(共38张PPT)
第二章 圆锥曲线与方程
§1
椭圆
1.1 椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义
我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距.
名师点拨点M满足集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,a>0,c>0,且a,c都为常数.
(1)当a>c,即2a>2c时,动点轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆;
(2)当a=c,即2a=2c时,动点轨迹为线段F1F2;
(3)当a对于后两种情况应该注意,它们可以帮助我们理解椭圆的定义,并在具体问题中做出适当的判断.
【做一做1】
(1)命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数);命题乙:点P的轨迹是椭圆,且A,B是焦点,则命题乙是命题甲的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.既不充分也不必要条件
D.必要不充分条件
(2)已知F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆
B.直线
C.线段
D.圆
解析:(1)若点P的轨迹是椭圆,且A,B是焦点,则一定有|PA|+|PB|=2a,所以乙是甲的充分条件;
反之,若|PA|+|PB|=2a,不能推出点P的轨迹是椭圆,仅当2a>|AB|时,点P的轨迹才是椭圆.
(2)∵|MF1|+|MF2|=8=|F1F2|,∴点M的轨迹是线段F1F2,故选C.
答案:(1)B (2)C
2.椭圆的标准方程
名师点拨对椭圆标准方程的认识
(1)标准的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上,对称轴是坐标轴.
(2)标准的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方和,并且分母不相等.
(3)a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆.a,b,c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边,a是斜边,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2.
(4)由椭圆的标准方程如何判断其焦点的位置:椭圆的焦点在x轴上?在标准方程中,x2项的分母比较大;椭圆的焦点在y轴上?在标准方程中,y2项的分母比较大.
(2)由已知椭圆的焦点在x轴上,且a2=16,b2=7,
∴c2=9,c=3.
∴椭圆的焦点坐标为(-3,0)和(3,0).
答案:(1)C (2)(-3,0)和(3,0)
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹就是椭圆.( )
(2)在椭圆的标准方程中,a,b的大小是不确定的.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2|F1F2|.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若∠F1PF2=120°,求△PF1F2的面积.
分析(1)利用定义求出方程;(2)由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|,|PF2|的方程,求出|PF1|·|PF2|的值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)依题意知|F1F2|=2,
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>2=|F1F2|,
∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
(2)设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=2a=4.
在△PF1F2中,由余弦定理,得
|F1F2|2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,
∴4=(m+n)2-2mn(1+cos
120°),
解得mn=12.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)在椭圆中,由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目,我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,这就需要我们在解题时,要充分理解题意,分析条件,利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中,经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1如图所示,已知过椭圆
的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.求△AF1B的周长.
所以a=5,
故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,
|AF2|+|BF2|=|AB|,
所以△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|
=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)
=2a+2a=20.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为F1(-3,0),F2(3,0),并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10;
分析应用待定系数法求椭圆的标准方程,注意“定位”与“定量”的确定.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求椭圆标准方程的步骤:
(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是在两个坐标轴上都有可能.
(2)设方程:
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).
(3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组.
(4)得方程:解方程组,代入所设方程即为所求.
其主要步骤可归纳为“先定型,再定量”.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和是10;
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1外切,与C2内切,求圆心P的轨迹.
分析由平面几何知识知,两圆相切时常连接两圆心,利用切点在连心线上及圆心距与两半径的关系,求解此类问题.
解由条件,两圆半径分别是3和13,
设P(x,y),动圆半径为r,
即P点到两定点C1,C2的距离之和为定值16.
又16>|C1C2|=8,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟利用椭圆的定义求轨迹方程,是先由题意找到动点所满足的条件,看其是否符合椭圆的定义,再确定椭圆的方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|AC|+|BC|=18得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,但点A不在x轴上.
由a=5,c=4,
得b2=a2-c2=25-16=9.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因考虑不全面而导致失误
【典例】
已知椭圆经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.
易错分析本题没有说明焦点在哪个坐标轴上,应考虑焦点在x轴、y轴上两种情形,解题时易主观地认为焦点在x轴上,这是初学者易犯的错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知椭圆的中心为原点,焦距为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求椭圆的方程.
1
2
3
4
5
1.设P是椭圆
上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )
A.4
B.5
C.8
D.10
解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a.
∵a2=25,∴2a=10.
∴|PF1|+|PF2|=10.
