复习练习卷16（指数函数）-【新教材】2020-2021学年沪教版（2020）高中数学必修第一册（Word含答案）

2020新版上海高一上数学复习卷16—指数函数
指数函数的图象及性质：
定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1) 叫做指数函数
图
象
a＞1
0＜a＜1
定义域
__________
值域
__________
性质
过定点_____________
在R上是______
在R上是______

答案：R　(0，＋∞)　(0，1)　增函数　减函数
类型一　指数型复合函数的定义域和值域
　求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝； (2)y＝；(3)y＝false.
解：(1)定义域为R.因为－|x＋1|≤0，所以y＝≥＝1，所以值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R.又因为y＝＝1－，而0＜＜1，所以－1＜－＜0，
则0＜y＜1，所以值域为(0，1)．
(3)令－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x≤1，所以函数y＝false的定义域为[－4，1]．
设u＝(－4≤x≤1)，易得u在x＝－时取得最大值，
在x＝－4或1时取得最小值0，即0≤u≤.所以函数y＝2u的值域为，
即函数y＝false的值域为[1，4]．
【点拨】指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的定义域为R，所以y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同；值域则要用其单调性来求，复合函数的单调性要注意“同增异减”的原则．
　求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝8；　　　　　　(2)y＝4x＋2x＋1＋1； (3)y＝.
解：(1) 因为2x－1≠0，所以x≠，所以原函数的定义域是.
令t＝，则t∈R且t≠0，所以由y＝8t(t∈R，t≠0)得y＞0且y≠1.
所以，原函数的值域是{y|y＞0且y≠1}．
(2) 定义域为R，因为y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，且2x＞0.
所以y＝4x＋2x＋1＋1的值域为{y|y＞1}．
(3)设u＝x2－6x＋17，由于函数u＝x2－6x＋17的定义域是(－∞，＋∞)，
故y＝的定义域为(－∞，＋∞)．又函数u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，所以≤，又＞0，故原函数的值域为.
类型二　指数函数的图象及其应用
　已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；
④b＜a＜0；⑤a＝b＝0.其中不可能成立的关系有(　　)
A．1个　　　B．2个　 C．3个　　 D．4个
解：作出函数y＝与y＝的图象，
然后作直线y＝m，y＝n(0＜m＜1＜n)．
我们很容易得到a即可能成立的为①②⑤，不可能成立的为③④.故选B.
【点拨】与指数函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的“陡峭”程度，也就是函数f(x)增(减)的快慢．
　函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，
其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
解：由图象知f(x)是减函数，∴0＜a＜1，又由图象在y轴的截距小于1可知a－b＜1，即－b＞0，
∴b＜0.故选D.
类型三　指数函数的综合问题
设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
解：(1)a＝1时，f(x)＝
当x＜1时，f(x)∈(－1，1)，f(x)无最小值；
当x≥1时，f(x)在为减函数，在为增函数，
当x＝时，f(x)取得最小值为－1.
(2)①若函数g(x)＝2x－a在x<1时与x轴有一个交点，则a>0，
并且当x＝1时，g(1)＝2－a>0，则0此时函数h(x)＝4(x－a)(x－2a)与x轴只有一个交点，
所以2a≥1且a<1，则≤a<1.综合得≤a＜1.
②若函数g(x)＝2x－a与x轴有无交点，则函数h(x)＝4(x－a)(x－2a)与x轴有两个交点．
当a≤0时，g(x)与x轴无交点，h(x)＝4(x－a)(x－2a)在[1，＋∞)与x轴也无交点，不合题意；
当g(1)＝2－a≤0时，a≥2，h(x)与x轴有两个交点，其横坐标为x＝a和x＝2a，
由于a≥2，两交点横坐标均满足x≥1，符合题意．
综合①②可得a的取值范围为≤a<1或a≥2.故填－1；∪[2，＋∞)．
【点拨】解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，
在R上单调，过定点等．本题是指数函数与二次函数的综合问题，由于涉及分段函数的零点个数，
故以分段函数在各段上的零点个数为标准，借助函数图象，分类讨论求解．
　已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±.
∵2x＞0，∴2x＝1＋，即x＝log2(1＋)．
(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，∵2t＞0，两边同乘以2t，
即得m(22t－1)≥－(24t－1)．∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1，2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．