复习练习卷15（幂函数）-【新教材】2020-2021学年沪教版（2020）高中数学必修第一册（Word）

2020新版上海高一上数学练习卷15—幂函数
1．幂函数的定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．几个常用的幂函数的图象与性质：
定义
幂函数y＝xα(α∈R)
图象
α＞0
α＜0
性
质
(1)图象过点
图象过点
(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，
即在(0，＋∞)上是______
在第一象限内，函数值随x的增大而减小，
即在(0，＋∞)上是______
※(3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸；
当0＜α＜1时，图象上凸
※在第一象限内，图象都下凸
※(4)形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：
当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；
当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；
当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.
答案：1．y＝xα 2．(1)(0，0)和(1，1)　(1，1)　(2)增函数　减函数
如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取2，3，，－1
四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为 ．
解法一(数形结合法)：如图，作直线x＝t(t>1)，由于函数y＝xn的图象与
直线x＝t的交点为(t，tn)，可见指数n的大小与图象交点的“高低”是一致的，
结合图象，可得答案．
解法二(特殊值法)：当x＝2时，y1＝23＝8，y2＝22＝4，y3＝20.5＝，
y4＝2－1＝，∵8>4＞＞，∴y1＞y2＞y3＞y4，故填3，2，，－1.
【点拨】(1)利用幂函数的性质比较大小，往往伴随着指数函数单调性的应用，
此题应用了y＝ax(a＞1)的单调递增的性质．当然在利用指数函数的单调性比较大小时，
也会伴随着幂函数单调性质的应用．
(2)当两个幂的底数和指数都不相同时，可以寻找一个中间量，以它作为桥梁，分别构造
指数函数和幂函数，通过比较它们和这个中间量的大小解决问题．
　在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，
y＝x－1的部分图象，则函数y＝false的图象通过的阴影区域是(　　)
解：函数y＝false的图象位于函数y＝x与y＝x2的图象之间，对比各选项中的阴影区域，
知C正确．故选C.
1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．
2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．
3．熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径．
4．作指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象应分别抓住
三个点，(0，1)，(1，a)和，(1，0)，(a，1)．
5．比较两个对数的大小的基本方法
(1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母
进行分类讨论．
(2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
6．幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x＝2或x＝的交点纵坐标的大小反映．一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、
图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0)．
7．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三
象限内，则要看函数的定义域和奇偶性．函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数
的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
8．判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数，一定要根据三种函数定义给出的“标准”形式．
如f(x)＝2x2不是指数函数，而f(x)＝23x是指数函数，因为f(x)＝23x＝8x，此时a＝8，
同样f(x)＝2x＋1也不是指数函数，因为f(x)＝2x＋1＝2·2x，不是f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的形式．