答案:D
6
1
2
3
4
5
2.已知椭圆
上一点M到椭圆的一个焦点的距离为2,则点M到另一个焦点的距离等于( )
A.1
B.2
C.4
D.6
解析:由椭圆方程可知2a=8,设F1,F2为焦点,令|MF1|=2,则|MF2|=2a-2=6.
答案:D
6
1
2
3
4
5
3.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是 .
?
答案:2
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
5.已知椭圆
上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线夹角为直角,则|PF1|·|PF2|= .?
|F1F2|=2c=10.
由于PF1⊥PF2,
所以由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2=100.
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=14,
所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=100,
即196-2|PF1|·|PF2|=100,
解得|PF1|·|PF2|=48.
答案:48
1
2
3
4
5
6
6.已知椭圆
上一点M到左焦点F1的距离为6,N是MF1的中点,求|ON|的值.
解设右焦点为F2,连接F2M,
∵O为F1F2的中点,N是MF1的中点,
∴|ON|=
|MF2|.
又∵|MF1|+|MF2|=2a=10,|MF1|=6,
∴|MF2|=4,∴|ON|=2.(共27张PPT)
1.2 椭圆的简单性质
椭圆的简单性质
名师点拨1.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据:
(1)若把方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称.
(2)若把方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称.
(3)若把方程中的x,y同时换成-x,-y,方程不变,则曲线关于原点对称.
2.椭圆的顶点是它与对称轴的交点,所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上,且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴,因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上.
3.a,b,c在椭圆内可构成Rt△OFB,Rt△OFB叫作椭圆的特征三角形,这是a,b,c的一个几何意义.
【做一做】
(1)已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为 .?
(2)椭圆16x2+9y2=144的长轴长是 ;短轴长是 ;离心率是 .?
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率都与椭圆焦点所在的坐标轴有关.( )
(2)椭圆的离心率越大,椭圆越接近于圆.( )
(3)从图形的角度看,椭圆位于直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形区域内.( )
(4)椭圆x2+4y2=1的离心率为3.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=
,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
分析应先将椭圆方程化为标准形式,用m表示a,b,c,再由e=
求出m的值,最后再研究椭圆的相关性质.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟研究椭圆几何性质的关键
1.根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时,关键是将所给方程正确化成椭圆的标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,从而准确求出a,b,进而求出椭圆的其他有关性质.
2.在椭圆的诸多基本量中,有些是与焦点所在的坐标轴无关的,如:长轴长、短轴长、焦距、离心率;而有些则是与焦点所在坐标轴有关的,如:顶点坐标、焦点坐标等,在计算时应注意确定焦点位置.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是6,离心率是
;
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴的两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
分析因为要求的是椭圆的标准方程,故可以先设出椭圆的标准方程,再利用待定系数法求参数a,b,c.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求椭圆标准方程的常用方法及一般步骤
(1)常用方法:利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常利用待定系数法.
(2)一般步骤:根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.其一般步骤为
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(4,0),(0,2);
(2)椭圆的短轴长等于2,长轴端点与短轴端点间的距离等于
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析(1)利用a,b,c成等差数列得到a,b,c的关系,结合a2=b2+c2及离心率的定义求解.
(2)通过题设条件得出△MF2F1的几何特征,以此求出a,c的数量关系,进而求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
代入a2=b2+c2,得5c2+2ac-3a2=0,
即5e2+2e-3=0,
答案:C
(2)解由题意知∠MF1F2是直线的倾斜角,
所以∠MF1F2=60°.
因为∠MF1F2=2∠MF2F1,
所以∠MF2F1=30°,所以△MF2F1是直角三角形.
在Rt△MF2F1中,|F2F1|=2c,∠MF2F1=30°,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟椭圆的离心率的求法
求椭圆的离心率,关键是寻找a与c的关系,一般地:
(3)若已知a,b,c的关系,则可转化为a,c的齐次式,再转化为含e的方程求解即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3A为y轴上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,△AF1F2为正三角形,且AF1的中点B恰好在椭圆上,求此椭圆的离心率.
解如图,连接BF2.
因为△AF1F2为正三角形,且B为线段AF1的中点,
所以F2B⊥BF1,∠BF2F1=30°.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因忽视椭圆焦点的位置而失误
易错分析误认为椭圆的焦点在x轴上,而忽视椭圆的焦点位置的不确定性,应分焦点在x轴和y轴上两种情况进行讨论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得正确记忆每一个知识点和计算公式.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
1
2
3
4
答案:B
1
2
3
4
答案:D
1
2
3
4
3.椭圆的短半轴长为3,焦点到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆的离心率为( )
答案:C
1
2
3
4
4.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为
,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.求椭圆G的方程.(共28张PPT)
§2
抛物线
2.1 抛物线及其标准方程
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.
