复习练习卷24（函数的应用）-【新教材】2020-2021学年沪教版（2020）高中数学必修第一册（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 复习练习卷24（函数的应用）-【新教材】2020-2021学年沪教版（2020）高中数学必修第一册（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 162.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-01 12:04:50 | ||
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文档简介
10731500103378002020新版上海高一上数学复习卷24—函数的应用
1．函数的实际应用
(1)基本函数模型：
函数模型
函数解析式
一次函数模型
二次函数模型
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
幂型函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(2)三种常用函数模型性质比较
函数性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)
上的单调性
单调____函数
单调____函数
单调____函数
增长速度
越来越____
越来越____
相对平稳
图象的
变化
随x值增大，图象与____轴
行
随x值增大，图象与____轴
行
随n值变化而不同
2.函数建模
(1)函数模型应用的两个方面：
①利用已知函数模型解决问题；
②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
(2)应用函数模型解决问题的基本过程：
、
、
、
.
答案：1．(1)f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(2)增
增
增
快
慢
y
x
2．审题
建模
解模
还原
类型一 幂型函数模型
为迎接2016年“双十一网购狂欢节”，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售某产品进行促销．经调查
测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p＝3－(其中0≤x≤a，a为正常数)．
已知生产该产品还需投入成本(10＋2p)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产
能力完全能满足市场的销售需求．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意知，y＝p－x－(10＋2p)，将p＝3－代入化简得：y＝16－－x(0≤x≤a)．
(2)y＝17－≤17－2＝13，当且仅当＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．
当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a<1时，y＝17－在[0，a]上单调递增，
所以x＝a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．
【点拨】
列函数关系式时，注意自变量的取值范围；
②求最值这里运用了均值不等式法，要特别注意取等条件．通常换元法、导数法也是解这类题比较常用的方法；
本题中函数的定义域含有参数，所以要对参数进行分类讨论来确定函数的最值在何处取到，结果也要列出．
类型二 指数型函数模型
有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V
m3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r
m3.
现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g(t)表示经过时间t(天)后每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为经过时间t(天)后的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水
污染质量分数满足关系式g(t)＝＋false(p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数．
(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
(2)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时
污染水平的5%?
解：(1)∵g(t)为常数，∴g(0)－＝0，∴g(0)＝.
(2)污染源停止，即p＝0，此时g(t)＝g(0)·false.设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g(t)＝5%·g(0)，即有5%·g(0)＝g(0)·false.由实际意义知g(0)≠0，∴＝false.
∴t＝ln20，即需要ln20天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
【点拨】在认真审题，读懂题意之后，不难看出，第(1)问的本质是求g(0)；第(2)问中污染停止即p＝0，从而转化为解方程的问题．
某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现，f(n)近似地满足
f(n)＝，其中t＝false，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．
问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．
解：由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A.所以解得a＝1，b＝8.
所以f(n)＝，其中t＝false.
令f(n)＝8A，得＝8A，解得tn＝，即false＝＝2－6，
所以n＝9.
答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．
类型三 对数型函数模型
某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；
②年销售额x(万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；
③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，年销售额x(万元)在什么范围内．
解：(1)依题意y＝logax在x∈[8，64]上为增函数，所以有
?a＝2，所以y＝
(2)易知x≥8.当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，则4≤log2x≤10?16≤x≤1024，
所以16≤x≤64.当x＞64时，要使y∈[4，10]?40≤x≤100，所以64＜x≤100.
综上可得，当年销售额x在[16，100](万元)内时，y∈[4，10](万元)．
【点拨】注意根据题中条件找准对应量，列出函数解析式(这里是分段式)，再转化为给定定义域上的
“给值求值、给定范围求范围或最值”问题．
类型四 分段函数模型
为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂
浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝
若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．
由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续
有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．
解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)＝4y＝
则当0≤x≤4时，由－4≥4解得0≤x＜8，所以此时0≤x≤4.
当4综上得0≤x≤8，即若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度
g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4
≥2－a－4＝8－a－4.
因为6≤x≤10，所以14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4∈[4，8]，
故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.
令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6.
【点拨】对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较．
要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种把二氧化碳
处理转化为可利用化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(t)之间的函数关系可近似地
表示为y＝
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴
多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
解：(1)当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则S＝200x－
＝－x2＋400x－80
000＝－(x－400)2，
∴当x∈[200，300]时，S<0，因此该项目不获利．当x＝300时，S取得最大值－5
000，
∴国家每月至少补贴5
000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意，可知二氧化碳每吨的平均处理成本为
＝
①当x∈[120，144)时，＝x2－80x＋5
040＝(x－120)2＋240，
∴当x＝120时，取得最小值240.
②当x∈[144，500)时，＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.
