(共23张PPT)
第三章 变化率与导数
§1
变化的快慢与变化率
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)自变量的改变量为x2-x1,记作Δx.
(2)函数值的改变量为f(x2)-f(x1),记作Δy.
(4)平均变化率的意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
名师点拨对函数平均变化率的两点说明
(1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球的膨胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念.定义为函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比值.
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
2.瞬时变化率
对于函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,
(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值为平均变化率,记作:
(2)在x0点的瞬时变化率:当Δx趋于0时,平均变化率趋于函数在x0点的瞬时变化率.
特别提醒1.平均变化率与瞬时变化率的关系
(1)区别:平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢.
(2)联系:当Δx趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.
2.对瞬时变化率的两点说明
(1)平均变化率随着自变量区间的变化而变化,在某一点处的瞬时变化率是一个固定值.
(2)用平均变化率估计瞬时变化率不一定是精确值,但在一定精确度的情况下,不影响其取值的严谨性.
答案:3g
m/s
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)自变量的改变量Δx是一个较小的量,Δx可正可负但不能为零.( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x0,x1]上变化的快慢.( )
(3)函数f(x)=x在x=0处的瞬时变化率为0.( )
答案:(1)√ (2)× (3)×
探究一
探究二
思维辨析
【例1】
已知函数f(x)=3x+1和g(x)=2x2+1,分别计算f(x)与g(x)在-3到-1之间和在1到1+Δx之间的平均变化率.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,求平均变化率的主要步骤是:
(1)计算函数值的改变量Δy=f(x1)-f(x0);
(2)计算自变量的改变量Δx=x1-x0;
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1已知质点运动规律s(t)=t2+3,则在时间(3,3+Δt)中,相应的平均速度等于( )
答案:A
探究一
探究二
思维辨析
【例2】
柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状.如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位:℃)为
探究一
探究二
思维辨析
解∵0≤x≤1时,f(x)=80x2+20,
15分钟=0.25小时,30分钟=0.5小时,
∴沥青温度在15分钟时的瞬时变化率为
所以沥青温度在15分钟时的瞬时变化率为40,
同理可得,沥青温度在30分钟时的瞬时变化率为80.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟估计瞬时变化率的四个步骤
第一步:定点,明确求哪个点处的瞬时变化率;
第二步:定区间,以此点为端点取一个区间计算平均变化率;
第三步:缩区间,逐步缩小区间长度;
第四步:估计值,据平均变化率逼近的情况估计瞬时变化率.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2若物体做s(t)=2(1-t)2的直线运动,则其在t=4
s时的瞬时速度为( )
A.12
B.-12
C.4
D.-4
答案:A
探究一
探究二
思维辨析
因不能正确理解平均变化率的概念而致误
【典例】
函数y=2x+5在[0,2]内的平均变化率为 .?
易错分析(1)误认为平均变化率没有顺序,而导致错误,要注意自变量的改变量为Δx=x2-x1,函数值的改变量为Δy=y2-y1.
解析:当x=0时,y=5,当x=2时,y=9,
∴函数在[0,2]内的平均变化率为2.
答案:2
纠错心得正确理解平均变化率的概念
对于函数y=f(x),当自变量由x1变化到x2时,相应的函数值也从y1变化到y2,此时自变量的改变量为Δx=x2-x1,函数值的改变量为Δy=y2-y1.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练函数y=x2-2x+1在x=-2附近的平均变化率为( )
A.-6
B.Δx-6
C.-2
D.Δx-2
解析:设y=f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,
Δy=f(-2+Δx)-f(-2)=(-2+Δx-1)2-(-2-1)2=(-3+Δx)2-9=(Δx)2-6Δx,
∴
=Δx-6,
∴函数y=x2-2x+1在x=-2附近的平均变化率为Δx-6.
答案:B
1
2
3
4
5
1.函数y=f(x)的自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy等于( )
A.f(x0+Δx)
B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
解析:写出自变量x0和x0+Δx对应的函数值f(x0)和f(x0+Δx),两式相减,就得到了函数值的改变量.
答案:D
1
2
3
4
5
2.函数f(x)=x2-1在x0到x0+Δx之间的平均变化率为
( )
A.2x0-1
B.2x0+Δx
C.2x0Δx+(Δx)2
D.(Δx)2-Δx+1
答案:B
1
2
3
4
5
3.在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=
中,平均变化率最大的是( )
A.④
B.③
C.②
D.①
解析:①的平均变化率为1,②的平均变化率为2.3,③的平均变化率为3.99,④的平均变化率约为-0.77.
