第一章 因式分解专项训练：因式分解方法的灵活应用（含答案）
文档属性
| 名称 | 第一章 因式分解专项训练：因式分解方法的灵活应用（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-01 07:03:56 | ||
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文档简介
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专项训练
因式分解方法的灵活应用
类型一 利用因式分解进行简便运算
1.利用因式分解进行简便计算.
（1）5.69×512-5.69×462； （2）582-422；
（3）982＋2×196＋22； （4）.
2.将a2＋（a＋1）2＋（a2＋a）2分解因式，并利用其结果计算72＋82＋562.
类型二 利用因式分解进行快捷求值
3.（1）利用因式分解进行计算:mR12＋mR22＋mR32，其中R1＝20，R2＝16，R3＝12，m＝3.14；
（2）求xz-yz的值，其中x＝17.8，y＝28.8，z＝.
（3）已知ab＝7，a＋b＝6，求多项式a2b＋ab2的值.
4.已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x＋a）（x＋b），其中a，b均为整数，求a＋3b的值.
类型三 利用因式分解进行证明或判断
5.对于任意自然数n，（n＋11）2-n2能否被11整除？为什么？
6.已知a，b，c为三角形ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2-2b（a＋c）＝0，试判断三角形ABC的形状.
7.认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题
算式①:32-12＝（3＋1）×（3-1）＝8＝8×1，
算式②:52-32＝（5＋3）×（5-3）＝16＝8×2，
算式③:72-52＝（7＋5）×（7-5）＝24＝8×3，
算式④:92-72＝（9＋7）×（9-7）＝32＝8×4，
（1）请写出:
算式⑤:_________________________________；
算式⑥:_________________________________；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n＋1和2n＋3（n为整数），请说明这个说法是成立的；
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例.
类型四 利用因式分解寻找规律
8.（2021山东烟台莱州期中）观察下列各式:
9-1＝4×2＝8；
16-4＝6×2＝12；
25-9＝8×2＝16；
36-16＝10×2＝20；
（1）这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律是______________________________________；
（2）用含n的等式证明这个规律.
类型五 因式分解在数形结合思想中的应用
9给你若干张矩形和正方形卡片，如图所示，请你用拼图的方法拼成一个大矩形，使它的面积等于a2＋5ab＋4b2，并根据你拼成的图形分解因式a2＋5ab＋4b2.
参考答案
1.
2.a2＋（a＋1）2＋（a2＋a）
＝a2＋a2＋2a＋1＋［a（a＋1）］2
＝2a2＋2a＋1＋［a（a＋1）］2
＝1＋2a（a＋1）＋［a（a＋1）］2
＝（1＋a＋a2）2
∴72＋82＋562
＝（1＋7＋72）2
＝572
＝3249
3.（1）原式＝m（R12＋R22＋R32），
当R1＝20，R2＝16，R3＝12，m＝3.14时，
原式＝3.14×（202＋162＋122）＝3.14×800＝2512.
（2）原式＝z（x-y），
当x＝17.8，y＝28.8，z＝时，
原式＝×（17.8-28.8）＝-7.
（3）原式＝ab（a＋b），
当ab＝7，a＋b＝6时，
原式＝7×6＝42.
4.（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）＝（3x-7）（2x-21-x＋13）＝（3x-7）（x-8），
∴（3x＋a）（x＋b）＝（3x-7）（x-8），∴a＝-7，b＝-8，
故a＋3b＝-7＋3×（-8）＝-31.
5.能.理由:
∵（n＋11）2-n2＝（n＋11-n）（n＋11＋n）＝11（2n＋11），
∴（n＋11）2-n2能被11整除
6.∵a2＋2b2＋c2-2b（a＋c）＝0，∴a2-2ab＋b2＋b2-2bc＋c2＝0，
∴（a-b）2＋（b-c）2＝0，∴a-b＝0，b-c＝0，∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，∴三角形ABC是等边三角形.
7.（1）算式⑤:112-92＝（11＋9）×（11-9）＝40＝8×5，
算式⑥:132-112＝（13＋11）×（13-11）＝48＝8×6.
（2）由题意可得（2n＋3）2-（2n＋1）2＝（2n＋32n＋1）（2n＋3-2n-1）＝（4n＋4）×2＝8n＋8＝8（n＋1），
∵8（n＋1）能被8整除，∴“两个连续奇数的平方差能被8整除”的说法成立.
（3）设两个连续偶数分别为2n和2n＋2（n为整数），
则（2n＋2）2-（2n）2＝（2n＋2＋2n）（2n＋2-2n）＝（4n＋2）×2＝8n＋4，
∵8n＋4不能被8整除，∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”的说法不成立.
8.（1）∵9-1＝4×2＝8；16-4＝6×2＝12；25-9＝8×2＝16；36-16＝10×2＝20；……
∴第n个等式是（n＋2）2-n2＝2（2n＋2）＝4（n＋1）.
（2）证明:（n＋2）2-n2＝n2＋4n＋4-n2＝4n＋4＝4（n＋1），
∴（n＋2）2-n2＝2（2n＋2）＝4（n＋1）成立.
