一、正弦函数、余弦函数的周期性
1.函数的周期性
(1)一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
2.正弦函数、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
(2)余弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
二、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
三、正弦函数、余弦函数的单调性
1.正弦安徽念书的单调性
(1)函数在区间单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
2.余弦函数的单调性
(1)余弦函数在区间上单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)余弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
四、正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
1.
正弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1；
2.余弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1。
选择题
1.函数y=f(x)=-sinx的奇偶性是(
)。
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
函数的一个单调递增区间是(
)。
A.
B.
C.
D.
3.（2020·永昌县第四中学高一期末）函数的最小正周期是(
)。
A．
B．
C．2π
D．5π
4.函数y=4sin(2x+π)的图象关于(
)。
A.x轴对称
B.原点对称
C.y轴对称
D.直线x=对称
函数的图象的一条对称轴方程为(
)。
A.
B.
C.
D.
下列四个函数中,既是上的增函数,又是以π为周期的偶函数的是(
)。
A.y=sinx
B.y=|sinx|
C.y=cosx
D.y=|cosx|
函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为(
)。
A.
B.
C.
D.
若a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数y=sin2x+2asinx的最大值为(
)。
A.2a+1
B.2a-1
C.-2a-1
D.a2
9.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同,则函数f(x)在[-1,1]上的单调增区间为(
)。
A.
B.
C.
D.
10.
[2020·镇原中学高一期末]若点是函数的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则(
)。
A.的最小正周期是
B.的值域为
C.的初相
D.在上单调递增
填空题
1.函数y=2+2cosx的单调递增区间是
．
函数y=2sinx-1的值域是
．
函数
的值域是
．
4.函数y=-2cos的最小正周期为 .
5.已知是以为周期的偶函数，且当时，，则当时，_____________.
6.
（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值为__________．
三、解答题
[2020·全国高一课时练习]求下列函数的定义域：
(1)；
(2)
2．求函数的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的的取值集合．
3.
已知函数y=a-bcos3x(b>0)的最大值为,最小值为-,求函数y=-4asin3bx的单调区间,最大值和最小正周期.一、正弦函数、余弦函数的周期性
1.函数的周期性
(1)一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
2.正弦函数、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
(2)余弦函数是周期函数,(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是。
二、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
三、正弦函数、余弦函数的单调性
1.正弦安徽念书的单调性
(1)函数在区间单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
2.余弦函数的单调性
(1)余弦函数在区间上单调递增，其值从-1增大到1；在区间上单调递减，其值从1减小到-1.
(2)余弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到-1.
四、正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
1.
正弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1；
2.余弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1。
选择题
1.函数y=f(x)=-sinx的奇偶性是(
)。
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
【答案】A
【解析】因为x∈R,f(-x)=-sin(-x)=sinx=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
函数的一个单调递增区间是(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由的图象易得函数的单调递增区间为，当k=1时，得为得一个单调递增区间。故选C。
3.（2020·永昌县第四中学高一期末）函数的最小正周期是(
)。
A．
B．
C．2π
D．5π
【答案】D
【解析】由题意，函数，所以函数的最小正周期是：.故选：D．
4.函数y=4sin(2x+π)的图象关于(
)。
A.x轴对称
B.原点对称
C.y轴对称
D.直线x=对称
【答案】D
【解析】选B.因为y=4sin(2x+π)=-4sin2x,所以y=4sin(2x+π)为奇函数,其图象关于原点对称.
函数的图象的一条对称轴方程为(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】函数，令，则，当k=1时，，故选B。
下列四个函数中,既是上的增函数,又是以π为周期的偶函数的是(
)。
A.y=sinx
B.y=|sinx|
C.y=cosx
D.y=|cosx|
【答案】B
【解析】根据三角函数的图象和性质,知y=sinx是周期为2π的奇函数,y=|sinx|是周期为π的偶函数,且在上为增函数,y=cosx是周期为2π的偶函数,在上是减函数,y=|cosx|在上是减函数,以π为周期的偶函数,只有y=|sinx|满足.
函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由五点作图知，解得，令，
故单调减区间为，故选D。
若a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数y=sin2x+2asinx的最大值为(
)。
A.2a+1
B.2a-1
C.-2a-1
D.a2
【答案】A
【解析】由0≤x≤2π,故sinx∈[-1,1].
令t=sinx,t∈[-1,1],则y=t2+2at=(t+a)2-a2,t∈[-1,1].
又a>1,所以-a<-1,所以y=t2+2at在[-1,1]上是增函数.
所以t=1时y取最大值1+2a.
9.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同,则函数f(x)在[-1,1]上的单调增区间为(
)。
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由已知得2=?ω=,所以f(x)=2sin,令-+2kπ≤πx-≤+2kπ,解得-+2k≤x≤+2k,k∈Z,又x∈[-1,1],所以-≤x≤,所以函数f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为.
10.
[2020·镇原中学高一期末]若点是函数的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则(
)。
A.的最小正周期是
B.的值域为
C.的初相
D.在上单调递增
【答案】D
【解析】由题意得，且函数的最小正周期为，故。又。
故函数的值域为[1,3]，初相为，故A、B、C不正确。
当时，，而函数上单调递增，所以在上单调递增，故D正确。
填空题
1.函数y=2+2cosx的单调递增区间是
．
【答案】
【解析】函数的递增区间为
函数y=2sinx-1的值域是
．
【答案】
【解析】.
函数
的值域是
．
【答案】
【解析】。
4.函数y=-2cos的最小正周期为 .
【答案】4
【解析】y=-2cos=-2cos
由T=,所以T==4.答案:4
5.已知是以为周期的偶函数，且当时，，则当时，_____________.
【答案】
【解析】当时，,
∵当时，，
∴.
又∵是以为周期的偶函数，∴，
∴当时，.
6.
（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】令，可得，，当最小故答案为：。
三、解答题
[2020·全国高一课时练习]求下列函数的定义域：
(1)；
(2)
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)要使函数有意义，必须使，由正弦函数定义知，就是角x的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数。∴角x的终边应在x轴或其上方区域，∴，∴函数的定义域为。
(2)要使函数有意义，必须使有意义，且。
∴，∴。∴函数的定义域为。
2．求函数的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的的取值集合．
【答案】见解析
【解析】．
∵，
∴当，即时，；
当，即时，．
综上，，此时的取值集合是；
，此时的取值集合是．
3.
已知函数y=a-bcos3x(b>0)的最大值为,最小值为-,求函数y=-4asin3bx的单调区间,最大值和最小正周期.
【答案】见解析
【解析】由已知条件得解得
所以y=-2sin3x,其最大值为2,最小正周期为,
由2kπ-≤3x≤2kπ+,k∈Z,
得-+≤x≤+,k∈Z,
所以单调递减区间为(k∈Z),
由2kπ+≤3x≤2kπ+,k∈Z,得+≤x≤+,k∈Z,
所以单调递增区间为(k∈Z).
