一、角的分类及加减运算
1.角的分类
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。
2.角的加、减法
(1)两角相等：如果
(1)两角相等：如果两角α、β的旋转方向相同且旋转量相等，就称α=β。
(2)角的加法：设α、β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.
(3)角的减法
①把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α.
②角的减法α-β=α+(-β).
二、象限角
1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角。
2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角。
3.终边相同的角
(1)前提：α表示任意角。
(2)表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
选择题
1.下面与-850°12′终边相同的角是(
)。
A.230°12′
B.229°48′
C.129°48′
D.130°12′
2.若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(
)。
A.90°-α
B.90°+α
C.360°-α
D.180°+α
3.α=k·180°-60°，k∈Z的终边落在(
)。
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
4.下列说法正确的是(
)。
A.钝角是第二象限角
B.第二象限角比第一象限角大
C.大于90°的角是钝角
D.-165°是第二象限角
5.若角α与β的终边互为反向延长线，则有(
)。
A.α=β+180°
B.α=β-180°
C.α=-β
D.α=β+(2k+1)·180°，k∈Z
6.若α是第一象限角，则是(
)。
A.第一象限
B.第三象限
C.第四象限
D.第二象限
已知角α=45°，β=315°，则角α与β的终边(
)。
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点对称
8.若α与β终边相同，则α-β的终边落在(
)。
A.x轴的非负半轴上
B.x轴的非正半轴上
C.y轴的非负半轴上
D.y轴的非正半轴上
9.集合A={α|α=k·90°-36°，k∈Z}，B={β|-180°<β<180°}，则A∩B=(
)。
A.{-36°，54°}
B.{-126°，144°}
C·{-126°，-36°，54°，144°}
D.{-126°，54°}
10.若α=k·180°+45°(k∈Z)，则α在(
)。
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
11.集合M={}，P={，则M，P之间的关系为(
)。
A.M=P
B.MP
C.MP
D.MP=?
填空题
1.下列说法中，正确的是
(填序号)。
①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；
⑤角与-的终边关于x轴对称。
2.若角是第三象限的角，则角的终边在第______象限.
3.2019°是第
象限角。
4.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β=
。
5.已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α=
。
6.集合A={α|α=60°+k·360°，k∈Z}，B={β|β=60°+k·720°，k∈Z}，C={γ|γ=60°+k·180°，k∈Z}，那么集合A，B，C的关系是
。
7.终边落在如图所示的阴影部分所示的区域内（包括边界）的角的集合为
。
8.已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么
．
三、解答题
1.已知角是第二象限角，(1)角α/2是第几象限的角?(2)角终边的位置.
2.写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)。
3.如图所示，写出终边落在直线上的角的集合(0°到360°的角表示)。一、角的分类及加减运算
1.角的分类
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。
2.角的加、减法
(1)两角相等：如果
(1)两角相等：如果两角α、β的旋转方向相同且旋转量相等，就称α=β。
(2)角的加法：设α、β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.
(3)角的减法
①把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α.
②角的减法α-β=α+(-β).
二、象限角
1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角。
2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角。
3.终边相同的角
(1)前提：α表示任意角。
(2)表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
选择题
1.下面与-850°12′终边相同的角是(
)。
A.230°12′
B.229°48′
C.129°48′
D.130°12′
【答案】B
【解析】与-850°12′终边相同的角可表示为α=-850°12′+k·360°(k∈Z)，
当k=3时，α=-850°12′+1080°=229°48′。选B。
2.若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(
)。
A.90°-α
B.90°+α
C.360°-α
D.180°+α
【答案】C
【解析】若α是第一象限角，则90°-α位于第一象限，90°+α位于第二象限，180°+α位于第三象限，360°-α位于第四象限。故选C。
3.α=k·180°-60°，k∈Z的终边落在(
)。
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
【答案】C
【解析】当k=2n，n∈Z时，α=n·360°-60°，终边落在第四象限。当k=2n+1，n∈Z时，α=n·360°+120°，终边落在第二象限。
4.下列说法正确的是(
)。
A.钝角是第二象限角
B.第二象限角比第一象限角大
C.大于90°的角是钝角
D.-165°是第二象限角
【答案】A
【解析】钝角的范围为90°<θ<180°，钝角是第二象限角，故A正确；-200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°<60°，故B错误；由钝角的范围可知C错误；-180°<-165°<-90°，-165°是第三象限角，D错误，故选A。
5.若角α与β的终边互为反向延长线，则有(
)。
A.α=β+180°
B.α=β-180°
C.α=-β
D.α=β+(2k+1)·180°，k∈Z
【答案】D
【解析】角α与β的终边互为反向延长线，则α=β+180°+k·360°=β+(2k+1)180°，故选D。
6.若α是第一象限角，则是(
)。
A.第一象限
B.第三象限
C.第四象限
D.第二象限
【答案】D
【解析】(方法一)由题意知k·360°<α所以-k·180°-45°<<-k·180°，k∈Z。当k为偶数时，为第四象限角；
当k为奇数时，为第二象限角。
(方法二)由几何法易知为第一象限角或第三象限角，根据与的终边关于x轴对称，知为第四象限角或第二象限角.