(2)点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.
(3)图形展示:
名师点拨抛物线的定义可归纳为“一动三定”:一个动点,设为点M;一个定点F(即抛物线的焦点);一条定直线(即抛物线的准线);一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于常数1).
【做一做1】平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹是( )?
A.抛物线
B.直线
C.抛物线或直线
D.不存在
答案:C
2.抛物线的标准方程
y2=2px(p>0)叫作抛物线的标准方程.这条抛物线的焦点在x轴正半轴上,焦点坐标是
,它的准线方程是
.
特别提醒1.“p”的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值恒大于0.
2.只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才是标准方程.
【做一做2】
(1)抛物线y2=8px(p>0),F是焦点,则p表示( )
A.F到准线的距离
D.F到y轴的距离
(2)抛物线y2=4x的焦点坐标为 .?
(3)若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为 .?
解析:(1)化为标准形式y2=2×(4p)x(p>0),则4p就是焦点F到准线的距离,所以p表示焦点F到准线的距离的
.
(2)因为y2=4x,所以2p=4,即p=2,
所以焦点坐标为(1,0).
(3)由题意可知-
=-7,故p=14,且焦点在x轴正半轴上,所以抛物线的标准方程为y2=28x.
答案:(1)B (2)(1,0) (3)y2=28x
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内与定点(1,0)和直线y=x-1距离相等的点的轨迹是抛物线.( )
(2)抛物线与二次函数的图像是完全相同的.( )
(3)抛物线y2=-8x的焦点坐标是(-2,0).( )
(4)若抛物线的方程是x=4y2,则其中的焦参数p=2.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
(1)过点A(1,0),且与直线l:x=-1相切的圆的圆心的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
(2)设点A是抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),点M是线段AB的中点,若|AB|=6,则M到直线x=-1的距离为 .?
分析(1)判断到一定点与到一定直线距离相等的点的轨迹是否是抛物线,要看定点与定直线的位置关系.
(2)利用抛物线的定义求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:(1)如图,设动圆的圆心为M,由题意,M到直线l的距离等于圆的半径|MA|,由抛物线的定义知,点M的轨迹是以A(1,0)为焦点,以直线l为准线的抛物线.
(2)B(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,直线l:x=-1是抛物线的准线,过A作AA'⊥l于A',则|AA'|=|AB|=6.则M到直线x=-1的距离为
答案:(1)D (2)4
反思感悟应用定义解决的两类问题:
(1)判断动点的轨迹的类型;
(2)利用抛物线的定义,将到焦点的距离与到准线的距离进行相互转化.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是( )
A.y2=-16x
B.y2=-32x
C.y2=16x
D.y2=32x
解析:∵点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,
∴点P到F(4,0)的距离等于它到定直线x=-4的距离.
∴点P的轨迹方程为y2=16x.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(2)以x轴为对称轴,焦点在直线3x-4y-12=0上.
分析对于(1),需要确定p的值,因为点
在第四象限,所以抛物线的标准方程可设为y2=2px(p>0);对于(2),因为标准方程的焦点在x轴上,所以求出直线3x-4y-12=0与x轴的交点(4,0),即可求出.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求抛物线标准方程的常用方法
(1)直接法:建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,写出对应方程,化简方程可得;
(2)待定系数法:根据已知条件设出抛物线的标准方程,再根据题干中的条件,求出参数p;
(3)定义法:直接根据定义求p,最后写出标准方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,交抛物线于A,B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是 .?
答案:y2=3x
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
设点P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若点B的坐标为(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
分析(1)中将点P到直线x=-1的距离转化为到焦点的距离;(2)中将点P到点F的距离转化为点P到准线的距离.这是解答本题的关键.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)如图①所示,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程是x=-1,由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF,AF与抛物线的交点即为点P,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)如图②所示,把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2
.
因为2
>2,所以点B在抛物线内部,过点B作BQ垂直于准线,垂足为Q,交抛物线于点P1,连接P1F.
此时,由抛物线的定义知,|P1Q|=|P1F|.
所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,
即|PB|+|PF|的最小值为4.
反思感悟解关于抛物线的最值、定值问题时,首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化,其次是注意平面几何知识的应用,例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )
解析:点Q(2,-1)在抛物线内部,如图所示.
