1.4生活中的优化问题-人教A版高中数学选修2-2课时练习（含答案）

高二年级（数学）学科习题卷
生活中的优化问题

1.如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
2.今年某公司计划按200元/担的价格收购某种农产品，同时按要求以10%的税率纳税．现计划收购a万担，若将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)将税率作怎样的调整，才能使税收取得最大值(要求应用导数知识完成)?
3.将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，求断面的宽x.
4.某市在创建全国旅游城市的活动中，对一块以O为圆心，R(R为常数，单位：米)为半径的半圆形荒地进行治理改造，其中弓形BCD区域(阴影部分)种植草坪，△OBD区域用于儿童乐园出租，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．
(1)设∠BOD＝θ(单位：弧度)，用θ表示弓形BCD的面积S弓＝f(θ)．
(2)如果该市规划办邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出最大值．
答案解析：
1.设箱子的底边长为xcm(0箱子容积V＝V(x)＝x2h＝(0因此在x＝40处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值.
将x＝40代入V(x)，
得最大容积V＝402×＝16 000 (cm3).
所以箱子底边长取40 cm时，容积最大，
最大容积为16 000 cm3.
2. (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，
收购总金额为200a(1＋2x%)．
依题意，得
y＝200a(1＋2x%)·(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)
＝－ax2－ax＋20a.
(2)由(1)，得y′＝－ax－a.
令y′＝0，解得x＝－20.
当x＝－20时，y取最大值．因此，只有将税率增加20个百分点，才能使税收取得最大值．
3.设断面高为h，则h2＝d2－x2.
横梁的强度函数f(x)＝k·xh2，
所以f(x)＝kx·(d2－x2)，0当x∈(0，d)时，令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0.
解得x＝±d(舍负).
当00；当d因此，函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝d，
所以f(x)在x＝d处取最大值，
即当断面的宽为d时，横梁的强度最大.
4. (1)S扇形OBD＝R2θ，S△OBD＝R2sinθ，
则S弓＝f(θ)＝R2(θ－sinθ)，θ∈(0，π)．
(2)设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元，
则y1＝R2sinθ·95，y2＝R2(θ－sinθ)·5，
y3＝R2(π－θ)·55，
所以y＝y1－y2－y3＝R2(100sinθ＋50θ－55π)．
设g(θ)＝100sinθ＋50θ－55π，θ∈(0，π)，
则g′(θ)＝100cosθ＋50.
由g′(θ)<0，得cosθ<－，则θ∈，故g(θ)在上为减函数；
由g′(θ)>0，得cosθ>－，则θ∈，故g(θ)在θ∈上为增函数．
故当θ＝时，g(θ)取到最大值，
此时总利润最大，即ymax＝R2(50－π)，
所以当∠BOD＝时，
总利润取得最大值R2元．