安徽省芜湖市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 PDF版含答案

20— ２０２ 1 学 年 度 第 二 学 期 芜 湖 市 中 小 学 校 教 育 教 学 质 量 监 控
高一年级数学试题卷
一 、 单选题 （ 本大题共 １２ 小题 ， 每小题 ３ 分 ， 共 ３６ 分 ， 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合
题目要求的 ）
１? 数 列 － １ ， ３ ， － ５ ， ７ … 的 一 个 通 项 公 式 为
ｎ＋ １
Ａ ? ａ ｎ ＝ ２ ｎ－ １ Ｂ ? ａ ｎ ＝ （ － １ ） × （ ２ ｎ－ １ ）
ｎ ｎ
Ｃ ? ａ ｎ ＝ （ － １ ） × （ ２ ｎ－ １ ） Ｄ ? ａ ｎ ＝ （ － １ ） × （ ２ ｎ＋ １ ）
２? 现 要 完 成 下 列 ３ 项 抽 样 调 查 ： ① 从 １０ 盒 酸 奶 中 抽 取 ３ 盒 进 行 食 品 卫 生 检 查 ； ② 科 技 报 告 厅
有 ３２ 排 ， 每排有 ４０ 个座位 ， 有一次报告会恰好坐满了听众 ， 报告会结束后 ， 为了听取意见 ，
需要请 ３２ 名听众进行座谈 ； ③ 某中学共有 １６０ 名教职工 ， 其中一般教师 １２０ 名 ， 行政人员 １６
名 ， 后勤人员 ２４ 名 ， 为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见 ， 拟抽取一个容量为 ２０
的样本 ? 其中较为合理的抽样方法是
Ａ ? 简 单 随 机 抽 样 ， 系 统 抽 样 ， 分 层 抽 样 Ｂ ? 简 单 随 机 抽 样 ， 分 层 抽 样 ， 系 统 抽 样
Ｃ ? 系 统 抽 样 ， 简 单 随 机 抽 样 ， 分 层 抽 样 Ｄ ? 分 层 抽 样 ， 系 统 抽 样 ， 简 单 随 机 抽 样
３? 下 列 命 题 中 ， 正 确 的 是
２ ２ １ １
Ａ ? 若 ａ＜ｂ ， 则 ａｃ ＜ｂｃ Ｂ ? 若 ａ＞ｂ＞ ０ ， 则


Ｃ ? ａ ＞ ｂ 则 ａ ＞ ｂ Ｄ ａ ＞ ｂ ＞ ， ｃ ＜ ｄ ＜ ， 则 ａ ｃ ＞ ｂ ｄ
ｘ － ｙ ０
ｘ ， ｙ ２ ｙ ≤ ０ ｘ － ｙ
１ ≤
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
ｘ 、 ｙ 一 组 数 据 如 表 所 示 ｙ 与 ｘ 的 回 归 直 线 方 程 为 ３ ｘ ＋ ａ 则 ａ

ｘ
ｙ －
Ａ － １ Ｂ ? １ ． ５
Ｃ ? ２ Ｄ ? １
６
Ａ ? ３
Ｂ ? ７
Ｃ ? １ ５
Ｄ ? １ ２
芜 湖 市 高 一 数 学 试 题 卷 第 页 （ 共 ６
７ ? 我 国 古 代 数 学 典 籍 《 九 章 算 术 》 第 七 章 “ 盈 不 足 ” 中 有 一 道 两 鼠 穿 墙 问 题 ： “ 今 有 垣 厚 五 尺 ，
两 鼠 对 穿 ， 大 鼠 日 一 尺 ， 小 鼠 日 一 尺 ， 大 鼠 日 自 倍 ， 小 鼠 日 自 半 ， 问 何 日 相 逢 ” ， 翻 译 过 来 就
是 ： 有 五 尺 厚 的 墙 ， 两 只 老 鼠 从 墙 的 两 边 相 对 分 别 打 洞 穿 墙 ， 大 、 小 鼠 第 一 天 都 进 一 尺 ， 以 后