由抛物线的定义知,抛物线上的点P到点F的距离等于点P到准线x=-1的距离,过Q点作x=-1的垂线,与抛物线交于K,则K为所求,当y=-1时,x=
,
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因没有理解方程中p值的几何意义而导致失误
【典例】
从抛物线y2=8x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PF|=5,F为抛物线的焦点,则△MPF的面积为 .?
易错分析易误认为p=8,导致p的值求错,而致使最后结果错误.
解析:∵抛物线为y2=8x,∴2p=8,∴p=4.
∴准线方程为x=-2.
设P(x0,y0),由抛物线定义得|PF|=|PM|=x0+2=5,
纠错心得1.正确掌握抛物线的标准方程,认清p的几何意义.
2.理解抛物线的定义,合理进行到焦点与到准线的距离的转化.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知点P到F(4,0)的距离和到直线x=-5的距离相等,求点P的轨迹方程.
整理得y2=18x+9,即y2=18x+9为所求轨迹方程.
1
2
3
4
5
1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是( )
A.直线
B.抛物线
C.圆
D.椭圆
解析:∵定点(1,1)在直线x+2y=3上,∴轨迹为直线.
答案:A
1
2
3
4
5
2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4
B.6
C.8
D.12
解析:如图所示,抛物线的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2,PE垂直于准线且垂足为E,由抛物线的定义知,|PF|=|PE|=4+2=6.
答案:B
1
2
3
4
5
3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于5,则抛物线的标准方程和m的值分别为 和 .?
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p= .?
解析:由x2+y2-6x-7=0,得(x-3)2+y2=16,
答案:2
1
2
3
4
5
5.已知动圆M与直线x=2相切,且与定圆C:(x+3)2+y2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(-3,0)的距离与到直线x=3的距离相等,
则动圆圆心的轨迹是以C(-3,0)为焦点,x=3为准线的一条抛物线,其方程为y2=-12x.(共27张PPT)
2.2 抛物线的简单性质
抛物线的简单性质
名师点拨抛物线的性质特点
(1)抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线,无对称中心,因此,抛物线又称为无心圆锥曲线.
(2)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线.
(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比,所以抛物线的离心率是确定的,为1.
(4)抛物线的焦点在对称轴上,准线垂直于对称轴,焦点到准线的距离为p,它是一个不变量,不随抛物线位置的变化而变化,焦点与准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均为
.
【做一做1】
设抛物线的顶点坐标为(0,2),准线方程为y=-1,则它的焦点坐标为( )
A.(5,0)
B.(0,3)
C.(0,-2)
D.(0,5)
解析:由题意知,焦点F(0,y0)与点K(0,-1)关于顶点(0,2)对称,
答案:D
【做一做2】
抛物线4y+5x2=0的焦点与准线之间的距离是 .?
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3,2)的抛物线有4条.( )
(2)像椭圆一样,一条抛物线有两个焦点、两条对称轴、一个对称中心.( )
(3)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( )
(4)过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交于两点A,B,则|AB|与抛物线标准方程的一次项系数相等.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程:
(1)x2=6y;(2)2y2+5x=0;(3)x=ay2(a≠0).
分析将方程化为标准形式,求p,结合图形,从而求得焦点坐标与准线方程.
解(1)∵2p=6,∴p=3.
又∵开口向上,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求抛物线的焦点及准线的步骤:
(1)把解析式化为抛物线标准方程形式;
(2)明确抛物线开口方向;
(3)求出抛物线标准方程中参数p的值;
(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
分析先由椭圆方程确定抛物线的焦点位置,以确定抛物线方程的形式,然后确定p的值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
其短轴在x轴上,
所以抛物线的对称轴为x轴,
所以设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
因为抛物线的焦点到顶点的距离为3,
即
=3,所以p=6.
所以抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,
其准线方程分别为x=-3和x=3.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求抛物线的标准方程要明确四个步骤:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2
,求这条抛物线的方程.
分析因为圆和抛物线都关于x轴对称,所以它们的交点也关于x轴对称,即公共弦被x轴垂直平分,于是由弦长等于2
,可知交点纵坐标为±
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),
设交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),
故所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面上的部分高
米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?
分析建系→设方程→求方程→求出相关量→解决问题
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟抛物线实际应用问题的五个步骤
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3如图所示,水池中央有一喷泉,水管的长|O'P|=1
m,水从喷头P喷出后呈抛物线的形状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2
m,点P距抛物线的对称轴1
m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到个位)
解如图所示,建立平面直角坐标系.
