1.2 提公因式法 课件（共30张PPT）
文档属性
| 名称 | 1.2 提公因式法 课件（共30张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-01 06:59:53 | ||
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文档简介
第一章 因式分解
2 提公因式法
知识点一 公因式
例1 指出下列各式的公因式.
（1）9a3b2与12ab3c；（2）2a（b＋c）与3（b＋c）
例1 指出下列各式的公因式.
（1）9a3b2与12ab3c；（2）2a（b＋c）与3（b＋c）
分析（1）系数9和12的最大公约数为3，相同字母有a和b，相同字母a的最低指数为1，相同字母b的最低指数为2，所以公因式为3ab2.
（2）各项都含有（b＋c），所以（b＋c）就是这个多项式的公因式.
例1 指出下列各式的公因式.
（1）9a3b2与12ab3c；（2）2a（b＋c）与3（b＋c）
分析（1）系数9和12的最大公约数为3，相同字母有a和b，相同字母a的最低指数为1，相同字母b的最低指数为2，所以公因式为3ab2.
（2）各项都含有（b＋c），所以（b＋c）就是这个多项式的公因式.
解析（1）9a3b2与12ab3c的公因式为3ab2.（2）2a（b＋c）与3（b＋c）的公因式为（b＋c）.
例1 指出下列各式的公因式.
（1）9a3b2与12ab3c；（2）2a（b＋c）与3（b＋c）
分析（1）系数9和12的最大公约数为3，相同字母有a和b，相同字母a的最低指数为1，相同字母b的最低指数为2，所以公因式为3ab2.
（2）各项都含有（b＋c），所以（b＋c）就是这个多项式的公因式.
解析（1）9a3b2与12ab3c的公因式为3ab2.（2）2a（b＋c）与3（b＋c）的公因式为（b＋c）.
点拨 若多项式中含有相同的多项式，则把相同的多项式看做一个整体提出来.
知识点二 提公因式法
1.定义:如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式这种因式分解的方法叫做提公因式法.
2.提公因式法分解因式的一般步骤:
（1）确定公因式；
（2）提出公因式并确定另一个因式.
知识点二 提公因式法
注意事项
（1）若多项式的首项系数为负数，则需提出“-”号，使括号内第一项的系数为正数，但需要注意括号内各项要变号.
（2）不能漏项，在提出公因式后，每一项都有剩余部分，它们组成的新多项式的项数与原多项式的项数相同.
（3）因式分解的结果:单项式写在多项式的前面，相同的因式要写成幂的形式.
例2 因式分解:
（1）2a2-4a；
（2）-2a3b2＋6a2b-2ab；
（3）5a（a-2b）-10b（2b-a）.
例2 因式分解:
（1）2a2-4a；
（2）-2a3b2＋6a2b-2ab；
（3）5a（a-2b）-10b（2b-a）.
分析 用提公因式法因式分解的关键是确定公因式.
（1）中公因式是2a；（2）中公因式是-2ab；（3）中公因式是5（a-2b）.
例2 因式分解:
（1）2a2-4a；
（2）-2a3b2＋6a2b-2ab；
（3）5a（a-2b）-10b（2b-a）.
分析 用提公因式法因式分解的关键是确定公因式.
（1）中公因式是2a；（2）中公因式是-2ab；（3）中公因式是5（a-2b）.
解析（1）2a2-4a＝2a（a-2）.
（2）-2a3b2＋6a2b-2ab＝-2ab（a2b-3a＋1）.
（3）5a（a-2b）-10b（2b-a）
＝5a（a-2b）＋10b（a-2b）
＝5（a-2b）（a＋2b）.
经典例题
题型一 运用提公因式法因式分解
例1 把下列各式因式分解:
（1）a（x-y）＋b（y-x）；
（2）6（m-n）2-12（n-m）2.
题型一 运用提公因式法因式分解
例1 把下列各式因式分解:
（1）a（x-y）＋b（y-x）；
（2）6（m-n）2-12（n-m）2.
解析（1）a（x-y）＋b（y-x）
＝a（x-y）-b（x-y）
＝（x-y）（a-b）.
（2）6（m-n）3-12（n-m）2
＝6（m-n）3-12［-（m-n）］2
＝6（m-n）3-12（m-n）
＝6（m-n）2（m-n-2）
题型一 运用提公因式法因式分解
例1 把下列各式因式分解:
（1）a（x-y）＋b（y-x）；
（2）6（m-n）2-12（n-m）2.
解析（1）a（x-y）＋b（y-x）
＝a（x-y）-b（x-y）
＝（x-y）（a-b）.
（2）6（m-n）3-12（n-m）2
＝6（m-n）3-12［-（m-n）］2
＝6（m-n）3-12（m-n）
＝6（m-n）2（m-n-2）
点拨 用提公因式法进行因式分解后，剩下的因式不能再有公因式.