每 天 ， 大 鼠 加 倍 ， 小 鼠 减 半 ， 则 在 第 几 天 两 鼠 相 遇 ． 这 个 问 题 体 现 了 古 代 对 数 列 问 题 的 研 究 ，
现 将 墙 的 厚 度 改 为 １ ３ ０ 尺 ， 则 在 第 几 天 墙 才 能 被 打 穿 ？
Ａ ? ６ Ｂ ? ７ Ｃ ? ８ Ｄ ? ９
８ ? 设 △ Ａ Ｂ Ｃ 的 内 角 Ａ ， Ｂ ， Ｃ 所 对 的 边 分 别 为 ａ ， ｂ ， ｃ ， 若 ２ ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＝ ｃ ， 则 △ Ａ Ｂ Ｃ 的 形 状 一 定 是
Ａ ? 直 角 三 角 形 Ｂ ? 等 腰 直 角 三 角 形 Ｃ ? 等 腰 三 角 形 Ｄ ? 等 边 三 角 形
Ｓ ４ １ Ｓ ８
９ ? 设 Ｓ ｎ 是 等 差 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 ， 若 ＝ ， 则 ＝
Ｓ ８ ３ Ｓ １６
３ ３ １ １
Ａ ? Ｂ ? Ｃ ? Ｄ ?
５ １ ０ ２ ５
２
１ ０ ? 当 ｘ ∈ Ｒ 时 ， 不 等 式 ｋ ｘ － ｋ ｘ ＋ ２ ＞ ０ 恒 成 立 ， 则 ｋ 的 取 值 范 围 是
Ａ ? （ － ∞ ， ０ ］ ∪ （ ８ ， ＋ ∞ ） Ｂ ? ［ ０ ， ＋ ∞ ）
Ｃ ? （ ０ ， ８ ） Ｄ ? ［ ０ ， ８ ）
１ １ ? 如 图 ， 某 景 区 欲 在 两 山 顶 Ａ ， Ｃ 之 间 建 缆 车 ， 需 要 测 量 两 山 顶 间 的 距
离 ． 已 知 山 高 Ａ Ｂ ＝
槡 ３ （ ｋ ｍ ） ， Ｃ Ｄ ＝ ３
槡 ３ （ ｋ ｍ ） ， 在 水 平 面 上 Ｅ 处 测 得 山
顶 Ａ 的 仰 角 为 ３ ０ ° ， 山 顶 Ｃ 的 仰 角 为 ４ ５ ° ， ∠ Ｂ Ｅ Ｄ ＝ １ ５ ０ ° ， 则 两 山 顶 Ａ 、
Ｃ 之 间 的 距 离 为
Ａ ?
槡 ６ ３ （ ｋ ｍ ） Ｂ ? ５
槡 ３ （ ｋ ｍ ）
Ｃ ?
槡 １ ３ （ ｋ ｍ ） Ｄ ?
槡 ６ ６ （ ｋ ｍ ）
２ ２
１ ２ ? 已 知 方 程 ｘ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ ＝ ０ ， 在 （ ０ ， ２ ） 上 有 两 个 不 同 的 解 ， 则 ｃ ＋ ２ （ ｂ ＋ ２ ） ｃ 的 取 值 范 围 是
２ ３
Ａ ? （ ０ ， 槡 ） Ｂ ? （ ０ ， ） Ｃ ? （ ０ ， １ ） Ｄ ? （ ０ ， ２ ）
２ ４ 槡
二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 ４ 小 题 ， 每 小 题 ４ 分 ， 共 １ ６ 分 ）
１ ３ ． 抛 掷 甲 、 乙 两 枚 质 地 均 匀 且 各 面 分 别 标 有 １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ， ６ 的 骰 子 ， 记 正 面 向 上 的 数 字 分 别 为
ｘ ， ｙ ， 则 ｘ ＜ ｙ 的 概 率 是 ?