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0).
由题意得P(-1,-1),
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因忽视直线的斜率导致求解失误
【典例】
求过定点P(0,1),且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.
易错分析本题直接设出直线的点斜式方程,会忽视斜率不存在的情况从而导致漏解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得在解直线与抛物线的位置关系时,往往直接把直线方程设成点斜式方程,这样就把范围缩小了,而应先看斜率不存在的情况是否符合要求,直线斜率为0的情况也容易被忽略,所以解决这类问题时,特殊情况要优先考虑,画出草图是行之有效的方法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程.
解显然,直线斜率k存在,
设其方程为y-2=k(x+3),
消去x,整理得ky2-4y+8+12k=0.①
(1)当k=0时,方程①化为-4y+8=0,即y=2,
此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)当k≠0时,方程①应有两个相等实根.
所以直线方程为y-2=(x+3)或y-2=-(x+3),
即x-3y+9=0或x+y+1=0.
故所求直线有三条,其方程分别为y=2,x-3y+9=0,x+y+1=0.
1
2
3
4
1.抛物线y2=-2px(p>0)的焦点恰好与椭圆
的一个焦点重合,则p=( )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析:椭圆中a2=9,b2=5,
∴c2=a2-b2=4,∴c=2,
∴p=4,故选C.
答案:C
1
2
3
4
2.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图像上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案:A
1
2
3
4
3.顶点在原点,焦点在x轴上,通径(过焦点和对称轴垂直的弦)长为6的抛物线方程是 .?
解析:∵焦点在x轴上,顶点在原点,
∴抛物线方程为y2=±2px(p>0).
又∵通径长为2p=6,
∴y2=±6x.
答案:y2=±6x
1
2
3
4
4.求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为4;
(2)顶点是椭圆16x2+9y2=144的中心,准线过椭圆的左顶点,且垂直于坐标轴.(共34张PPT)
§3
双曲线
3.1 双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义
(1)定义:在平面内到两个定点F1,F2距离之差的绝对值等于常数(大于0且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.
(2)符号表示:||MF1|-|MF2||=2a(常数)(0<2a<|F1F2|).
(3)焦点:两个定点F1,F2.
(4)焦距:两焦点之间的距离,表示为|F1F2|.
名师点拨定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”.
(1)在双曲线的定义中,条件0<2a<|F1F2|不应忽视,若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是两条射线;若2a>|F1F2|,则动点的轨迹不存在.
(2)双曲线定义中应注意关键词“绝对值”,若去掉定义中“绝对值”三个字,动点轨迹只能是双曲线的一支.
平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为非零常数,即||MF1|-|MF2||=2a,关键词“平面内”.
当2a<|F1F2|时,轨迹是双曲线;
当2a=|F1F2|时,轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;
当2a>|F1F2|时,轨迹不存在.
【做一做1】
已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,是双曲线的是( )
A.||PF1|-|PF2||=5
B.||PF1|-|PF2||=6
C.||PF1|-|PF2||=7
D.||PF1|-|PF2||=0
解析:A中,∵|F1F2|=6,∴||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故动点P的轨迹是双曲线;
B中,∵||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点);
C中,∵||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,∴动点P的轨迹不存在;
D中,∵||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线的性质,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.故选A.
答案:A
2.双曲线的标准方程
特别提醒(1)标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方差,并且分母大小关系不确定.
(2)a,b,c三个量的关系:
标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小不确定.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案:A
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析可先设出双曲线的标准方程,再构造关于a,b的方程组,求得a,b,从而求得双曲线的标准方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.
特别地,若已知双曲线上两点的坐标,则双曲线的标准方程可能有两个,把点的坐标代入,得到关于a,b的两个关系式,由此求解.也可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0),把点的坐标代入求出A,B的值,此种方法计算过程简单,也避免了分类讨论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
2.待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
如图,在△ABC中,已知|AB|=4
,且三个内角A,B,C满足2sin
A+sin
C=2sin
B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:①列出等量关系,化简得到方程;②寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.
(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:①双曲线的焦点所在的坐标轴;②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知双曲线的方程是
,点P在双曲线上,且到其中一个焦点F1的距离为10,点N是PF1的中点,求|ON|的大小(O为坐标原点).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
分析(1)双曲线的定义中,||MF1|-|MF2||=2a=6;(2)利用双曲线的定义和|PF2|·|F1F2|=32,可利用余弦定理求夹角,然后计算面积.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16-x|=6,解得x=10或x=22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a).
