AOB．求作：
∠A′O′B′=∠AOB．
利用尺规作已知角的相等角：
教学目标
新课讲解
O′
D′
B′
C′
A′
O
D
B
C
A
作法：
1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D.
2.画一条射线O′A′.以点O′为圆心OC长为半径画弧.交O′A′于点C′.
3.以点C′为圆心.CD长为半径画弧.与第2步中所画的弧交于点D′.
4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.
1．如图，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（ ）
A.
①或②B.
②或③C.
①或③D.
①或④
A
教学目标
巩固提升
教学目标
巩固提升
解析：由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB=FE，
若添加①AE=FB，则可得AE+BE=FB+BE，即AB=FE，
故①可以；
若添加AB=FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以．
若添加AE=BE，或BF=BE，均不能得出AB=FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以．
故选A．
教学目标
巩固提升
2、如图，AD=BC，DC=AB，AE=CF，找出图中的一对全等三角形，并说明你的理由。
?
?
解：△ABC≌△CDA．
理由是：在△ABC和△CDA中，
∵BC=AD；AB=DC；AC=AC，
∴△ABC≌△CDA（SSS）．
教学目标
巩固提升
3、如图，在四边形ABCD中，点E、F在直线BD上，AE=CF，AD=CB，BE=DF。
（1）试判断△ADE与△CBF是否全等？并说明理由。
（2）试判断AD与BC是否平行，并说明理由。
教学目标
巩固提升
解：（1）△ADE与△CBF全等；理由如下：
∵点E、F在直线BD上，BE=DF，
∴DE=BF，
在△ADE和△CBF中，
AE＝CF
AD＝CB
DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF（SSS）；
教学目标
巩固提升
解：（2）AD与BC平行；理由如下：
由（1）得：△ADE≌△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∵∠ADE+∠ADB=∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC。
教学目标
课堂小结
1、三角形全等的判定：
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）
2、利用SSS画已知角的相等角。
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人教版数学八年级上册12.2.1三角形全等的判定教学设计
课题
12.2.1三角形全等的判定
单元
第十二单元
学科
数学
年级
八年级
学习目标
1.知识与技能（1）掌握“边边边”条件的内容。（2）能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等。2.过程与方法使学生经历探索三角形全等的条件的过程，体验用操、归纳得出数学结论的过程。3.情感态度和价值观使学生了解通过观察和实验可以获得许多数学知识，并学会把这些数学知识应用于他们的日常生活中。
重点
探索三角形全等的条件，会应用“边边边”判定两个三角形全等
难点
探索三角形全等的条件，用尺规作一个角等于已知角
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课件展示：复习引入。【过渡】在上节课的学习中，我们学习了全等三角形的性质，现在请大家回忆一下，全等三角形都具有哪些性质？对于这两个全等三角形，有哪些对应相等？（学生回答）【过渡】现在，就有这样一个问题，我们并不知道这两个三角形全等，那么我们该通过哪些条件能够判定它们是全等三角形呢？今天我们就来探究一下这个问题。
学生回答问题，同时回忆复习全等三角形的性质，对接下来要提出的问题有一个连接。
通过问题情境的创设，引入本课课题，激发学生的好奇心和求知欲，使他们体会探索的过程是为了解决问题的实际需要，对学生提出的解决问题的不同策略，要给予肯定和鼓励.
讲授新课
1．三角形全等的判定【过渡】我们结合三角形的性质，对于两个三角形可以给出哪些条件呢？探究：要画一个三角形与已知的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件？两个条件？三个条件？……【过渡】首先我们来看一下满足一个条件能不能判定三角形全等。（1）有一条边相等的两个三角形课件展示两个只有一条边相等的三角形【过渡】通过刚刚的展示，我们知道，只有一条边相等时，我们可以得到不全等的三角形，因此我们得出结论：有一条边相等不能保证两个三角形全等。【过渡】接下来我们来看另外一个情况，（2）
有一个角相等的两个三角形课件展示两个只有一个角相等的三角形【过渡】和刚刚一样，我们同样能得到不全等的三角形。结论：有一个角相等不能保证两个三角形全等。【过渡】通过刚刚的探究，我们知道，只有一个条件的时候不能保证两个三角形全等，那如果是两个条件呢？大家来回答一下，都有几种情况？（学生回答）（1）有两个角对应相等的两个三角形（2）有两条边对应相等的两个三角形（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形课件展示这三个条件下的动画。【过渡】通过刚刚的探究，我们能够发现，满足两个条件时，同样不能保证两个三角形全等。【过渡】接下来，我们来看一下三个条件的情况。谁能回答三个条件都有哪些情况？（学生回答）【过渡】我们先来看一下三个角相等的情况。我们来看一下这两个三角板，我们知道，这两个三角板三个角的角度都是一样大的，但是很明显，这两个三角形的大小并不一样，因此，也不是全等三角形。【过渡】既然三个角不可以，那么三条边相等呢？我们来看一下课本探究的内容。学生动手进行探究内容的操作。【过渡】大家按照课本的画法，画出来的两个三角形一样吗？（学生进行动手，验证是否相等）【过渡】通过刚刚大家的比较，我们知道，三条边相等的两个三角形是全等的。因此我们得到了三角形全等判定的定理：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。【过渡】这个定理也说明了，三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这也是三角形具有稳定性的原理。课件展示该定理的几何语言：在△ABC和△
DEF中，AB=DE，BC=EF，CA=FD，∴
△ABC
≌△
DEF（SSS）课件讲解课本例1
。【过渡】从例1中，我们能够看到在运用定理进行问题解决的时候，可以依照这样的步骤：①分析已有条件,准备所缺条件：证全等时要用的间接条件要先证好；②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论【过渡】其实，利用SSS判定定理，我们可以利用尺规作已知角的相等角。课件展示具体过程。【知识巩固】1、已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论中不正确的是（ A ）A．CO=DO
B．AO=BO
C．AB⊥CD
D．△ACO≌△BCO2、如图，已知AB=AC，要使△ABD≌△ACD，需要添加的条件是（ B ）A.