9.用一张大正方形卡片，5张矩形卡片和4张小正方形卡片即可拼成题目所要求的矩形如图所示:
由图形的面积可知a2＋5ab＋4b2＝（a＋b）（a＋4b）.
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专项训练
因式分解方法的灵活应用
类型一 利用因式分解进行简便运算
1.利用因式分解进行简便计算.
（1）5.69×512-5.69×462； （2）582-422；
（3）982＋2×196＋22； （4）.
2.将a2＋（a＋1）2＋（a2＋a）2分解因式，并利用其结果计算72＋82＋562.
类型二 利用因式分解进行快捷求值
3.（1）利用因式分解进行计算:mR12＋mR22＋mR32，其中R1＝20，R2＝16，R3＝12，m＝3.14；
（2）求xz-yz的值，其中x＝17.8，y＝28.8，z＝.
（3）已知ab＝7，a＋b＝6，求多项式a2b＋ab2的值.
4.已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x＋a）（x＋b），其中a，b均为整数，求a＋3b的值.
类型三 利用因式分解进行证明或判断
5.对于任意自然数n，（n＋11）2-n2能否被11整除？为什么？
6.已知a，b，c为三角形ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2-2b（a＋c）＝0，试判断三角形ABC的形状.
7.认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题
算式①:32-12＝（3＋1）×（3-1）＝8＝8×1，
算式②:52-32＝（5＋3）×（5-3）＝16＝8×2，
算式③:72-52＝（7＋5）×（7-5）＝24＝8×3，
算式④:92-72＝（9＋7）×（9-7）＝32＝8×4，
（1）请写出:
算式⑤:_________________________________；
算式⑥:_________________________________；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n＋1和2n＋3（n为整数），请说明这个说法是成立的；
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例.
类型四 利用因式分解寻找规律
8.（2021山东烟台莱州期中）观察下列各式:
9-1＝4×2＝8；
16-4＝6×2＝12；
25-9＝8×2＝16；
36-16＝10×2＝20；
（1）这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律是______________________________________；
（2）用含n的等式证明这个规律.
类型五 因式分解在数形结合思想中的应用
9给你若干张矩形和正方形卡片，如图所示，请你用拼图的方法拼成一个大矩形，使它的面积等于a2＋5ab＋4b2，并根据你拼成的图形分解因式a2＋5ab＋4b2.
参考答案
1.
2.a2＋（a＋1）2＋（a2＋a）
＝a2＋a2＋2a＋1＋［a（a＋1）］2
＝2a2＋2a＋1＋［a（a＋1）］2
＝1＋2a（a＋1）＋［a（a＋1）］2
＝（1＋a＋a2）2
∴72＋82＋562
＝（1＋7＋72）2
＝572
＝3249
3.（1）原式＝m（R12＋R22＋R32），
当R1＝20，R2＝16，R3＝12，m＝3.14时，
原式＝3.14×（202＋162＋122）＝3.14×800＝2512.
（2）原式＝z（x-y），
当x＝17.8，y＝28.8，z＝时，
原式＝×（17.8-28.8）＝-7.
（3）原式＝ab（a＋b），
当ab＝7，a＋b＝6时，
原式＝7×6＝42.
4.（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）＝（3x-7）（2x-21-x＋13）＝（3x-7）（x-8），
∴（3x＋a）（x＋b）＝（3x-7）（x-8），∴a＝-7，b＝-8，
故a＋3b＝-7＋3×（-8）＝-31.
5.能.理由:
∵（n＋11）2-n2＝（n＋11-n）（n＋11＋n）＝11（2n＋11），
∴（n＋11）2-n2能被11整除
6.∵a2＋2b2＋c2-2b（a＋c）＝0，∴a2-2ab＋b2＋b2-2bc＋c2＝0，
∴（a-b）2＋（b-c）2＝0，∴a-b＝0，b-c＝0，∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，∴三角形ABC是等边三角形.
7.（1）算式⑤:112-92＝（11＋9）×（11-9）＝40＝8×5，
算式⑥:132-112＝（13＋11）×（13-11）＝48＝8×6.
（2）由题意可得（2n＋3）2-（2n＋1）2＝（2n＋32n＋1）（2n＋3-2n-1）＝（4n＋4）×2＝8n＋8＝8（n＋1），
∵8（n＋1）能被8整除，∴“两个连续奇数的平方差能被8整除”的说法成立.
（3）设两个连续偶数分别为2n和2n＋2（n为整数），
则（2n＋2）2-（2n）2＝（2n＋2＋2n）（2n＋2-2n）＝（4n＋2）×2＝8n＋4，
∵8n＋4不能被8整除，∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”的说法不成立.
8.（1）∵9-1＝4×2＝8；16-4＝6×2＝12；25-9＝8×2＝16；36-16＝10×2＝20；……
∴第n个等式是（n＋2）2-n2＝2（2n＋2）＝4（n＋1）.
（2）证明:（n＋2）2-n2＝n2＋4n＋4-n2＝4n＋4＝4（n＋1），
∴（n＋2）2-n2＝2（2n＋2）＝4（n＋1）成立.
9.用一张大正方形卡片，5张矩形卡片和4张小正方形卡片即可拼成题目所要求的矩形如图所示:
由图形的面积可知a2＋5ab＋4b2＝（a＋b）（a＋4b）.
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