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,要注意两点:①定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;②要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用,如|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)若∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
(2)若∠F1PF2=60°,△F1PF2的面积是多少?若∠F1PF2=120°,△F1PF2的面积又是多少?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因忽视隐含条件导致所求轨迹方程错误
【典例】
已知定点A(-3,0)和定圆C:(x-3)2+y2=16,动圆和圆C相外切,并且过定点A,求动圆圆心M的轨迹方程.
易错分析求解中易把动点的轨迹看成双曲线,忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件,动点轨迹实际上是双曲线的一支.
解设M(x,y),设动圆与圆C的切点为B,|BC|=4,则|MC|=|MB|+|BC|,|MA|=|MB|,所以|MC|=|MA|+|BC|,即|MC|-|MA|=|BC|=4<|AC|.所以由双曲线的定义知,M点轨迹是以A,C为焦点的双曲线的左支,且a=2,c=3,所以b2=5.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得在求解与双曲线有关的轨迹问题时,准确理解双曲线的定义,才能保证解题的正确性.当||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|(a>0),即|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|)时,P点的轨迹是双曲线,其中取正号时为双曲线的右支,取负号时为双曲线的左支.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;
圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,
则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,
∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.
1
2
3
4
5
解析:由双曲线的标准方程可知,a2=10,b2=2.
于是有c2=a2+b2=12,则2c=4
.
答案:D
1
2
3
4
5
2.已知双曲线标准方程中,a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为( )
答案:C
1
2
3
4
5
答案:(1,2)
1
2
3
4
5
4.P是双曲线x2-y2=16的左支上一点,F1,F2分别是左、右焦点,则|PF1|-|PF2|= .?
所以a2=16,2a=8.
因为P点在双曲线左支上,
所以|PF1|-|PF2|=-8.
答案:-8
1
2
3
4
5
解因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),因为P1,P2在双曲线上,所以有(共37张PPT)
3.2 双曲线的简单性质
双曲线的简单性质
名师点拨对双曲线的简单几何性质的几点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置;
(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小,离心率越大,双曲线的开口越大,反之亦然;
(3)实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是y=±x,离心率为e=
.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(2)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔.( )
(3)以y=±2x为渐近线的双曲线有2条.( )
(4)椭圆与双曲线的离心率都是e,其范围一样.( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
【例1】
求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟已知双曲线方程求其几何性质的步骤
1.若不是标准方程的先化成标准方程;
2.确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c;
3.确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
分析分析双曲线的几何性质→求a,b,c→确定(讨论)焦点位置→求双曲线的标准方程
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟1.双曲线的标准方程的求法
双曲线的标准方程的求法和椭圆方程的求法类似,一般都采用待定系数法,其步骤可以总结为:
设方程→列方程→求参数→得方程
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
(5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
2.巧设双曲线方程的六种常用方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
【例3】
设F1,F2是双曲线C:
(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 .?
分析由双曲线的定义及余弦定理得出关于a,b,c的关系式,解方程可得离心率.
解析:不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|+|PF2|=6a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c,则在△PF1F2中,∠PF1F2=30°,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×(4a)×(2c)×cos
30°,整理得
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟求双曲线离心率的方法:
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练3已知双曲线
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,且∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,则双曲线的离心率为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练4过双曲线
的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.
(1)求|AB|;
(2)求△AOB的面积.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
因忽视判别式导致判断失误
【典例】
已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).是否存在过点P的弦AB,使AB的中点为P?
易错分析(1)用点差法解决“中点弦”问题时,容易忽略判断Δ是否大于0,导致错误.
(2)研究直线与椭圆、双曲线相交问题时,一定要注意Δ>0.若关于Δ>0的不等式很复杂,可以先求出参数的值,再代入验证Δ是否大于零.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解设直线l的方程为y-2=k(x-1),
代入C的方程,并整理,得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0.①
假设以P为中点的弦AB存在,则弦AB不会垂直于x轴,设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以(y1+y2)(y1-y2)=2(x1+x2)(x1-x2).
因为线段AB的中点是P(1,2),
所以x1+x2=2,y1+y2=4,
所以4(y1-y2)=4(x1-x2).
将k=1代入方程①,经验证判别式Δ>0.