４
１ ４ ? 函 数 ｙ ＝ ｘ ＋ ＋ ２ （ ｘ ＞ ０ ） 的 最 小 值 为 ．
ｘ ＋ １
４
１ ５ ? 已 知 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 满 足 ａ ｎ ＋ １ ＝ 且 ａ １ ＝ ４ ， Ｓ ｎ 为 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 前 项 和 ， 则 Ｓ ２０２０ ＝ ．
２ － ａ ｎ
１ ６ ? 在 △ Ａ Ｂ Ｃ 中 ， 已 知 槡 ２ ａ ＝ ４ ｃ ｏ ｓ Ｃ ＋
槡 ２ ｃ ｓ ｉ ｎ Ｂ ， ｂ ＝ ２
槡 ２ ， 则 △ Ａ Ｂ Ｃ 面 积 的 最 大 值 是 ?
芜 湖 市 高 一 数 学 试 题 卷 第 ２ 页 （ 共 ６ 页 ）
三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 ５ 小 题 ， 共 ４ ８ 分 ? 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）
１ ７ ? （ 本 小 题 满 分 ８ 分 ）
２
已 知 函 数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ － （ ３ ａ ＋ １ ） ｘ ＋ ｂ ?
（ １ ） 当 ａ ＝ １ ， ｂ ＝ － ５ 时 ， 解 不 等 式 ｆ （ ｘ ） ＞ ０ ；
２
（ ２ ） 当 ｂ ＝ ２ ａ ＋ ２ ａ 时 ， 解 关 于 ｘ 的 不 等 式 ｆ （ ｘ ） ＜ ０ （ 结 果 用 ａ 表 示 ） ?
１ ８ ? （ 本 小 题 满 分 １ ０ 分 ）
某 城 市 ２ ０ ０ 户 居 民 的 月 平 均 用 电 量 （ 单 位 ： 度 ） ， 以 ［ １ ６ ０ ， １ ８ ０ ） ， ［ １ ８ ０ ， ２ ０ ０ ） ， ［ ２ ０ ０ ， ２ ２ ０ ） ，
［ ２ ２ ０ ， ２ ４ ０ ） ， ［ ２ ４ ０ ， ２ ８ ０ ） ， ［ ２ ８ ０ ， ３ ０ ０ ） 分 组 的 频 率 分 布 直 方 图 如 下 ：
（ １ ） 求 直 方 图 中 ｘ 的 值 ；
（ ２ ） 在 月 平 均 用 电 量 为 ［ ２ ２ ０ ， ２ ４ ０ ） ， ［ ２ ４ ０ ， ２ ６ ０ ） ， ［ ２ ６ ０ ， ２ ８ ０ ） 的 三 组 用 户 中 ， 用 分 层 抽 样 的
方 法 抽 取 ２ ０ 户 居 民 ， 则 月 平 均 用 电 量 在 ［ ２ ２ ０ ， ２ ４ ０ ） 的 用 户 中 应 抽 取 多 少 户 ？
（ ３ ） 求 月 平 均 用 电 量 的 中 位 数 和 平 均 数 ．
芜 湖 市 高 一 数 学 试 题 卷 第 ３ 页 （ 共 ６ 页 ）
　 　 １ ９ ? （ 本 小 题 满 分 １ ０ 分 ） ｓ ｉ ｎ Ａ － ｓ ｉ ｎ Ｃ ａ － ｂ
在 △ Ａ Ｂ Ｃ 中 ， 内 角 Ａ ， Ｂ ， Ｃ 的 对 边 分 别 是 ａ ， ｂ ， ｃ ， 且 ＝ ．
ｓ ｉ ｎ Ｂ ａ ＋ ｃ
（ １ ） 求 角 Ｃ 的 大 小 ；
（ ２ ） 若 ｃ ＝ ４
槡 ３ ， 且 Ａ Ｂ 边 上 的 中 线 长 为 ５ ， 求 △ Ａ Ｂ Ｃ 的 面 积 ．
芜 湖 市 高 一 数 学 试 题 卷 第 ４ 页 （ 共 ６ 页 ）
　 　 ２ ０ ． （ 本 小 题 满 分 １ ０ 分 ）
ｎ ＋ １
２ ａ ｎ ?