答案:B
1
2
3
4
5
答案:Δx+5
1
2
3
4
5
5.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.(共25张PPT)
§2
导数的概念及其几何意义
答案:(1)C (2)-1
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
特别提醒1.若在点(x0,f(x0))处切线l的倾斜角为
,此时切线垂直于x轴,导数不存在.
2.f'(x0)>0,切线的倾斜角为锐角;f'(x)<0,切线的倾斜角为钝角;f'(x)=0,切线与x轴平行或重合.
【做一做2】
曲线y=f(x)=x2在点P(1,1)处的切线方程为( )
A.y=2x
B.y=2x-1
C.y=2x+1
D.y=-2x
∴切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
答案:B
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率.
( )
(2)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关,只与x0有关.( )
(3)曲线的切线与曲线只有一个公共点.( )
(4)过点(x1,y1)且与曲线y=f(x)相切的直线的斜率为f'(x1).( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×
探究一
探究二
思维辨析
分析根据函数y=f(x)在点x0处的导数的定义求解.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1函数f(x)=4x2在x=-1处的导数等于 .?
答案:-8
探究一
探究二
思维辨析
【例2】
(1)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线的斜率等于( )
A.0
B.2
C.4
D.6
分析(1)利用导数几何意义,只需求出函数在x=1处的导数值,即得图像在点A处的切线的斜率;(2)利用导数几何意义求出图像在点P处的切线的斜率,再根据直线方程的点斜式求得直线方程.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟1.利用导数几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:
(1)求函数f(x)在x0处的导数即得切线的斜率;
(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上,若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率;若点不在曲线上,则该点的导数值就不是切线的斜率.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2(1)已知二次函数f(x)图像的顶点坐标为(1,2),则f'(1)的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
(2)曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程为 .?
解析:(1)二次函数f(x)在图像的顶点处的切线与x轴平行,斜率为0,因此f'(1)=0.
答案:(1)D (2)2x-y=0
探究一
探究二
思维辨析
因不明确点的位置导致求切线失误
【典例】
试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.
易错分析易错将点M(1,1)当成曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再根据不同情况求解.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得若所给点不在曲线上,求切线方程时可设出切点,写出切线方程,结合条件求出切点坐标,从而得切线方程.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练已知曲线y=f(x)=x3-3x上一点P(1,-2),过点P作直线l.
(1)求与曲线y=f(x)相切且以P为切点的直线l的方程;
(2)求与曲线y=f(x)相切且切点异于点P的直线l的方程.
=3x2-3.
则过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率k1=f'(1)=0,
∴所求直线方程为y=-2.
探究一
探究二
思维辨析
1
2
3
4
1.设函数f(x)=ax3+2,若f'(-1)=3,则a=( )
答案:C
1
2
3
4
答案:C
1
2
3
4
3.已知函数f(x)=x3+2,则f'(2)= .?
答案:12
1
2
3
4(共26张PPT)
§3
计算导数
1.导数(导函数)
对于函数f(x)在区间上的每一点x处,满足:
(1)导数f'(x)存在;
称f'(x)为f(x)的导函数,简称为导数.
名师点拨导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点处的导数,就是求函数在某点处的导数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在x0处的导数就是导函数f'(x)在x0处的函数值.
【做一做1】 若f(x)=2x2+3x+1,则f'(x)= ,f'(1)= ,f'(-2)= .?
解析:Δy=f(x+Δx)-f(x)=2(x+Δx)2+3(x+Δx)+1-2x2-3x-1=2(Δx)2+4x·Δx+3Δx,
当x=1时,f'(1)=7,当x=-2时,f'(-2)=-5.
答案:4x+3 7 -5
2.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
名师点拨由于根式函数可以转化为幂函数的形式,因此可以利用幂函数的导数公式解决根式函数的求导问题.一般地,对于函数
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若f(x)=x3,则f'(1)=1.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
【例1】
已知直线y=kx-4是曲线y=x2的一条切线,求实数k的值.
分析根据导函数的几何意义,曲线上某点处的导数值即为曲线在该点处的切线的斜率.
探究三
思维辨析
探究一
探究二
反思感悟1.函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念,在点x0处的导数是函数的导数在x=x0处的函数值.
2.求函数的导数共三个步骤:
(1)求函数的增量Δx=f(x+Δx)-f(x);
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
【例2】
求出下列函数的导数.
分析分清函数类型,按求导公式求解,其中(3)(4)要先变形,再利用公式.
解(1)y'=(ex)'=ex.
(2)y'=(10x)'=10xln
10.
(3)y'=(x2·x3)'=(x5)'=5x4.
探究三
思维辨析
探究一
探究二
反思感悟利用求导公式求函数的导数的两个关注点
(1)解决函数的求导问题,要牢记求导公式,这是保证计算正确的前提.