所以这样的直线存在,方程为y=x+1.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
纠错心得当判别式Δ<0时,直线与双曲线相离;当判别式Δ=0时,直线与双曲线相切;当判别式Δ>0时,直线与双曲线相交.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
2.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为
( )
1
2
3
4
5
答案:D
1
2
3
4
5
答案:1
1
2
3
4
5
解析:由题意,知a2=16,即a=4.因为e=2,
所以c=2a=8,所以m=c2-a2=48.
答案:48
1
2
3
4
5(共26张PPT)
第2课时 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
知识网络
要点梳理
填一填:
知识网络
要点梳理
填一填:
⑥x2=±2py(p>0)
⑦e=1
知识网络
要点梳理
1.圆锥曲线的定义
知识网络
要点梳理
2.圆锥曲线的标准方程
知识网络
要点梳理
3.圆锥曲线的几何性质
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若m>n>0,则方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆.( )
(2)椭圆的焦点到其一个短轴端点的距离等于长轴长.( )
(3)双曲线渐近线的斜率的绝对值越大,其开口越大.( )
(4)抛物线的焦点弦长度的最小值是其通径的长度.( )
(5)双曲线的一个焦点到其渐近线的距离等于其虚半轴的长度.
( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题一 圆锥曲线定义的应用
【例1】
如图,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点A(-2,0),B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.
(1)△PAB的周长为10;
(2)圆P过点B(2,0)且与圆A外切(P为动圆圆心);
(3)圆P与圆A外切且与直线x=1相切(P为动圆圆心).
分析本题考查动点P到定点的距离之和、之差等是否为常数,动点到定点的距离与到定直线的距离是否相等,对照三种圆锥曲线的定义进行判断求解.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
反思感悟本题主要考查了用圆锥曲线的定义求轨迹以及轨迹方程,在圆锥曲线中,定义是基础,要注意圆锥曲线定义的灵活运用.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题二 圆锥曲线的标准方程
(2)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )
A.y2=±4x
B.y2=±8x
C.y2=4x
D.y2=8x
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
答案:(1)C (2)B
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
反思感悟求圆锥曲线标准方程时,先确定其类型,设出方程,再根据题目条件求出方程中的参数a,b,p等的值,代入即可求得标准方程.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
答案:D
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
分析求出|PF1|的表达式,然后根据椭圆上一点与焦点距离的取值范围建立关于a,b,c的不等式进行求解.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
答案:A
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
反思感悟椭圆和双曲线离心率的求解是高考考查的重点和热点,也是有关圆锥曲线性质命题的最热门的考点之一.求解椭圆与双曲线离心率的值或范围,就是建立一个关于离心率的方程或不等式,可以通过建立关于a,b,c的方程或不等式达到目的.不等式的构建有如下一些思考途径:一是根据椭圆的几何性质,如根据椭圆上点的坐标的范围与已知条件建立不等式;二是涉及直线与椭圆相交时,利用直线方程与椭圆方程联立消元后所得到的一元二次方程根的判别式大于零求解;三是利用题目中给出的已知条件得出不等关系式.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
答案:A
专题归纳
高考体验
1
2
3
4
5
6
考点一 圆锥曲线的定义
1.(2015福建高考)若双曲线E:
的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )
A.11
B.9
C.5
D.3
解析:由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=6.
因为|PF1|=3,所以|PF2|=9.
答案:B
专题归纳
高考体验
1
2
3
4
5
6
专题归纳
高考体验
1
2
3
4
5
6
答案:A
专题归纳
高考体验
1
2
3
4
5
6
答案:D
专题归纳
高考体验
1
2
3
4
5
6
答案:B
专题归纳
高考体验
1
2
3
4
5
6
答案:1 2
专题归纳
高考体验
1
2
3
4
5
6
答案:2(共30张PPT)
习题课——抛物线的综合问题及应用
1.直线与抛物线的位置关系
直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0的解的个数.当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;当Δ=0时,直线与抛物线有一个公共点;当Δ<0时,直线与抛物线没有公共点.当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点.
2.焦点弦
(1)直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则得焦点弦公式:
抛物线y2=2px(p>0),|AB|=p+(x1+x2);
抛物线y2=-2px(p>0),|AB|=p-(x1+x2);
抛物线x2=2py(p>0),|AB|=p+(y1+y2);
抛物线x2=-2py(p>0),|AB|=p-(y1+y2).
(2)抛物线的焦点弦的常见结论:
【做一做1】
判断直线y=1与抛物线y=x2的位置关系是( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
解析:数形结合或把y=1代入y=x2可求出交点有两个,故相交.