已 知 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 满 足 ａ １ ＝ １ ， ａ ｎ ＋ １ ＝ ｎ （ ｎ ∈ Ｎ ） ?
ａ ｎ ＋ ２
ｎ
（ １ ） ２
证 明 ： 数 列 { 是 等 差 数 列 ， 并 求 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 通 项 公 式 ；
ａ ｎ }
（ ２ ） 设 ｂ ｎ ＝ ｎ （ ｎ ＋ １ ） ａ ｎ ， 求 数 列 ｛ ｂ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 Ｓ ｎ ．
芜 湖 市 高 一 数 学 试 题 卷 第 ５ 页 （ 共 ６ 页 ）
　 　 ２ １ ． （ 本 小 题 满 分 １ ０ 分 ）
如 图 ， 芜 湖 市 城 乡 规 划 局 将 龙 窝 湖 定 位 为 市 级 滨 江 湿 地 公 园 ， 现 准 备 在 湿 地 内 建 造 一 个 观
景 台 Ｐ ， 已 知 射 线 Ａ Ｂ ， Ａ Ｃ 为 湿 地 两 边 夹 角 为 １ ２ ０ ° 的 公 路 且 长 度 均 超 过 ２ 千 米 ， 在 两 条 公 路
Ａ Ｂ ， Ａ Ｃ 上 分 别 设 立 游 客 接 送 点 Ｍ ， Ｎ ， 从 观 景 台 Ｐ 到 Ｍ ， Ｎ 建 造 两 条 观 光 线 路 Ｐ Ｍ ， Ｐ Ｎ ， 测 得
Ａ Ｍ ＝ ２ 千 米 ， Ａ Ｎ ＝ ２ 千 米 ?
（ １ ） 求 线 段 Ｍ Ｎ 的 长 度 ；
（ ２ ） 若 ∠ Ｍ Ｐ Ｎ ＝ ６ ０ ° ， 求 两 条 观 光 线 路 Ｐ Ｍ 与 Ｐ Ｎ 之 和 的 最 大 值 ?
芜 湖 市 高 一 数 学 试 题 卷 第 ６ 页 （ 共 ６ 页 ）
20— ２０２ 1 学 年 度 第 二 学 期 芜 湖 市 中 小 学 校 教 育 教 学 质 量 监 控
高一年级数学参考答案及评分标准 （ 必 修 数 学 ③⑤ ）
一 、 选择题 （ 本大题共 １２ 小题 ， 每小题 ３ 分 ， 共 ３６ 分 ）
题 　 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 　 案 Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ
二 、 填空题 （ 本大题共 ４ 个小题 ， 每小题 ４ 分 ， 共 １６ 分 ）
５
１３ ? 　 　 １ ４ ? ５ 　 　 １ ５ ? ２ ０ ２ ３ 　 　 １ ６ ? ２ ２ ＋ １ ）
１ ２
、 （ ， ）
（ 本 小 题 满 分 分 ）
（ ） ， ｂ ＝ － ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ － ４ ｘ － ＝ （ ｘ ＋ ） （ ）
ｆ （ ｘ ） ＞ ０ － － １ ） （ ５ ， ＋ ３

２ ） ａ ＋ ２ ａ ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ － （ ３ ａ ＋ ） ｘ ＋ ａ ＋ ２ ａ ＝ ｘ － ａ ） ［ （ ａ ＋ ） ］
（ ｘ ） ＜ ０ ｘ － ａ ） ［ （ ａ ＋ ） ］ ０ ５
当 时 ２ ａ ＞ ａ ＋ ， （ ａ ＋ ， ２ ａ ） ６