题型二 利用提公因式法因式分解简化计算
例2 计算:39×37-13×34.
题型二 利用提公因式法因式分解简化计算
例2 计算:39×37-13×34.
分析 巧用提公因式法可简化式子的计算把13×34转化成39×33后，即可利用提公因式法因式分解.
题型二 利用提公因式法因式分解简化计算
例2 计算:39×37-13×34.
分析 巧用提公因式法可简化式子的计算把13×34转化成39×33后，即可利用提公因式法因式分解.
解析 39×37-13×34
＝39×37-39×33
＝39×（37-27）
＝390.
题型二 利用提公因式法因式分解简化计算
例2 计算:39×37-13×34.
分析 巧用提公因式法可简化式子的计算把13×34转化成39×33后，即可利用提公因式法因式分解.
解析 39×37-13×34
＝39×37-39×33
＝39×（37-27）
＝390.
点拨 利用提公因式法进行计算可以使计算简便，减少计算量利用提公因式法因式分解求多项式的值.
题型三 利用提公因式法因式分解求多项式的值
例3 （1）已知x＋y＝5，xy＝6，求x2y＋xy2的值；（2）已知b-a＝6，ab＝7，求a2b-ab2的值.
题型三 利用提公因式法因式分解求多项式的值
例3 （1）已知x＋y＝5，xy＝6，求x2y＋xy2的值；（2）已知b-a＝6，ab＝7，求a2b-ab2的值.
分析 若先求出每一个字母的值，再代入代数式中，计算比较麻烦，应先对代数式进行因式分解，设法整体代入，这样可以简化计算.
题型三 利用提公因式法因式分解求多项式的值
例3 （1）已知x＋y＝5，xy＝6，求x2y＋xy2的值；（2）已知b-a＝6，ab＝7，求a2b-ab2的值.
分析 若先求出每一个字母的值，再代入代数式中，计算比较麻烦，应先对代数式进行因式分解，设法整体代入，这样可以简化计算.
解析 （1）x2y＋xy2＝xy（x＋y）.
把x＋y＝5，xy＝6代入，得原式＝6×5＝30.
（2）a2b-ab2＝ab（a-b）＝-ab（b-a）.
把b-a＝6， ab＝7代入，得原式＝-7×6＝-42.
题型三 利用提公因式法因式分解求多项式的值
例3 （1）已知x＋y＝5，xy＝6，求x2y＋xy2的值；（2）已知b-a＝6，ab＝7，求a2b-ab2的值.
分析 若先求出每一个字母的值，再代入代数式中，计算比较麻烦，应先对代数式进行因式分解，设法整体代入，这样可以简化计算.
解析 （1）x2y＋xy2＝xy（x＋y）.
把x＋y＝5，xy＝6代入，得原式＝6×5＝30.
（2）a2b-ab2＝ab（a-b）＝-ab（b-a）.
把b-a＝6， ab＝7代入，得原式＝-7×6＝-42.
点拨 解决这类问题常用的方法是整体代入法.
易错易混
易错点一 提公因式法分解因式时容易漏项
例1 分解因式：
（1）3x2-9xy-3x；
（2）2m（a-b）-3n（b-a）-（b-a）.
易错点一 提公因式法分解因式时容易漏项
例1 分解因式：
（1）3x2-9xy-3x；
（2）2m（a-b）-3n（b-a）-（b-a）.
解析（1）原式＝3x（x-3y-1）.
（2）原式＝2m（a-b）＋3n（a-b）＋（a-b）
＝（a-b）（2m＋3n＋1）.
易错点一 提公因式法分解因式时容易漏项
例1 分解因式：
（1）3x2-9xy-3x；
（2）2m（a-b）-3n（b-a）-（b-a）.
解析（1）原式＝3x（x-3y-1）.
（2）原式＝2m（a-b）＋3n（a-b）＋（a-b）
＝（a-b）（2m＋3n＋1）.
易错警示 利用提公因式法分解因式时，当多项式的公因式恰好是多项式的一项时，提取公因式后，容易漏掉“1”，为了避免这样的错误，可以通过整式的乘法来验证.
易错点二 提出“-”号后出现符号错误
例2 因式分解:-2x3＋6x2-2x.
易错点二 提出“-”号后出现符号错误
例2 因式分解:-2x3＋6x2-2x.
解析 原式＝-2x（x2-3x＋1）.
易错点二 提出“-”号后出现符号错误
例2 因式分解:-2x3＋6x2-2x.
解析 原式＝-2x（x2-3x＋1）.
