函数的概念：
一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作。
映射的概念：
设A,B时两个非空集合，按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。称：为从集合A到集合B的一个映射。（映射的个数：若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个）
区别函数和映射：
判断一个对应关系是否使函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点。
集合的定义域和值域
函数中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。
相同函数：定义域、自变量都相同的函数。
函数的三要素：定义域、对应关系、值域
；函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。
区间的几何表示
实数集R的区间表示：
实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”；
“”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”。
无穷的的几何表示
分段函数：在函数的定义域（在自变量x的不同取值范围）内，有着不同对应关系的函数。
例1：(1)求函数y＝＋－的定义域．
(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
【答案】(1)解不等式组得故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．
(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a－2x)，
所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，定义域为.
例2：已知定义域是，求的定义域
【答案】.
解析：∵定义域为，即，∴?，
则定义域为，
∴定义域为，
∴即的定义域为.
选择题
1．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是( )
A.
B.
C.
D.∪
【答案】D 由得x<1且x≠，故选D.
下列图象中表示函数图象的是
( )
A
B
C
D
【答案】C
集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝
【答案】C【解析】依据函数概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，选项C不符合．
判断下列各组中的两个函数是同一函数的是( )
①y1＝，y2＝x－5；
②f(x)＝x，g(x)＝；
③f(x)＝x，g(x)＝；
④f1(x)＝()2，f2(x)＝2x－5.
A．①②
B．②③
C．③
D．③④
【答案】C【解析】对于①，y1＝＝x－5(x≠－3)，与y2＝x－5(x∈R)的定义域不同，不是同一函数；
对于②，f(x)＝x，与g(x)＝＝|x|的对应关系不同，不是同一函数；
对于③，f(x)＝x(x∈R)，与g(x)＝＝x(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于④，f1(x)＝()2＝2x－5，与f2(x)＝2x－5(x∈R)的定义域不同，不是同一函数．
综上，以上是同一函数的是③.故选C.
已知集合
，
，若
，则实数的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.
若f(x)=则f()+f(-)=
( )
A.-2
B.4
C.2
D.-4
【答案】B
若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案 D【解析】 要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立，
①当m＝0时，显然满足条件；
②当m≠0时，由Δ＝(4m)2－4m×3＜0，得0＜m＜，由①②得0≤m＜.
函数y=的值域是
( )
A.(0,]
B.(0,)
C.(0,+∞)
D.(-∞,]
【答案】A【解析】因为x2≥0,所以3x2≥0,2+3x2≥2,所以0<≤.所以值域为(0,],故选A.
若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-,-4],则m的取值范围是
( )
A.(0,4]
B.[-,-4]
C.[,3]
D.[,+∞)
【答案】C【解析】由题意,知二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=,且当x=0或x=3时,y=-4,
当x=时,y=-.所以m∈[,3],故选C.
9.
设函数f(x)＝若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－]
B.[－，＋∞)
C.[－，]
D.(－∞，]
【答案】D【解析】令f(a)＝t，则f(t)≤3等价于或解得t≥－3，
则f(a)≥－3等价于或
解得a≤，则实数a的取值范围是(－∞，]，故选D.
填空题
用区间表示下列数集．
(1){x|x≥2}＝________；
(2){x|3
(3){x|x>1且x≠2}＝________.
【答案】
(1)[2，＋∞)；(2)(3,4]；(3)(1,2)∪(2，＋∞)．
若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
【答案】【解析】由题意3a－1>a，得a>,故填
若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________.
【答案】[0,4]【解析】 当m＝0时，f(x)的定义域为一切实数；当m≠0时，由
得0(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],则f(x2+1)的定义域________;
(2)已知f()的定义域为[0,3],则f(x)的定义域________.
【答案】(1)因为函数f(x2+1)中的x2+1相当于函数f(x)中的x,所以0≤x2+1≤1,
所以-1≤x2≤0,所以x=0,所以f(x2+1)的定义域为{0}.
(2)因为f()的定义域为[0,3],
所以0≤x≤3,所以1≤≤2,
所以f(x)的定义域为[1,2].
已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为-.
【答案】当a>0时,1-a<1,1+a>1,所以2(1-a)+a=-1-a-2a,解得a=-(舍去).
当a<0时,1-a>1,1+a<1,所以-1+a-2a=2+2a+a,解得a=-.
三、解答题
1.
求下列函数的定义域
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）。（3）答案：（4）答案：
【解析】（1）∵可得∴定义域为；
（2）∵
得且即，∴定义域为.
（3）答案：
解析：，
（4）答案：
解析：，
已知函数的定义域为集合A，B＝{x|x(1)求集合A；
(2)若A?B，求a的取值范围；
(3)若全集U＝{x|x≤4}，a＝－1，求?U
A及A∩(?U
B)．
【答案】（1）A＝{x|－2A＝(－∞，－2]∪(3,4]，A∩(?U
B)＝[－1,3].
【解析】(1)使有意义的实数x的集合是{x|x≤3}，使有意义的实数x的集合是{x|x>－2}．
所以，这个函数的定义域是{x|x≤3}∩{x|x>－2}＝{x|－2即A＝{x|－2(2)因为A＝{x|－23.
即a的取值范围为(3，＋∞)．
(3)因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2所以?U
A＝(－∞，－2]∪(3,4]．
因为a＝－1，所以B＝{x|x<－1}，
所以?U
B＝[－1,4]，
所以A∩(?U
B)＝[－1,3]．函数的概念：
一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作。
映射的概念：
设A,B时两个非空集合，按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。称：为从集合A到集合B的一个映射。（映射的个数：若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个）
区别函数和映射：
判断一个对应关系是否使函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点。
集合的定义域和值域
函数中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。
相同函数：定义域、自变量都相同的函数。
函数的三要素：定义域、对应关系、值域
；函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。
区间的几何表示
实数集R的区间表示：
实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”；
“”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”。
无穷的的几何表示
分段函数：在函数的定义域（在自变量x的不同取值范围）内，有着不同对应关系的函数。
例1：(1)求函数y＝＋－的定义域．
(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
例2：已知定义域是，求的定义域
选择题
1．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是( )
A.
B.
C.
D.∪
下列图象中表示函数图象的是
( )
A
B
C
D
集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝
判断下列各组中的两个函数是同一函数的是( )
①y1＝，y2＝x－5；
②f(x)＝x，g(x)＝；
③f(x)＝x，g(x)＝；
④f1(x)＝()2，f2(x)＝2x－5.
A．①②
B．②③
C．③
D．③④
已知集合
，
，若
，则实数的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
若f(x)=则f()+f(-)=
( )
A.-2
B.4
C.2
D.-4
若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
函数y=的值域是
( )
A.(0,]
B.(0,)
C.(0,+∞)
D.(-∞,]
若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-,-4],则m的取值范围是
( )
A.(0,4]
B.[-,-4]
C.[,3]
D.[,+∞)
9.
设函数f(x)＝若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－]
B.[－，＋∞)
C.[－，]
D.(－∞，]
填空题
用区间表示下列数集．
(1){x|x≥2}＝________；
(2){x|3(3){x|x>1且x≠2}＝________.
若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________.
(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],则f(x2+1)的定义域________;
(2)已知f()的定义域为[0,3],则f(x)的定义域________.
已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________。
三、解答题
1.
求下列函数的定义域
（1）
（2）
（3）
（4）
已知函数的定义域为集合A，B＝{x|x(1)求集合A；
(2)若A?B，求a的取值范围；
(3)若全集U＝{x|x≤4}，a＝－1，求?U
A及A∩(?U
B)．