当 时 ２ ａ ＝ ａ ＋ ， ７
当 时 ２ ａ ＜ ａ ＋ ， （ ２ ａ ， ａ ＋ ） ８
１ ８ ? 本 小 题 满 分 分 ）
（ ） 由 直 方 图 的 性 质 可 得
０ ． ０ ０ ２ ０ ． ０ ０ ９ ５ ０ ． ０ １ １ ０ ． ０ １ ２ ５ ０ ． ０ ０ ５ ０ ． ０ ０ ２ ５ × ２ ０ １
： ｘ ＝ ． ０ ０ ７ ５ 所 以 直 方 图 中 的 值 是 ． ０ ０ ７ ５ … … … … … … … … … … … … … ２ 分
２ ） 月 平 均 用 电 量 比 例 为 ５
所 以 月 平 均 用 电 量 在 ２ ２ ０ ２ ４ ０ ２ ０ １ ０ ? ５
１ ０
３ ） （ ０ ． ０ ０ ２ ０ ． ０ ０ ９ ５ ０ ． ０ １ １ × ２ ０ ０ ． ４ ５ ０ ． ５ ，
卷 ［ ２ ２ ０ ２ ４ ０ 内 ， 设 中 位 数 为 ，
（ ０ ． ０ ０ ２ ０ ． ０ ０ ９ ５ ０ ． ０ １ １ × ２ ０ ０ ． ０ １ ２ ５ （ ａ － ＝ ０ ． ５
ａ ＝ ． ７
１ ７ ０ ０ ． ０ ４ １ ９ ０ ０ ． １ ９ ２ １ ０ ０ ． ２ ２ ２ ３ ０ ０ ． ２ ５ ２ ５ ０ ０ ． １ ５ ２ ７ ０
０ ． １ ＋ ２ ９ ０ ０ ． ０ ５ ９
２ ２ ５ ６ １ ０
１ ９ ? １ ０

１ ） 由 正 弦 定 理 得 化 简 得 … … … … … … … … … … 分



由 余 弦 定 理 得

芜 湖 市 高 一 数 学 试 题 卷 答 案 第 页 （ 共
π
由 Ｃ ∈ （ ０ ， π ） 可 得 Ｃ ＝ ； … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ４ 分
３
（ ２ ） 倍 长 Ａ Ｂ 边 上 的 中 线 至 Ｃ Ｄ ， 连 接 Ｄ Ａ ， 在 △ Ｄ Ａ Ｃ 中 由 ∠ Ｃ Ａ Ｄ 的 余 弦 定 理 可 得
２ ２
ａ ＋ ｂ － １ ０ ０ １ ２ ２
ｃ ｏ ｓ ∠ Ｃ Ａ Ｄ ＝ ＝ － ? ａ ＋ ｂ ＋ ａ ｂ ＝ １ ０ ０ … … … … … … … … … ８ 分
２ ａ ｂ ２
２ ２ ２ ２ ２
又 由 （ １ ） 知 ａ ＋ ｂ － ｃ ＝ ａ ｂ 即 ａ ＋ ｂ － ４ ８ ＝ ａ ｂ
所 以 ａ ｂ ＝ ２ ６ ，
１ １ ３ １ ３ ３
所 以 Ｓ ＝ ａ ｂ ｓ ｉ ｎ Ｃ ＝ × ２ ６ × 槡 ＝ 槡 … … … … … … … … … … … … … … １ ０ 分
２ ２ ２ ２
２ ０ ． （ 本 小 题 满 分 １ ０ 分 ）
ａ ｎ ＋ １ ｎ ｎ ＋ １ ｎ
ｎ ＋ １ ａ ｎ ２ ２ ２ ２
（ １ ） 由 已 知 可 得 ｎ ＋ １ ＝ ｎ ， 所 以 ＝ ＋ １ ， 即 － ＝ １ ，
２ ａ ｎ ＋ ２ ａ ｎ ＋ １ ａ ｎ ａ ｎ ＋ １ ａ ｎ
ｎ
∴ ２
数 列 { 是 公 差 为 １ 的 等 差 数 列 ， … … … … … … … … … … … … … … … … … … ３ 分
ａ ｎ }
ｎ
２ ２
∴ ＝ ＋ （ ｎ － １ ） · １ ＝ ｎ ＋ １ ，
ａ ｎ ａ １
ｎ
２
∴ ａ ｎ ＝ ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ４ 分
