一、正弦函数、余弦函数的周期性
1.函数的周期性
(1)一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
2.正弦函数、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
(2)余弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
二、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
三、正弦函数、余弦函数的单调性
1.正弦安徽念书的单调性
(1)函数在区间单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
2.余弦函数的单调性
(1)余弦函数在区间上单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)余弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
四、正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
1.
正弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1；
2.余弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1。
选择题
1.（2020·全国专题练习）函数
的定义域是(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】要使原函数有意义，则
，即
所以
解得：
所以，原函数的定义域为
故选D．
2.[2020·辽宁沈阳·高一期中]下列函数中最小正周期为的是(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对A选项，令，则
，不满足，
所以不是以为周期的函数，其最小正周期不为；
对B选项，的最小正周期为：；
对D选项，的最小正周期为：；排除A、B、D故选C
3.函数的部分图像大致是图中的(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数的定义域是，
，
则函数是偶函数，其图像关于轴对称，排除选项C和D；
当时，，则，
此时，此时函数的图像位于轴的上方，排除选项B.故选A.
4.若函数对任意x都有，则=(
)。
A.2或0
B.0
C.-2或0
D.-2或2
【答案】D
【解析】由得直线是图象得一条对称轴，所以。
故选D。
5.（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））函数的图像的一条对称轴是(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把代入后得到,因而对称轴为，选.
6.
[2020·河南濮阳·高一期末(文)]下列函数中是偶函数的是(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】对于A，函数关于x=-1对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；对于B，函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B错误；对于C，，则函数是偶函数，满足条件，故C正确；对于D，由，函数得定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D错误。选C。
[2020·辽宁沈河·沈阳二中其他(理)]如果函数得图象关于直线对称，那么取得最小值时的值为(
)。
A.
B.-
C.
D.-
【答案】A
【解析】函数的图象关于直线对称，所以，
即取最小值时。
8.函数y＝sin
x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于(
)。
A．
B．
C．2π
D．4π
【答案】C
【解析】解：如图，
可知b－a的最大值为=，b－a的最小值为=，
故b－a的最大值和最小值之和为，
故选C.
9.（2020·阜新市第二高级中学高一期末）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是(
)。
A．f(x)的一个周期为?2π
B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x=
D．f(x)在(,π)单调递减
【答案】D
【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；
由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．
故选D.
[2019·安徽省淮南市高三模拟]若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于(
)。
A.
B.
C.2
D.3
【答案】B
【解析】因为过原点，所以当是增函数；
当是减函数，由在区间上单调递增，在区间上单调递减，可知。
11.（2020·重庆高三其他（文））设函数在上的值域为，则的取值范围为(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，解得.
故选：A
12.（2020·广东广州·期末）已知函数f(x)=sin(x+)(>0)的图象相邻两对称轴间的距离等于，若x∈R.f(x)≤，则正数的最小值为(
)。
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意得，所以，所以，所以，
又对x∈R.f(x)≤，所以直线是函数的对称轴，
所以，，即，，又，所以时，取得最小值.
故选：D.
填空题
1.（2020·全国高一课时练习）求函数f(x)＝lgsinx＋的定义域
．
【答案】
【解析】由题意，要使f(x)有意义，则，由，得，
由，得，所以或所以函数f(x)的定义域为
的大小关系是
．
【答案】
【解析】∵0<1<2<3<,而y=cosx在上单调递减，∴。
3.（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）函数的值域是
．
【答案】
【解析】,
设，，则，
当时，函数有最大值为；当时，函数有最小值为.
故函数值域为.故答案为：.
4.（2020·永州市第四中学高一月考）设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是
．
【答案】
【解析】∵f（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣+，
故当sinx=时，函数f（x）取得最大值为，故答案为．
[2020·全国高考题]关于函数有如下四个命题，其中真命题为
．
①的图象关于y轴对称；②的图象关于原点对称；③的图象关于直线对称；④的最小值为2.
【答案】②③
【解析】对于命题①，所以的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，
，所以，的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则<0<2,命题④错误，故正确的为②③。
三、解答题
已知ω是正数，函数f(x)＝2sin
ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
【答案】见解析
【解析】由2kπ－≤ωx≤2kπ＋
(k∈Z)得．
∴f(x)的单调递增区间是．
据题意：．
从而有，解得.
