复习练习卷17（对数函数）-【新教材】2020-2021学年沪教版（2020）高中数学必修第一册（含答案）

2020新版上海高一上数学复习卷17—对数函数
1．对数函数的图象及性质：
定义
一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数
图象
a＞1
0＜a＜1
定义域
____________
值域
____________
性质
过定点____________
在(0，＋∞)上是
在(0，＋∞)上是
2.对数函数与指数函数的关系：
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数；它们的图象关于
直线________对称．
答案：1．(0，＋∞)　R　(1，0)　增函数 函数 2．y＝x
类型一　对数函数图象的应用
　已知函数f(x)＝|log2x|，0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，
若函数f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m2＝(　　)A. B. C. D.
解：作出函数f(x)＝|log2x|的图象如图．由题意可得0＜m＜1＜n，∴0＜m2＜m，
结合图象可知函数f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)，则有－log2m2＝2，m2＝2－2＝.故选A.
【点拨】先画出对数函数y＝log2x的图象，再利用图象变换得到函数f(x)＝|log2x|的图象，
通过分析函数图象对应的函数性质，比较函数值大小．
　当0A. B. C．(1，) D．(，2)
解：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，画出两个函数在上的大致图象(易判断0＜a＜1)．
由图可知，若g(x)经过点，则a＝，所以在上logax＞logx(0＜a＜1)即可，
易得＜a＜1，所以a的取值范围为.故选B.
类型二　对数函数性质的应用
　设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
解：a＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，所以a－1＝，b－1＝，
c－1＝，∵y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数．∴0∴>>，∴a－1>b－1>c－1>0，故a>b>c>1.故选D.
【点拨】比较大小问题是高考的常考题型，应熟练掌握比较大小的基本方法：
作差(商)法；②函数单调性法；③介值法(特别是以0和1为媒介值)．
利用对数函数单调性比较大小的基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，
然后根据单调性来解决．
　设a＝0.5，b＝0.4，c＝log(log34)，则(　　)
A．c解：∵0<<＝1，>＝1，log(log34)即0＜a＜1，b＞1，c＜0，∴c类型三　对数型复合函数的有关问题
　已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；
(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．
解：(1)由f(x)的定义域为R，知x2－2ax＋3＞0的解集为R，
则Δ＝4a2－12＜0，解得－＜a＜.∴a的取值范围为(－，)．
(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3 取(0，＋∞)上的一切值，
所以只要umin＝3－a2≤0?a≤－或a≥.
∴a的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)．
(3)由f(x)在[－1，＋∞)内有意义，知u(x)＝x2－2ax＋3＞0对x∈[－1，＋∞)恒成立，
因为y＝u(x)图象的对称轴为x＝a，所以当a＜－1时，u(x)min＝u(－1)＞0，
即 解得－2＜a＜－1；
当a≥－1时，u(x)min＝u(a)＝3－a2＞0，即－＜a＜，所以－1≤a＜.
综上可知，a的取值范围为(－2，)．
(4)因为y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞)，
又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，则有u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.
【点拨】(1)首先要在函数定义域内研究函数的单调性；(2)此题中定义域为R的问题实质上与值域
为R的问题正好相反，都是利用对数函数的定义域和值域进行分析．
　已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？
若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，∴a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3)．令u(x)＝－x2＋2x＋3.则u(x)在(－1，1)上单调递增，
在(1，3)上单调递减，又y＝log4u在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．
(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值是0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，显然a≠0，
因此应有 解得a＝.故存在实数a＝使f(x)的最小值等于0.
类型四　对数函数的综合问题
　已知函数f(x)＝loga是奇函数(a＞0，a≠1)．(1)求m的值；
判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性；(3)当a＝时，若对于[3，4]上的每一个x的值，
不等式f(x)＞＋b恒成立，求实数b的取值范围．
解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在其定义域内恒成立，即loga＝－loga，
∴1－m2x2＝1－x2恒成立，∴m＝－1或m＝1(舍去)，即m＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝loga(a＞0，a≠1)，令u＝＝1＋，则u在(1，＋∞)上为减函数．
∴当a＞1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数；当0＜a＜1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f(x)＞＋b恒成立?f(x)－＞b在[3，4]上
恒成立．令g(x)＝f(x)－，由(2)知，g(x)在[3，4]上是单调递增函数，
所以b＜g(x)min＝g(3)＝－，即b的取值范围是.
【点拨】解第(1)问时要特别注意“脱去”对数符号后恒成立的等式只是f(x)为奇函数的必要条件，
而不是充要条件，所以要检验；第(2)问也可用单调函数的定义来判断，但很复杂；第(3)问利用函数
与方程思想对恒成立问题进行了等价转化．
　已知f(x)＝lg，f(1)＝0，当x>0时，恒有f(x)－f＝lgx.
(1)求f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝lg(m＋x)的解集是?，求实数m的取值范围．
解：(1)∵当x>0时，f(x)－f＝lgx恒成立，∴lg－lg＝lgx，
即(a－b)x2－(a－b)x＝0.∵x≠0，∴上式若恒成立，则只能有a＝b，
又f(1)＝0，即a＋b＝2，从而a＝b＝1，∴f(x)＝lg.
(2)由lg＝lg(m＋x)知即
由于方程的解集为?，故有如下两种情况：
①方程x2＋(m－1)x＋m＝0无解，即Δ<0，解得3－2②方程x2＋(m－1)x＋m＝0有解，两根均在区间[－1，0]内，令g(x)＝x2＋(m－1)x＋m，
则有即无解．
综合①②知，实数m的取值范围是{m|3－2