ｎ ＋ １
ｎ
（ ２ ） 由 （ １ ） 知 ， ｂ ｎ ＝ ｎ · ２ ， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ５ 分
２ ３ ｎ
所 以 Ｓ ｎ ＝ １ · ２ ＋ ２ · ２ ＋ ３ · ２ ＋ … ＋ ｎ · ２ ，
２ ３ ４ ｎ ＋ １
２ Ｓ ｎ ＝ １ · ２ ＋ ２ · ２ ＋ ３ · ２ ＋ … ＋ ｎ · ２ ，
２ ３ ｎ ｎ ＋ １ ｎ ＋ １ ｎ ＋ １
相 减 得 － Ｓ ｎ ＝ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＋ … ＋ ２ － ｎ · ２ ＝ ２ － ２ － ｎ · ２ ，
ｎ ＋ １
∴ Ｓ ｎ ＝ （ ｎ － １ ） ２ ＋ ２ ? … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １ ０ 分
２ １ ． （ 本 小 题 满 分 １ ０ 分 ）
（ １ ） 在 △ Ａ Ｍ Ｎ 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ，
２ ２ ２ ２ ２ １
Ｍ Ｎ ＝ Ａ Ｍ ＋ Ａ Ｎ － ２ Ａ Ｍ · Ａ Ｎ ｃ ｏ ｓ １ ２ ０ ° ＝ ２ ＋ ２ － ２ × ２ × ２ × （ － ） ＝ １ ２ ，
２
所 以 Ｍ Ｎ ＝ ２
槡 ３ 千 米 ? … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ３ 分
（ ２ ） 设 ∠ Ｐ Ｍ Ｎ ＝ α ， 因 为 ∠ Ｍ Ｐ Ｎ ＝ ６ ０ ° ， 所 以 ∠ Ｐ Ｎ Ｍ ＝ １ ２ ０ ° － α ，
Ｍ Ｎ Ｐ Ｍ Ｐ Ｎ
在 △ Ｐ Ｍ Ｎ 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ， ＝ ＝ ＝ ４
ｓ ｉ ｎ ∠ Ｍ Ｐ Ｎ ｓ ｉ ｎ （ １ ２ ０ ° － α ） ｓ ｉ ｎ α
所 以 Ｐ Ｍ ＝ ４ ｓ ｉ ｎ （ １ ２ ０ ° － α ） ， Ｐ Ｎ ＝ ４ ｓ ｉ ｎ α … … … … … … … … … … … … … … … … ５ 分
３ １
所 以 Ｐ Ｍ ＋ Ｐ Ｎ ＝ ４ ｓ ｉ ｎ （ １ ２ ０ ° － α ） ＋ ４ ｓ ｉ ｎ α ＝ ４ （ 槡 ｃ ｏ ｓ α ＋ ｓ ｉ ｎ α ） ＋ ４ ｓ ｉ ｎ α
２ ２
＝ ６ ｓ ｉ ｎ α ＋ ２
槡 ３ ｃ ｏ ｓ α ＝ ４
槡 ３ ｓ ｉ ｎ （ α ＋ ３ ０ ° ） ， … … … … … … … … … … … … … … … … ８ 分
因 为 ０ ° ＜ α ＜ １ ２ ０ ° ， 所 以 ３ ０ ° ＜ α ＋ ３ ０ ° ＜ １ ５ ０ ° ，
所 以 当 α ＋ ３ ０ ° ＝ ９ ０ ° ， 即 α ＝ ６ ０ ° 时 ， Ｐ Ｍ ＋ Ｐ Ｎ 取 到 最 大 值 ４
槡 ３ ?
答 ： 两 条 观 光 线 路 距 离 之 和 的 最 大 值 为 ４
槡 ３ 千 米 ? … … … … … … … … … … … １ ０ 分
芜 湖 市 高 一 数 学 试 题 卷 答 案 第 ２ 页 （ 共 ２ 页 ）