特殊角的终边对称性
①π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图①；
②－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图②；
③π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图③.
诱导公式
公式一
sin(α＋2kπ)＝sin
α
cos(α＋2kπ)＝cos
α
tan(α＋2kπ)＝tan_α
公式二
sin(π＋α)＝－sin__α
cos(π＋α)＝－cos_α
tan(π＋α)＝tan_α
公式三
sin(－α)＝－sin_α
cos(－α)＝cos_α
tan(－α)＝－tan_α
公式四
sin(π－α)＝sin_α
cos(π－α)＝－cos_α
tan(π－α)＝－tan_α
公式五
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
公式六
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
常用公式：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α；sin
α＝tan
α·cos
α；
小结：诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式；
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限；“负化正”、“大化小”、“小化锐”、“锐求值”。
选择题
[2020·福建高二学业考试]化简tan=(
)。
A.sinα
B.cosα
C.-sinα
D.tanα
[2020·山东高一期末]设，则下列结论中错误的是(
)。
A.sin=-sinα
B.cos=-cosα
C.cos=-sinα
D.tan=tanα
已知sin=，则cos的值为(
)。
A.
B.-
C.
D.-
已知，则等于(
)。
A.
B.
C.
D.
已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(
)。
A.
B.
C.
D.
已知sin+2cos=0，则=(
)。
A.-3
B.3
C.-
D.
已知a＝tan，b＝cos，c＝sinπ，则a，b，c的大小关系为(
)。
A．b＜a＜c
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．a＜c＜b
已知点在第三象限，则角θ所在的象限是(
)。
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[2020·浙江高二开学考试]已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转后，过点，则cosα等于(
)。
A.-
B.
C.-
D.
已知sin+3cos=sin(-)，则sincos+cos2=(
)。
A.
B.
C.
D.
在△ABC中,若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则△ABC必是(
)。
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰或直角三角形
D.等腰直角三角形
若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(
)。
A．cos(A＋B)＝cos
C
B．sin(A＋B)＝－sin
C
C．cos＝sin
B
D．sin
＝cos
[2020·沙坪坝·重庆八中高三月考(文)]已知tan=2-，则cos=(
)。
A.-
B.
C.
D.
[2020·安徽省泗县第一中学高三其他(理)]已知sinα=2sin，则=(
)。
A.1
B.2
C.3
D.4
填空题
如果cos(π＋α)＝－，那么sin＝________.
已知α是第二象限角，且cosα=-，则cos的值是
.
3．若a＝tan，b＝tanπ，则a，b的大小关系是__________．
4.
已知cos=，则的值为
.
5.
已知函数，若，则=
.
三、解答题
(1)已知cos＝，求cos－sin2α－的值；
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
(1)已知sin(π＋α)＝－，求cos(5π＋α)的值．
(2)已知sin＝－，求sin的值．
(3)已知cos＝，求cos的值．
已知，求的值。
已知sin
α是方程3x2－10x－8＝0的根，且α为第三象限角，求
的值．
已知。
(1)化简；
(2)若x是第三象限角，且的值。
6.
已知tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜，求
cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．
7.
已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值．
(2)若已知tan(α＋β)＝，求tanβ的值．特殊角的终边对称性
①π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图①；
②－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图②；
③π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图③.
诱导公式
公式一
sin(α＋2kπ)＝sin
α
cos(α＋2kπ)＝cos
α
tan(α＋2kπ)＝tan_α
公式二
sin(π＋α)＝－sin__α
cos(π＋α)＝－cos_α
tan(π＋α)＝tan_α
公式三
sin(－α)＝－sin_α
cos(－α)＝cos_α
tan(－α)＝－tan_α
公式四
sin(π－α)＝sin_α
cos(π－α)＝－cos_α
tan(π－α)＝－tan_α
公式五
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
公式六
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
常用公式：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α；sin
α＝tan
α·cos
α；
小结：诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式；
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限；“负化正”、“大化小”、“小化锐”、“锐求值”。
选择题
[2020·福建高二学业考试]化简tan=(
)。
A.sinα
B.cosα
C.-sinα
D.tanα
【答案】D
【解析】tan=，故选D。
[2020·山东高一期末]设，则下列结论中错误的是(
)。
A.sin=-sinα
B.cos=-cosα
C.cos=-sinα
D.tan=tanα
【答案】D
【解析】根据诱导公式即可求解。公式二sin=-sinα；公式四cos=-cosα；
公式六cos=-sinα；公式二、三得tan=-tan=-tanα。故选D。
已知sin=，则cos的值为(
)。
A.
B.-
C.
D.-
【答案】D
【解析】因为sin=cosα=，所以cos=-cosα=-。故选D。
已知，则等于(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由。
已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意sinα=cos=-,又sin<0，点在第三象限，即α是第三象限角，
∴α=，最小正值为。故选A。
已知sin+2cos=0，则=(
)。
A.-3
B.3
C.-
D.