∠B=∠CB.
BD=CDC.
∠BDA=∠DACD.
BD=AC3、如图，CA=CB，DA=DB．求证：OA=OB，CD⊥AB．解：证明：在△ACD和△BCD中，
CA＝CB
DA＝DB
CD＝CD（公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS），∴∠ACD=∠BCD，又∵CA=CB，∴OA=OB，CD⊥AB．【拓展提升】1、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ B ）A．0根
B．1根
C．2根
D．3根
2、已知:如图，AB=AC,DB=DC,请说明∠B
=∠C成立的理由解：
连接AD在△ABD和△ACD中，AB=AC
(已知）DB=DC
（已知）
AD=AD
（公共边）∴△ABD≌△ACD
(SSS)∴
∠B
=∠C
(全等三角形的对应角相等）
1教师引导学生分别从“角”和“边”的角度分析一个条件、两个条件各有几种情形。教师引导全班学生共同完成满足一个条件的情况的探究，然后指导学生分组操作，对满足两个条件的情况进行探究，并在组内进行交流、讨论。
从最少的条件开始，教师适时引导学生有条理、有依据地思考问题，两个三角形满足的条件组合时提醒学生按照一定的顺序、规律进行，不重不漏，让学生在讨论的过程中体验分类的思想，培养学生的合情推理能力和清晰条理的语言表达能力.通过全过程的画图、操作，增强学生的数学体验，更利于理解SSS。
课堂小结
在课堂上要给予学生充分的时间去思考、动手实践.教师在课堂中照顾到每一名学生，让全体学生都动起来.在把他们的结论互相比较之前，留给学生足够的时间，使大部分学生都能完成画图的活动.例题教学也要让学生充分参与.调动学生动手操作，在全等变换下构图，在观察图形中编题，可以极大地激发学生的学习热情，深化、灵活和拓宽学生的思维.
板书
1、三角形全等的判定：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）2、利用SSS画已知角的相等角
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《全等三角形》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做是运用了三角形的（
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A．全等性
B．灵活性
C．稳定性
D．对称性
2．附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（
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A．
△ACF
B．
△ADE
C．
△ABC
D．
△BCF
3．如图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确的是（
）
A．
△ABD≌△CBD
B．
△ABC≌△ADC
C．△AOB≌△COB
D．
△AOD≌△COD
4．如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（
）
A．∠A=∠C
B．AB=AD
C．AD∥BC
D．AB∥CD
5．如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（
）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
6．如图，AB∥CD，AD∥BC；则图中的全等三角形共有（
）
A．5对
B．4对
C．3对
D．2对
二、解答——知识提高运用
7．如图，AB=AC，DB=DC，EB=EC．请写出图中所有的全等三角形，并选一个说明理由。
8．如图，AD=AE，BD=CE，AF⊥BC，且F是BC的中点，求证：∠D=∠E。
9．如图，已知AB=AC，AD=AE，BE=CD，
（1）求证：∠BAC=∠EAD；
（2）写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系，并予以证明。
10．1.已知：如图，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，那么△ABE≌△DCF吗？
并证明你的结论。你能说明AB与DE的位置关系吗？并证明你的结论。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】这样做是运用了三角形的：稳定性。
故选C。
2．【答案】B
【解析】根据图象可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，
∴△ACD≌△AED，
即△ACD和△ADE全等，
故选B。
3．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD关于BD所在的直线对称，
∴△ABD≌△CBD，△AOB≌△COB，△AOD≌△COD，故A、C、D判断正确；
∵AB≠AD，
∴△ABC和△ADC不全等，故B判断不正确。
故选B。
4．【答案】B
【解析】∵在△ABD和△CDB中，
AB＝CD
AD＝CB
BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠CDB，∠A=∠C
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴A、C、D选项正确。
故选B。
5．【答案】B
【解析】根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点。21教育网
故选B。
6．【答案】B
【解析】∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AO=CO，BO=DO，EO=FO，∠DAO=∠BCO，
又∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB，∠AOE=∠COF，
∴△AOB≌△COD（SSS），△AOD≌△COB（SSS），△ABC≌△CDA（SSS），△ABD≌△CDB（SSS）。21世纪教育网版权所有
故图中的全等三角形共有4对。
故选B。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△DBE≌△DCE．
在△ABD与△ACD中，
∵
AB=AC
DB=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）。
9．【答案】（1）∵在△BAE和△CAD中
AE=AD
AB=AC
BE=DC
∴△BAE≌△CAD（
SSS
），
∴∠BAE=∠1，
∴∠BAE+∠EAC=∠1+∠EAC，
∴∠BAC=∠EAD．
（2）∠3=∠1+∠2，
证明：∵△BAE≌△CAD，
∴∠1=∠BAE，∠2=∠ABE，
∵∠3=∠BAE+∠ABE，
∴∠3=∠1+∠2。
10．【答案】
证明：
∵BE=CF(已知)
∴
BE+EC=CF+EC
(等式的性质)
即BC=EF
在△ABC和△DEF
中
AB=DE
AC=DF
BC=EF
∴
△ABC≌△DEF
∴
∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）
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