复习练习卷20（函数值域的求法）-【新教材】2020-2021学年沪教版（2020）高中数学必修第一册（Word含答案）

2020新版上海高一上数学练习卷20—函数值域的求法
求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的
制约作用．常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、数形结合法等．求函数值域的基本原则有：
(1)当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合．
(2)当函数y＝f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所对应的实数y的集合．
(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定．
(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．
　求下列函数的值域：
(1)y＝；　　 (2)y＝2x＋；　　　(3)y＝；
(4)若x，y满足3x2＋2y2＝6x，求函数z＝x2＋y2的值域；
(5)f(x)＝－.
解：(1)解法一：(反函数法)由y＝，解得x2＝，
∵x2≥0，∴≥0，解得－1＜y≤1，∴函数值域为(－1，1]．
解法二：(分离常数法)
∵y＝＝－1＋，又∵1＋x2≥1，
∴0＜≤2，∴－1＜－1＋≤1，∴函数的值域为(－1，1]．
(2)(代数换元法) 令t＝(t≥0)，∴x＝1－t2，
∴y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋.
∵t≥0，∴y≤，故函数的值域为.
(3)解法一：(不等式法)
∵y＝＝＝(x－1)＋，
又∵x＞1时，x－1＞0，x＜1时，x－1＜0，
∴当x>1时，y＝(x－1)＋≥2＝4，且当x＝3，等号成立；
当x<1时，y＝－≤－4，且当x＝－1，等号成立．
∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
解法二：(判别式法)
∵y＝，∴x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0，
又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∴方程x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0有不等于1的实根．
∴Δ＝(y＋2)2－4(y＋5)＝y2－16≥0，
解得y≤－4或y≥4.当y＝－4时，x＝－1；y＝4时，x＝3.
故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
(4)(单调性法)
∵3x2＋2y2＝6x，∴2y2＝6x－3x2≥0，解得0≤x≤2.
z＝x2＋y2＝x2＋3x－x2 ＝－x2＋3x＝－(x－3)2＋.
∵对称轴为x＝3＞2，即z在x∈[0，2]上单调递增．
∴当x＝0时，z有最小值0，当x＝2时，z有最大值4，故所求函数的值域为[0，4]．
(5)(图象法)
f(x)＝作出其图象，可知函数f(x)的值域是.
【点拨】求函数值域的常用方法：
单调性法，如(4)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；
④数形结合法；⑤换元法，如(2)；⑥判别式法，如(4)；
⑦不等式法，如(4)，(5)；
⑧图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出
函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体
题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目
也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的
定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的
值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
　(1)函数y＝的值域为________．
解：y＝＝＝1－，因为≠0，且可取除0外的一切实数，
所以1－≠1，且可取除1外的一切实数．故函数的值域是{y|y∈R且y≠1}．
故填{y|y∈R且y≠1}．
(2)函数y＝x＋的值域为________．
解：函数的定义域为[1，＋∞)，在[1，＋∞)上y＝x和y＝都是增函数，
∴y＝x＋也是增函数，∴当x＝1时取得最小值1，∴函数的值域是[1，＋∞)．
故填[1，＋∞)．
(3)函数y＝的值域为________．
解法一：变形得：y＋yx2＝1＋4x＋x2，∴(1－y)x2＋4x＋1－y＝0，y＝1时，x＝0；
y≠1时，∵x∈R，∴Δ＝16－4(1－y)2≥0?－1≤y≤3且y≠1.
∴函数值域为[－1，3]．
解法二：y＝1＋，而－1－x2≤2x≤1＋x2，1＋x2＞0.∴≤≤，
∴－1≤≤1.∴1＋2×(－1)≤1＋2×≤1＋2×1，即－1≤y≤3，
∴函数的值域为[－1，3]．故填[－1，3]．
(4)设O为坐标原点，给定一个定点A(4，3)，点B(x，0)在x轴的正半轴上移动．
l(x)表示的长，则函数y＝的值域为________．
解：依题意有x＞0，l(x)＝＝，
所以y＝＝＝.
由于1－＋＝25＋，所以≥，故0＜y≤.
即函数y＝的值域是.故填.