答案:B
【做一做2】
过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )
A.不存在
B.有无穷多条
C.有且仅有一条
D.有且仅有两条
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知p=2,
∴|AB|=x1+x2+p=5+2=7>通径长=4,
∴适合条件的直线有且仅有两条.
答案:D
【做一做3】
已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB= .?
探究一
探究二
探究三
【例1】
已知直线y=(a+1)x-1与y2=ax(a≠0)恰有一个公共点,求实数a的值.
分析将直线与抛物线的位置关系转化为直线方程与抛物线方程恰有一个公共解.同时注意分类讨论思想的运用.
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
反思感悟1.直线与抛物线的位置关系(直线不与抛物线的对称轴平行或重合)
(1)相交:有两个交点,两交点的连线段叫作弦.
(2)相切:有一个交点.
(3)相离:无公共点.
注:平行于焦点所在的坐标轴或与焦点所在坐标轴重合的直线与标准抛物线也只有一个交点.
思维辨析
探究一
探究二
探究三
2.弦长公式
若直线y=kx+b与抛物线y2=2px有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),
另外,要注意直线斜率不存在时的情况.
思维辨析
探究一
探究二
探究三
变式训练1顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3
,求抛物线方程.
解设抛物线y2=ax(a≠0),将y=2x-4代入得4x2-(a+16)x+16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
即x1,x2为方程4x2-(a+16)x+16=0的两个根,
∴a=4或a=-36.
∴所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-36x.
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟抛物线焦点弦问题的解法
(1)由于抛物线的焦点弦过焦点,因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解.
(2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立,再结合根与系数的关系求解.
(3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式,也可以利用弦长公式,但由于弦过焦点,结合抛物线的定义得出焦点弦长为x1+x2+p,同时由弦长x1+x2+p≥2
+p=2p知,通径是所有弦中最短的弦.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2(1)斜率为2的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A,B,则线段AB的长度为 .?
(2)过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|的长度为 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:(1)如图,由抛物线的标准方程可知,焦点F(1,0),准线方程x=-1.
由题设,直线AB的方程为y=2x-2,
代入抛物线方程y2=4x,
整理得x2-3x+1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义可知,|AF|等于点A到准线x=-1的距离|AA'|,
即|AF|=|AA'|=x1+1,同理|BF|=x2+1,
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=3+2=5.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)由抛物线y2=8x知,p=4.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6,
∴|AB|-p=6.
又∵p=4,∴|AB|=10.
答案:(1)5 (2)10
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
过点M(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,若弦AB恰被点M所平分,求弦AB所在直线的方程.
解法一设以M为中点的弦AB的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=2×4=8,y1+y2=2×1=2,由题意知直线AB的斜率k存在且不为0,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
所以k=4,
所以所求弦AB所在的直线方程为y-1=4(x-4),
即4x-y-15=0.
解法二由题知直线AB的斜率存在,且不为0,设为k,弦AB所在的直线方程为y=k(x-4)+1,
所以k=4,
所以弦AB所在的直线方程为y=4(x-4)+1,
即4x-y-15=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟解决平分弦问题的常用方法
(1)点差法.设而不求,结合中点坐标公式.
(2)待定系数法.
(3)对称点法.利用对称点都在抛物线上,满足抛物线方程求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3抛物线y2=-8x中,以(-1,1)为中点的弦的直线方程是 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法二:设抛物线y2=-8x上的任意点为(x,y),
则点(x,y)关于点(-1,1)的对称点(-2-x,2-y)必在抛物线y2=-8x上,所以有(2-y)2=-8(-2-x),两式相减得4-4y=16x+16,即4x+y+3=0为所求直线的方程.
答案:4x+y+3=0
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因忽视隐含条件导致失误
【典例】
如图所示,过点P(0,-2)的直线l交抛物线y2=4x于A,B两点,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程.
易错分析本题可以设出直线l的方程,通过参数法求解.容易忽视的是直线l与抛物线交于不同两点时,直线的斜率k是有前提条件的.首先,k≠0;其次,消元后的一元二次方程的根的判别式大于0.忽视这些限制条件就扩大了所求轨迹的范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得在利用参数法求点的轨迹方程时,一定要注意参数的取值范围有没有限制条件,尤其是直线与曲线交于不同两点时联立所得一元二次方程的Δ>0.
1
2
3
4
答案:B
1
2
3
4
答案:A
1
2
3
4
3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|= .?
解析:|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
答案:8
1
2
3
4