∵200<240，∴当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【规律总结】
1．解函数应用问题的步骤
(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．
(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型．
(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果．
(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题．
以上过程可以用示意图表示为：
模拟函数的过程可以用下面框图表示：
2．函数模型的选择
解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．
一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等．
另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型．
1．函数的实际应用
(1)基本函数模型：
函数模型
函数解析式
一次函数模型
二次函数模型
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
幂型函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(2)三种常用函数模型性质比较
函数性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)
上的单调性
单调____函数
单调____函数
单调____函数
增长速度
越来越____
越来越____
相对平稳
图象的
变化
随x值增大，图象与____轴
行
随x值增大，图象与____轴
行
随n值变化而不同
2.函数建模
(1)函数模型应用的两个方面：
①利用已知函数模型解决问题；
②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
(2)应用函数模型解决问题的基本过程：
、
、
、
.
答案：1．(1)f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(2)增
增
增
快
慢
y
x
2．审题
建模
解模
还原
类型一 幂型函数模型
为迎接2016年“双十一网购狂欢节”，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售某产品进行促销．经调查
测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p＝3－(其中0≤x≤a，a为正常数)．
已知生产该产品还需投入成本(10＋2p)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产
能力完全能满足市场的销售需求．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意知，y＝p－x－(10＋2p)，将p＝3－代入化简得：y＝16－－x(0≤x≤a)．
(2)y＝17－≤17－2＝13，当且仅当＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．
当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a<1时，y＝17－在[0，a]上单调递增，
所以x＝a时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a<1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．
【点拨】
列函数关系式时，注意自变量的取值范围；
②求最值这里运用了均值不等式法，要特别注意取等条件．通常换元法、导数法也是解这类题比较常用的方法；
本题中函数的定义域含有参数，所以要对参数进行分类讨论来确定函数的最值在何处取到，结果也要列出．
类型二 指数型函数模型
有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V
m3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r
m3.
现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g(t)表示经过时间t(天)后每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为经过时间t(天)后的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水
污染质量分数满足关系式g(t)＝＋false(p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数．
(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
(2)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时
污染水平的5%?
解：(1)∵g(t)为常数，∴g(0)－＝0，∴g(0)＝.
(2)污染源停止，即p＝0，此时g(t)＝g(0)·false.设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g(t)＝5%·g(0)，即有5%·g(0)＝g(0)·false.由实际意义知g(0)≠0，∴＝false.
∴t＝ln20，即需要ln20天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
【点拨】在认真审题，读懂题意之后，不难看出，第(1)问的本质是求g(0)；第(2)问中污染停止即p＝0，从而转化为解方程的问题．
某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现，f(n)近似地满足
f(n)＝，其中t＝false，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．
问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．
解：由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A.所以解得a＝1，b＝8.
所以f(n)＝，其中t＝false.
令f(n)＝8A，得＝8A，解得tn＝，即false＝＝2－6，
所以n＝9.
答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．
类型三 对数型函数模型
某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；
②年销售额x(万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；
③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，年销售额x(万元)在什么范围内．
解：(1)依题意y＝logax在x∈[8，64]上为增函数，所以有
?a＝2，所以y＝
(2)易知x≥8.当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，则4≤log2x≤10?16≤x≤1024，
所以16≤x≤64.当x＞64时，要使y∈[4，10]?40≤x≤100，所以64＜x≤100.
综上可得，当年销售额x在[16，100](万元)内时，y∈[4，10](万元)．
【点拨】注意根据题中条件找准对应量，列出函数解析式(这里是分段式)，再转化为给定定义域上的
“给值求值、给定范围求范围或最值”问题．
类型四 分段函数模型
为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂
浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝
若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．
由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续
有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．
解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)＝4y＝
则当0≤x≤4时，由－4≥4解得0≤x＜8，所以此时0≤x≤4.
当4
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度
g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4
≥2－a－4＝8－a－4.
因为6≤x≤10，所以14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4∈[4，8]，
故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.
令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6.
【点拨】对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较．
要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种把二氧化碳
处理转化为可利用化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(t)之间的函数关系可近似地
表示为y＝
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴
多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
解：(1)当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则S＝200x－
＝－x2＋400x－80
000＝－(x－400)2，
∴当x∈[200，300]时，S<0，因此该项目不获利．当x＝300时，S取得最大值－5
000，
∴国家每月至少补贴5
000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意，可知二氧化碳每吨的平均处理成本为
＝
①当x∈[120，144)时，＝x2－80x＋5
040＝(x－120)2＋240，
∴当x＝120时，取得最小值240.
②当x∈[144，500)时，＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.
∵200<240，∴当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【规律总结】
1．解函数应用问题的步骤
(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．
(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型．
(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果．
(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题．
以上过程可以用示意图表示为：
模拟函数的过程可以用下面框图表示：
2．函数模型的选择
解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．
一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等．
另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型．