故的取值范围是.
2.有两个函数f(x)=asin,g(x)=bcos(k>0),它们的周期之和为,且f=g,f=-·g+1,求k,a,b.
【答案】见解析
【解析】由题意知,+=,
所以k=2,所以f(x)=asin,g(x)=bcos.
由已知得方程组
即解得所以k=2,a=,b=-.
3.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<π)在x=处取得最大值3,其相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若x∈,求f(x)的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1)因为f(x)的最大值为3,所以A=3,因为相邻两条对称轴间的距离为.
所以=,所以T=π,所以ω=2,
所以f(x)=3sin(2x+φ),因为当x=时,函数f(x)的最大值为3,
所以2×+φ=2kπ+,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=3sin.
(2)当x∈时,2x+∈,所以sin∈,所以f(x)∈.
4.
如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω＞0,0≤θ≤)的图象与y轴相交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
【答案】见解析
【解析】(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)，得cosθ＝，
因为0≤θ≤，所以θ＝.
由已知T＝π，且ω＞0，得ω＝＝＝2.
(2)因为点A，点Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
所以点P的坐标为.
又因为点P在y＝2cos的图象上，且≤x0≤π，
所以cos＝，≤4x0－≤。
从而得4x0－＝或4x0－＝，即x0＝或x0＝。一、正弦函数、余弦函数的周期性
1.函数的周期性
(1)一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
2.正弦函数、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
(2)余弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
二、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
三、正弦函数、余弦函数的单调性
1.正弦安徽念书的单调性
(1)函数在区间单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
2.余弦函数的单调性
(1)余弦函数在区间上单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)余弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
四、正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
1.
正弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1；
2.余弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1。
选择题
1.（2020·全国专题练习）函数
的定义域是(
)。
A．
B．
C．
D．
2.[2020·辽宁沈阳·高一期中]下列函数中最小正周期为的是(
)。
A．
B．
C．
D．
3.函数的部分图像大致是图中的(
)。
A．
B．
C．
D．
4.若函数对任意x都有，则=(
)。
A.2或0
B.0
C.-2或0
D.-2或2
5.（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（文））函数的图像的一条对称轴是(
)。
A．
B．
C．
D．
6.
[2020·河南濮阳·高一期末(文)]下列函数中是偶函数的是(
)。
A.
B.
C.
D.
[2020·辽宁沈河·沈阳二中其他(理)]如果函数得图象关于直线对称，那么取得最小值时的值为(
)。
A.
B.-
C.
D.-
8.函数y＝sin
x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于(
)。
A．
B．
C．2π
D．4π
9.（2020·阜新市第二高级中学高一期末）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是(
)。
A．f(x)的一个周期为?2π
B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x=
D．f(x)在(,π)单调递减
[2019·安徽省淮南市高三模拟]若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于(
)。
A.
B.
C.2
D.3
11.（2020·重庆高三其他（文））设函数在上的值域为，则的取值范围为(
)。
A．
B．
C．
D．
12.（2020·广东广州·期末）已知函数f(x)=sin(x+)(>0)的图象相邻两对称轴间的距离等于，若x∈R.f(x)≤，则正数的最小值为(
)。
A．
B．
C．
D．
填空题
1.（2020·全国高一课时练习）求函数f(x)＝lgsinx＋的定义域
．
的大小关系是
．
3.（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）函数的值域是
．
4.（2020·永州市第四中学高一月考）设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是
．
[2020·全国高考题]关于函数有如下四个命题，其中真命题为
．
①的图象关于y轴对称；②的图象关于原点对称；③的图象关于直线对称；④的最小值为2.
三、解答题
已知ω是正数，函数f(x)＝2sin
ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
2.有两个函数f(x)=asin,g(x)=bcos(k>0),它们的周期之和为,且f=g,f=-·g+1,求k,a,b.
3.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<π)在x=处取得最大值3,其相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若x∈,求f(x)的取值范围.
4.
如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω＞0,0≤θ≤)的图象与y轴相交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