易错警示
当首项系数的符号为“-”号时，通常通过提“-”号，使因式分解后括号内首项系数的符号变为“＋”号，提“-”号时括号内多项式的各项均要变号.
2 提公因式法
知识点一 公因式
例1 指出下列各式的公因式.
（1）9a3b2与12ab3c；（2）2a（b＋c）与3（b＋c）
例1 指出下列各式的公因式.
（1）9a3b2与12ab3c；（2）2a（b＋c）与3（b＋c）
分析（1）系数9和12的最大公约数为3，相同字母有a和b，相同字母a的最低指数为1，相同字母b的最低指数为2，所以公因式为3ab2.
（2）各项都含有（b＋c），所以（b＋c）就是这个多项式的公因式.
例1 指出下列各式的公因式.
（1）9a3b2与12ab3c；（2）2a（b＋c）与3（b＋c）
分析（1）系数9和12的最大公约数为3，相同字母有a和b，相同字母a的最低指数为1，相同字母b的最低指数为2，所以公因式为3ab2.
（2）各项都含有（b＋c），所以（b＋c）就是这个多项式的公因式.
解析（1）9a3b2与12ab3c的公因式为3ab2.（2）2a（b＋c）与3（b＋c）的公因式为（b＋c）.
例1 指出下列各式的公因式.
（1）9a3b2与12ab3c；（2）2a（b＋c）与3（b＋c）
分析（1）系数9和12的最大公约数为3，相同字母有a和b，相同字母a的最低指数为1，相同字母b的最低指数为2，所以公因式为3ab2.
（2）各项都含有（b＋c），所以（b＋c）就是这个多项式的公因式.
解析（1）9a3b2与12ab3c的公因式为3ab2.（2）2a（b＋c）与3（b＋c）的公因式为（b＋c）.
点拨 若多项式中含有相同的多项式，则把相同的多项式看做一个整体提出来.
知识点二 提公因式法
1.定义:如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式这种因式分解的方法叫做提公因式法.
2.提公因式法分解因式的一般步骤:
（1）确定公因式；
（2）提出公因式并确定另一个因式.
知识点二 提公因式法
注意事项
（1）若多项式的首项系数为负数，则需提出“-”号，使括号内第一项的系数为正数，但需要注意括号内各项要变号.
（2）不能漏项，在提出公因式后，每一项都有剩余部分，它们组成的新多项式的项数与原多项式的项数相同.
（3）因式分解的结果:单项式写在多项式的前面，相同的因式要写成幂的形式.
例2 因式分解:
（1）2a2-4a；
（2）-2a3b2＋6a2b-2ab；
（3）5a（a-2b）-10b（2b-a）.
例2 因式分解:
（1）2a2-4a；
（2）-2a3b2＋6a2b-2ab；
（3）5a（a-2b）-10b（2b-a）.
分析 用提公因式法因式分解的关键是确定公因式.
（1）中公因式是2a；（2）中公因式是-2ab；（3）中公因式是5（a-2b）.
例2 因式分解:
（1）2a2-4a；
（2）-2a3b2＋6a2b-2ab；
（3）5a（a-2b）-10b（2b-a）.
分析 用提公因式法因式分解的关键是确定公因式.
（1）中公因式是2a；（2）中公因式是-2ab；（3）中公因式是5（a-2b）.
解析（1）2a2-4a＝2a（a-2）.
（2）-2a3b2＋6a2b-2ab＝-2ab（a2b-3a＋1）.
（3）5a（a-2b）-10b（2b-a）
＝5a（a-2b）＋10b（a-2b）
＝5（a-2b）（a＋2b）.
经典例题
题型一 运用提公因式法因式分解
例1 把下列各式因式分解:
（1）a（x-y）＋b（y-x）；
（2）6（m-n）2-12（n-m）2.
题型一 运用提公因式法因式分解
例1 把下列各式因式分解:
（1）a（x-y）＋b（y-x）；
（2）6（m-n）2-12（n-m）2.
解析（1）a（x-y）＋b（y-x）
＝a（x-y）-b（x-y）
＝（x-y）（a-b）.
（2）6（m-n）3-12（n-m）2
＝6（m-n）3-12［-（m-n）］2
＝6（m-n）3-12（m-n）
＝6（m-n）2（m-n-2）
题型一 运用提公因式法因式分解
例1 把下列各式因式分解:
（1）a（x-y）＋b（y-x）；
（2）6（m-n）2-12（n-m）2.
解析（1）a（x-y）＋b（y-x）
＝a（x-y）-b（x-y）
＝（x-y）（a-b）.
（2）6（m-n）3-12（n-m）2
＝6（m-n）3-12［-（m-n）］2
＝6（m-n）3-12（m-n）
＝6（m-n）2（m-n-2）
点拨 用提公因式法进行因式分解后，剩下的因式不能再有公因式.
