数学苏教版选修2-3第2章2.6知能优化训练

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1．设随机变量X～N(3,6)，则E(X)＝________，σ(X)＝________.
解析：∵X～N(3,6)，∴E(X)＝3，V(X)＝6.∴σ(X)＝.
答案：3　
2．设随机变量X服从正态分布N(0,1)．记φ(x)＝P(X①φ(0)＝；
②φ(x)＝1－φ(－x)；
③P(|X|0)；
④P(|X|>a)＝1－φ(a)(a>0)．
解析：P(|X|>a)＝P(X>a或X<－a)＝2P(X>a)＝2[1－P(X答案：④
3．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ解析：c＋1与c－1关于ξ＝2对称，
＝2，∴c＝2.
答案：2
4．在一次英语考试中，某班的考试成绩服从正态分布(100,36)，若考试成绩在区间(88,112]内的概率超过60%，则被认为是合格的；若考试成绩在区间(88,112]内的概率超过95%，则被认为是成功的，那么本次考试是________．
解析：考试成绩在区间(88,112]内满足(μ－2σ，μ＋2σ)，所以所求概率为0.954>95%.
答案：成功的
一、填空题
1．关于正态分布的概率密度函数f(x)＝e－(x∈R)的正态曲线的形状，叙述正确的是________(填题号)．
①由σ确定，σ越大，曲线越扁平．
②由μ确定，μ越大，曲线越扁平．
③由σ确定，σ越大，曲线越尖陡．
④由μ确定，μ越大，曲线越尖陡．
解析：μ决定对称轴，形状由σ确定，σ越大，曲线越扁平；σ越小，曲线越尖陡．
答案：①
2．下列说法正确的是________．
①若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴；
②正态分布N(μ，σ2)的图象位于x轴上方；
③若X～N(3,22)，则X的分布密度函数φμ，σ(x)＝e－；
④函数f(x)＝e－(x∈R)的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线．
解析：①②④均正确，对于③，将μ＝3，σ＝2代入得φμ，σ(x)＝e－，故③错．
答案：①②④
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)＝________.
解析：ξ～N(3，σ2)，∴对应的密度曲线关于x＝3对称．
∴P(ξ<3)＝.
答案：
4．如图所示的分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态密度曲线图象，则下列说法不正确的是________．
①三种品牌的手表日走时误差的均值相等；
②日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙；
③日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙；
④三种品牌手表中甲品牌的质量最好．
解析：从图象中可以看出三条曲线的对称轴相同，所以它们的日走时误差的均值相等，故①是正确的；再根据图象的“扁平”与“尖陡”情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，这也说明甲、乙、丙三种品牌的手表日走时误差的均值相等，但甲品牌的手表偏离于均值的离散程度较小，所以甲品牌的手表的质量最好，因此③④是正确的．
答案：②
5．正态总体N中，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)内的概率是________．
解析：∵μ＝0，σ＝，
∴P(－2∴P(x>2)＋P(x<－2)＝1－0.997＝0.003.
答案：0.003
6．已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝________.
解析：因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1，所以0和－4关于－2对称．
答案：－2
7．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．
解析：由于正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
8．若随机变量X服从正态分布X～N(3,2)，η＝，则随机变量η的期望是________．
解析：因为E(X)＝3，所以E(η)＝E()＝E(－)＝－＝0.
答案：0
9．工人制造的机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布N(μ，σ2)．在一次正常的实验中，取10000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能为________．
解析：正态分布N(μ，σ2)落在(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为0.997，因此不属于(μ－3σ，μ＋3σ)的概率约为0.003，所以在一次正常的实验中，取10000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能为30个．
答案：30个
二、解答题
10．若X～N(5,1)，求P(7解：由X～N(5,1)，知正态密度函数的两个参数分别为μ＝5，σ＝1.
因为该正态曲线关于x＝5对称，
所以P(5同理，知P(5所以P(711．某县农民年平均收入服从μ＝500元，σ＝20元的正态分布．
(1)求此县农民平均收入在500～520元间人数的百分比；
(2)如果要使农民的年平均收入在(μ－a，μ＋a)内的概率不小于0.95，则a至少为多大？
解：设X表示此县农民的年平均收入，则X～N(500,202)．
(1)P(500而P(480＝2P(500∴P(500(2)∵农民的年平均收入X～N(500,202)，故X在(500－2×20,500＋2×20)的概率约为0.95，即X在(460,540)内取值的概率约为95%.
故a至少应为40元．
12．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72≤X≤88)＝0.683.
(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P(64解：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.
又P(72≤X≤88)＝0.683.
结合P(μ－σ可知σ＝8.
(2)∵P(μ－2σ又∵P(X<64)＝P(X>96)，
∴P(X<64)＝(1－0.954)＝×0.046＝0.023.
∴P(X≥64)＝0.977.
又P(X≤72)＝[1－P(72≤X≤88)]
＝(1－0.683)＝0.1585，
∴P(6464)－P(X>72)
＝0.977－(1－0.1585)＝0.1355.
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