【答案】D
【解析】∵sin+2cos=0，∴，。故选D。
已知a＝tan，b＝cos，c＝sinπ，则a，b，c的大小关系为(
)。
A．b＜a＜c
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．a＜c＜b
【答案】B
【解析】a＝tan＝－tan＝－，b＝cos＝cos＝cos＝，c＝sin＝sin＝－sin＝－.∵－＜－＜，∴c＜a＜b.
已知点在第三象限，则角θ所在的象限是(
)。
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】
∵sin(π＋θ)＝－sinθ，sin＝－cosθ，
∴点P(－sinθ，－cosθ)在第三象限，∴∴∴θ在第一象限．
[2020·浙江高二开学考试]已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转后，过点，则cosα等于(
)。
A.-
B.
C.-
D.
【答案】C
【解析】α的终边按顺时针方向旋转后，过点，
所以sin，即
sin。
已知sin+3cos=sin(-)，则sincos+cos2=(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由已知sin+3cos=sin(-)可得cos-3cos=-sin,∴tan=2.
则sincos+cos2=，故选C。
在△ABC中,若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则△ABC必是(
)。
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰或直角三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为sin(A+B-C)=sin(A-B+C),所以sin(π-2C)=sin(π-2B),
即sin2C=sin2B,所以2C=2B或2C=π-2B,即C=B或C+B=,
若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(
)。
A．cos(A＋B)＝cos
C
B．sin(A＋B)＝－sin
C
C．cos＝sin
B
D．sin
＝cos
【答案】D
【解析】 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴cos(A＋B)＝－cos
C，sin(A＋B)＝sin
C．
∴A，B都不正确．
同理，B＋C＝π－A，∴sin
＝sin＝cos
.故选D.
[2020·沙坪坝·重庆八中高三月考(文)]已知tan=2-，则cos=(
)。
A.-
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】cos=cos
=.故选A。
[2020·安徽省泗县第一中学高三其他(理)]已知sinα=2sin，则=(
)。
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】由sinα=2sin，可得sinα=2cosα，即tanα=2，
又由，故选B。
填空题
如果cos(π＋α)＝－，那么sin＝________.
【答案】
【解析】∵cos(π＋α)＝－，∴cosα＝，∴sin＝－cosα＝－.
已知α是第二象限角，且cosα=-，则cos的值是
.
【答案】
【解析】∵，∴cos。故答案为.
3．若a＝tan，b＝tanπ，则a，b的大小关系是__________．
【答案】a>b
【解析】∵a＝tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－1，
b＝tan＝tan＝－tan＝－＜－1，∴a＞b.
4.
已知cos=，则的值为
.
【答案】
【解析】由cos=得。
。所以。
5.
已知函数，若，则=
.
【答案】
【解析】。
由已知可得为第四象限角，所以，故。
三、解答题
(1)已知cos＝，求cos－sin2α－的值；
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
【答案】见解析
【解析】(1)∵cos＝cos＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2＝1－2＝，
∴cos－sin2＝－－＝－.
(2)∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角，
∴sin(α－75°)＝－＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝.
(1)已知sin(π＋α)＝－，求cos(5π＋α)的值．
(2)已知sin＝－，求sin的值．
(3)已知cos＝，求cos的值．
【答案】见解析
【解析】(1)∵sin(π＋α)＝－sin
α＝－，∴sin
α＝.cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos
α.
当α在第一象限时，cos
α＝
＝，此时cos(5π＋α)＝－；
当α在第二象限时，cos
α＝－＝－，此时cos(5π＋α)＝.
(2)sin＝sin＝sin＝－.
(3)cos＝cos＝－cos＝－.
已知，求的值。
【答案】
【解析】由，得
。
已知sin
α是方程3x2－10x－8＝0的根，且α为第三象限角，求
的值．
【答案】见解析
【解析】∵方程3x2－10x－8＝0的两根为x1＝4或x2＝－，
又∵－1≤sin
α≤1，∴sin
α＝－.
又∵α为第三象限角，∴cos
α＝－＝－，tan
α＝.
∴原式＝＝.
已知。
(1)化简；
(2)若x是第三象限角，且的值。
【答案】见解析
【解析】(1)由诱导公式可得。
(2)因为，
∵x是第三象限角，∴。
6.
已知tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜，求
cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．
【答案】－
【解析】因为tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，
所以tanα·＝×(3k2－13)＝1，可得k2＝.
因为3π＜α＜，所以tanα＞0，sinα＜0，cosα＜0，
又tanα＋＝－＝k，所以k＞0，故k＝，
所以tanα＋＝＋＝＝，
所以sinαcosα＝，
所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×＝.
因为cosα＋sinα＜0，所以cosα＋sinα＝－.
所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cosα＋sinα＝－.
7.
已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值．
(2)若已知tan(α＋β)＝，求tanβ的值．
【答案】见解析
【解析】因为tan(π＋α)＝－，所以tanα＝－.
(1)tan(α＋β)＝＝＝＝.即tan(α＋β)的值是.
(2)因为tan(α＋β)＝.所以＝，整理得：＝，
所以43tanβ＝31，所以tanβ＝.即tanβ的值是.
