高中数学选修2-3第2章2.5.1知能优化训练

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1．分布列为
ξ －1 0 1
P
的随机变量ξ的均值为________．
解析：E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－.
答案：－
2．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________．
解析：∵n＝4，p＝，
∴E(X)＝np＝.
答案：
3．若X的分布列为
X 0 1
P a
则E(X)＝________.
解析：由题意知，＋a＝1，∴a＝，
∴E(X)＝0×＋1×＝.
答案：
4．(2011年高考上海卷)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
x 1 2 3
P(ξ＝x) ？ ！ ？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
解析：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则
Eξ＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.
答案：2
一、填空题
1．随机变量X的分布列为
X 1 3 5
P 0.5 0.3 0.2
则E(X)＝________.
解析：由均值的定义有E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
答案：2.4
2．已知随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 x 0.1
则x＝________，P(1≤ξ<3)＝________，E(ξ)＝________.
解析：x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；
P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5；
E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.
答案：0.3　0.5　2.1
3．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝________.
解析：∵Y＝4X－2，∴E(Y)＝4E(X)－2，
∴4E(X)＝E(Y)＋2＝6＋2＝8，
∴E(X)＝2.
答案：2
4．随机变量X的分布如下：
X 0 1 2 3
P a b
且E(X)＝，则a－b＝________.
解析：依题意知，
解得a＝b＝.
∴a－b＝0.
答案：0
5．若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝1)＝a且E(X)＝2，则a＝________，m＝________.
解析：由题意得：＋a＝1，∴a＝，
又∵×m＋1×a＝2，
∴m＝4.
答案：　4
6．已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，则E(η)等于________．
解析：E(ξ)＝n＝15，∴n＝30，
∴η～B，∴E(η)＝30×＝10.
答案：10
7．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．
解析：∵种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，
则ξ～B(1000,0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100，
故需补种的期望为2E(ξ)＝200.
答案：200
8．设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________.
解析：∵E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3，又a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1，
即10a＋4b＝1，
解得：a＝，b＝0，
∴a＋b＝.
答案：
9．(2011年高考浙江卷)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
解析：由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝.
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
二、解答题
10．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为ξ，求E(ξ)．
解：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，ξ可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝P()P()＝×(1－)＝，
P(ξ＝1)＝P(A·)＋P(·B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝×＝.
所以，ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
故Eξ＝0×＋1×＋2×＝≈1.467.
11．某工厂规定，如果工人在一个季度里有1个月完成生产任务，可得奖金90元；如果有2个月完成生产任务，可得奖金210元；如果有3个月完成任务，可得奖金 330元；如果工人三个月都未完成任务，则没有奖金．假设某工人每月完成任务与否是等可能的，求此工人在一个季度里所得奖金的期望值．
解：设工人一个季度里所得奖金为ξ，则ξ是一个离散型随机变量．
由于该工人每月完成任务与否是等可能的，所以他每月完成任务的概率等于，所以
P(ξ＝0)＝C03＝，
P(ξ＝90)＝C12＝，
P(ξ＝210)＝C2＝，
P(ξ＝330)＝C30＝，
所以E(ξ)＝0×＋90×＋210×＋330×＝153.75(元)．
答：这个工人在一个季度里所得奖金的期望值是153.75元．
12．某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外(环数记为0)的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是随机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30 cm、20 cm、10 cm，飞镖落在不同区域的环数如图中所示．设这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
解：由题意可知，飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比，而与它们的质量和形状无关．
由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为3∶2∶1，
面积比为9∶4∶1，所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5∶3∶1，则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k,3k，k(k>0)．
根据离散型随机变量分布列的性质有0.1＋5k＋3k＋k＝1，
解得k＝0.1，
得到离散型随机变量X的分布列为：
X 0 8 9 10
P 0.1 0.5 0.3 0.1
E(X)＝0×0.1＋8×0.5＋9×0.3＋10×0.1＝7.7.
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