题型二 利用提公因式法因式分解简化计算
例2 计算:39×37-13×34.
题型二 利用提公因式法因式分解简化计算
例2 计算:39×37-13×34.
分析 巧用提公因式法可简化式子的计算把13×34转化成39×33后，即可利用提公因式法因式分解.
题型二 利用提公因式法因式分解简化计算
例2 计算:39×37-13×34.
分析 巧用提公因式法可简化式子的计算把13×34转化成39×33后，即可利用提公因式法因式分解.
解析 39×37-13×34
＝39×37-39×33
＝39×（37-27）
＝390.
题型二 利用提公因式法因式分解简化计算
例2 计算:39×37-13×34.
分析 巧用提公因式法可简化式子的计算把13×34转化成39×33后，即可利用提公因式法因式分解.
解析 39×37-13×34
＝39×37-39×33
＝39×（37-27）
＝390.
点拨 利用提公因式法进行计算可以使计算简便，减少计算量利用提公因式法因式分解求多项式的值.
题型三 利用提公因式法因式分解求多项式的值
例3 （1）已知x＋y＝5，xy＝6，求x2y＋xy2的值；（2）已知b-a＝6，ab＝7，求a2b-ab2的值.
题型三 利用提公因式法因式分解求多项式的值
例3 （1）已知x＋y＝5，xy＝6，求x2y＋xy2的值；（2）已知b-a＝6，ab＝7，求a2b-ab2的值.
分析 若先求出每一个字母的值，再代入代数式中，计算比较麻烦，应先对代数式进行因式分解，设法整体代入，这样可以简化计算.
题型三 利用提公因式法因式分解求多项式的值
例3 （1）已知x＋y＝5，xy＝6，求x2y＋xy2的值；（2）已知b-a＝6，ab＝7，求a2b-ab2的值.
分析 若先求出每一个字母的值，再代入代数式中，计算比较麻烦，应先对代数式进行因式分解，设法整体代入，这样可以简化计算.
解析 （1）x2y＋xy2＝xy（x＋y）.
把x＋y＝5，xy＝6代入，得原式＝6×5＝30.
（2）a2b-ab2＝ab（a-b）＝-ab（b-a）.
把b-a＝6， ab＝7代入，得原式＝-7×6＝-42.
题型三 利用提公因式法因式分解求多项式的值
例3 （1）已知x＋y＝5，xy＝6，求x2y＋xy2的值；（2）已知b-a＝6，ab＝7，求a2b-ab2的值.
分析 若先求出每一个字母的值，再代入代数式中，计算比较麻烦，应先对代数式进行因式分解，设法整体代入，这样可以简化计算.
解析 （1）x2y＋xy2＝xy（x＋y）.
把x＋y＝5，xy＝6代入，得原式＝6×5＝30.
（2）a2b-ab2＝ab（a-b）＝-ab（b-a）.
把b-a＝6， ab＝7代入，得原式＝-7×6＝-42.
点拨 解决这类问题常用的方法是整体代入法.
易错易混
易错点一 提公因式法分解因式时容易漏项
例1 分解因式：
（1）3x2-9xy-3x；
（2）2m（a-b）-3n（b-a）-（b-a）.
易错点一 提公因式法分解因式时容易漏项
例1 分解因式：
（1）3x2-9xy-3x；
（2）2m（a-b）-3n（b-a）-（b-a）.
解析（1）原式＝3x（x-3y-1）.
（2）原式＝2m（a-b）＋3n（a-b）＋（a-b）
＝（a-b）（2m＋3n＋1）.
易错点一 提公因式法分解因式时容易漏项
例1 分解因式：
（1）3x2-9xy-3x；
（2）2m（a-b）-3n（b-a）-（b-a）.
解析（1）原式＝3x（x-3y-1）.
（2）原式＝2m（a-b）＋3n（a-b）＋（a-b）
＝（a-b）（2m＋3n＋1）.
易错警示 利用提公因式法分解因式时，当多项式的公因式恰好是多项式的一项时，提取公因式后，容易漏掉“1”，为了避免这样的错误，可以通过整式的乘法来验证.
易错点二 提出“-”号后出现符号错误
例2 因式分解:-2x3＋6x2-2x.
易错点二 提出“-”号后出现符号错误
例2 因式分解:-2x3＋6x2-2x.
解析 原式＝-2x（x2-3x＋1）.
易错点二 提出“-”号后出现符号错误
例2 因式分解:-2x3＋6x2-2x.
解析 原式＝-2x（x2-3x＋1）.
易错警示
当首项系数的符号为“-”号时，通常通过提“-”号，使因式分解后括号内首项系数的符号变为“＋”号，提“-”号时括号内多项式的各项均要变号.