(2)对较为复杂的函数应先利用代数恒等变换对函数解析式进行化简或变形,如根式化成分数指数幂的形式等.
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析先求切线方程→求切线的横纵截距→利用面积公式列方程求a
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟导数的综合应用的解题策略
(1)导数在实际问题中的应用非常广泛,如运动物体在某一时刻的瞬时速度等,解决此类问题的关键是正确理解导数的实际意义,准确求出导数.
(2)利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题的关键是正确确定切线的斜率,进而求出切点坐标.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.
解由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,令x=2-x,得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,
即2f(x)-f(2-x)=x2+4x-4,
联立f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得f(x)=x2,
∴f'(x)=2x,f'(2)=4,即所求切线斜率为4,
∴切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因记错公式导致求导失误
【典例】
给出下列结论:
①(cos
x)'=sin
x;
其中正确的有 .?
易错分析此类问题出错的主要原因是基本初等函数的导数公式记忆有误,关键是不能熟练掌握和应用导数公式,故需加强记忆,求导问题先要对函数式进行合理变形,再套用求导公式求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案:④
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练给出下列结论:
(3)若f(x)=3x,则f'(1)=3.
其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案:C
1
2
3
4
5
答案:D
1
2
3
4
5
2.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos
x)'=-sin
x,可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于( )
A.f(x)
B.-f(x)
C.g(x)
D.-g(x)
解析:观察上述式子,可知偶函数的导函数是奇函数,因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以g(x)为奇函数,故g(-x)=-g(x).
答案:D
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.求过点Q(2,9)且与曲线y=2x2+3相切的直线方程.
解点Q(2,9)不在曲线上,故设过点Q的切线的切点为T(x0,y0),
由已知得y'=4x,则切线的斜率为4x0,
即切线QT的斜率为4或12,
∴过点Q的切线方程为y=4x+1或y=12x-15.(共25张PPT)
§4
导数的四则运算法则
1.导数的加法与减法法则
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x),
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x).
【做一做1】
曲线y=x3-2x在(1,-1)处的切线方程为( )
A.x-y-2=0
B.x-y+2=0
C.x+y-2=0
D.x+y+2=0
解析:因为点(1,-1)在曲线y=x3-2x上,y'=3x2-2,所以x=1时,切线的斜率k=1,所以切线方程为x-y-2=0,故选A.
答案:A
2.导数的乘法与除法法则
一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x),则有[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
特别地,当g(x)=k时,有[kf(x)]'=kf'(x).
【做一做2】
设y=x2·ex,则y'等于( )
A.x2ex+2x
B.2xex
C.(2x+x2)ex
D.(x+x2)ex
解析:y'=(x2)'·ex+x2·(ex)'=2x·ex+x2·ex=(2x+x2)ex.
答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若f(x)=a2+2ax+x2,则f'(a)=2a+2x.( )
(2)运用法则求导时,不用考虑f'(x),g'(x)是否存在.( )
(3)[x2f(x)]'=2xf'(x).( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析分析每个函数的解析式的构成特点,紧扣求导公式和运算法则进行求解,必要时应先对解析式进行恒等变形,例如(5).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.理解并掌握求导法则和公式的结构规律,熟记常见基本初等函数的导数公式是进行求导运算的前提,若运算结果出现错误,其主要原因是不能正确地运用求导法则,或者基本初等函数的导数公式弄错.
2.进行求导运算时,要善于分析函数解析式的结构特点,必要时应先对解析式进行恒等变形,化简解析式,再求导,尽量避免使用积或商的求导法则.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析所给函数解析式较为复杂,不能直接套用导数公式和导数运算法则,可先对函数解析式进行适当的变形与化简,然后再用相关公式和法则求导.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求函数的导数时,一般要遵循“先化简再求导”的原则,这样一方面可以简化求导的过程,另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题.尤其是当函数解析式中含有三角函数时,更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理,再套用公式求导.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟学习了导数公式以及运算法则后,求导数就不再运用其定义的方法,而可以直接套用公式,但必须熟记公式与法则.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3已知f(x)=ex+3x,若f'(x0)>5,则x0的取值范围是 .?
解析:因为f(x)=ex+3x,所以f'(x)=ex+3,于是f'(x0)>5,即为
+3>5,解得x0>ln
2.
答案:(ln
2,+∞)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因未分清点是否在曲线上导致求切线失误
【典例】
求过曲线y=f(x)=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程.
易错分析解这类题目时,一定要注意区分“过某一点的切线方程”与“在某点处的切线方程”的不同,后者说明这点就是切点,前者只说明切线过这个点,这个点不一定是切点.
纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练若f(x)=cos
x·ln
x,则f'(π)= .?
解析:因为f(x)=cos
x·ln
x,
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
2.若函数f(x)=ex·sin
x,则函数的图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( )
解析:∵f'(x)=exsin
x+excos
x,
∴f'(4)=(sin
4+cos
4)e4.
∵e4>0,sin
4<0,cos
4<0,
∴f'(4)<0.
∴切线的斜率小于零,
∴倾斜角为钝角.
答案:C
1
2
3
4
5
3.函数f(x)=x3-mx+3,若f'(1)=0,则m= .?
解析:f'(x)=3x2-m.由f'(1)=3-m=0,得m=3.
答案:3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.求下列函数的导数:
(1)y=x5-3x3-5x2+6;
(2)y=(2x2+3)(3x-2);
解(1)y'=(x5-3x3-5x2+6)'=(x5)'-(3x3)'-(5x2)'+6'=5x4-9x2-10x.
(2)(方法一)y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+3(2x2+3)=18x2-8x+9.
(方法二)因为y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,所以y'=18x2-8x+9.
1
2
3
4
5(共42张PPT)
第3课时 圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)若直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y后的方程为ax2+bx+c=0,Δ=b2-4ac,则
知识网络
要点梳理
2.定点与定值问题
(1)在几何问题中,有些几何元素与几何量与位置或参数的值无关,即称为定点与定值问题.
(2)解决定点与定值问题主要采用特殊化方法或消参数法.
3.最值与范围问题
圆锥曲线中的最值与范围问题,常常利用以下方法进行求解
(1)定义法:结合定义,利用图形中几何量之间的大小关系求解;
(2)不等式(组)法:根据题意列出所研究的参数满足的不等式(组),通过解不等式(组)得到参数的取值范围或最值;
(3)函数值域法:将所研究的参数作为一个函数,另一个适当的参数作为自变量,建立函数解析式,利用函数方法通过函数的最值求得参数的最值或范围;
(4)基本不等式法:利用均值不等式求参数的取值范围或最值.
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要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线一定相切.( )
(2)直线与抛物线相交,一定有两个公共点.( )
(3)椭圆上任意一点(非长轴端点)与两个长轴的端点的连线的斜率之积为定值.( )
(4)抛物线的通径是所有焦点弦中的最短者.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
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专题一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】
已知椭圆C:
,直线l经过点E(-1,0),且与椭圆C相交于A,B两点,且|EA|=2|EB|.
(1)求直线l的方程;(2)求弦AB的长度.
分析(1)可设直线l的斜率,然后将直线方程与椭圆方程联立,利用根与系数的关系以及|EA|=2|EB|求出斜率即得直线的方程;(2)利用弦长公式求解.
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反思感悟直线与圆锥曲线的综合问题,主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等,求解这类问题时,通常采用代数方法,将直线方程与圆锥曲线的方程联立,消去其中一个未知量,通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系,同时,还经常利用根与系数的关系,采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题.
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专题二 定点与定值问题
【例2】
已知椭圆C:
(a>b>0)的左顶点A(-2,0),过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点A的直线l与椭圆交于点Q,与y轴交于点R,过原点与l平行的直线与椭圆交于点P,求证:
分析(1)由已知条件求得a,b的值,即得椭圆方程;(2)将直线方程与椭圆方程联立,利用弦长公式将|AQ|,|AR|,|OP|的值表示出来,然后进行化简,即可证明其是定值.
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反思感悟求解圆锥曲线中的定值问题的基本策略是“大处着眼、小处着手”,从整体上把握问题给出的综合信息,选择解题的思路,注意运用待定系数法、定义法等数学方法.如果题目中没有告诉定值,可考虑用特殊值(特殊点、特殊直线等)进行探求,再就一般情况进行推证.如果定值已经给出,可设参数,通过运算推理,参数必消,定值显露.
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变式训练2已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点坐标是(-4,0).
(1)求抛物线方程;
(2)求定点M,使过点M的直线l与抛物线交于B,C两点(异于原点),且以BC为直径的圆恰好经过原点.
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专题三 最值与范围问题
【例3】
已知抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过焦点F的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.
分析(1)利用根与系数的关系以及向量数量积的坐标运算求解;(2)将△ABO的面积表示为λ的函数,然后利用均值不等式求得最值.
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2.(2016全国乙高考)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
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考点二 定点与定值问题
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.
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(1)求椭圆C的方程;
(2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.
②求直线AB的斜率的最小值.
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答案:A
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解析:设双曲线的左焦点为F1,如图.
由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|,
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).
由于2a+|AF|是定值,要使△APF的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线.
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