已知角α=45°，β=315°，则角α与β的终边(
)。
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线y=x对称
D.关于原点对称
【答案】A
【解析】因为β=315°=360°-45°，所以315°角-45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称。
故选A。
8.若α与β终边相同，则α-β的终边落在(
)。
A.x轴的非负半轴上
B.x轴的非正半轴上
C.y轴的非负半轴上
D.y轴的非正半轴上
【答案】A
【解析】因为α=β+k·360°，k∈Z，所以α-β=k·360°，k∈Z，所以其终边在x轴的非负半轴上。故选A。
9.集合A={α|α=k·90°-36°，k∈Z}，B={β|-180°<β<180°}，则A∩B=(
)。
A.{-36°，54°}
B.{-126°，144°}
C·{-126°，-36°，54°，144°}
D.{-126°，54°}
【答案】C
【解析】令k=-1，0，1，2，则A，B的公共元素有-126°，-36°，54°，144°。
10.若α=k·180°+45°(k∈Z)，则α在(
)。
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
【答案】A
【解析】当k=2m+1(m∈Z)时，α=2m·180°+225°=m·360°+225°，故α为第三象限角；当k=2m(m∈Z)时，α=m·360°+45°，故α为第一象限角，故选A。
11.集合M={}，P={，则M，P之间的关系为(
)。
A.M=P
B.MP
C.MP
D.MP=?
【答案】B
【解析】M={}={}，即45°的奇数倍。
P={={，即45°的整数倍，所以MP。
填空题
1.下列说法中，正确的是
(填序号)。
①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；
⑤角与-的终边关于x轴对称。
【答案】②⑤
【解析】终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的。
2.若角是第三象限的角，则角的终边在第______象限.
【答案】二
【解析】因为是第三象限的角，故Z，
则Z，故的终边在第二象限.
3.2019°是第
象限角。
【答案】三
【解析】2019°=360°×5+219°，180°<219°<270°，∴2019°是第三象限角。
4.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β=
。
【答案】-40°
【解析】∠AOC=60°+（-820°）=-760°，β=-（760°-720°）=-40°。
5.已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α=
。
【答案】0°
【解析】由条件知，2α=α+k·360°，所以α=k·360°(k∈Z)，因为α∈[0°，360°)，所以α=0°。
6.集合A={α|α=60°+k·360°，k∈Z}，B={β|β=60°+k·720°，k∈Z}，C={γ|γ=60°+k·180°，k∈Z}，那么集合A，B，C的关系是
。
【答案】AC。
【解析】集合A中的角表示所有与60°角终边相同的角，集合B中的角的终边也与60°角终边相同，但当集合A中k取偶数时，A=B。而集合C中当k为偶数，即k=2n，n∈Z时，γ=240°+n·360°，n∈Z；当k为奇数，即k=2n+1，n∈Z时，γ=240°+n·360°，n∈Z.所以集合C中的角不但表示所有与60°角终边相同的角，还含有所有与240°角终边相同的角，因此AC。
7.终边落在如图所示的阴影部分所示的区域内（包括边界）的角的集合为
。
【答案】{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°，k∈Z}
【解析】由题图易知在0°~360°范围内，终边落在阴影区内(包括边界)的角为45°≤α≤90°与225°≤α≤270°，故终边落在阴影区内(包括边界)的角的集合为{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°，k∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α≤k·360°+270°，k∈Z}={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°，k∈Z}。
8.已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么
．
【答案】{α|n·180°＋30°<α【解析】 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α三、解答题
1.已知角是第二象限角，(1)角α/2是第几象限的角?(2)角终边的位置.
【答案】见解析
【解析】（1）因为是第二象限的角，故Z，
当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限，
(2)由Z，得
Z，故角终边在下半平面.
2.写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)。
【答案】见解析
【解析】(1){α|k·360°+30°≤α≤k·360°+90°，k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+270°，k∈Z}或写成
{α|k·180°+30°≤α≤k·360°+90°，k∈Z}.
(2){α|k·360°-45°≤α≤k·360°+45°，k∈Z}.
3.如图所示，写出终边落在直线上的角的集合(0°到360°的角表示)。
【答案】
【解析】终边落在(x≥0)上的角的集合是终边落在(x>0)上的角的集合是所以终边在直线的角的集合是
