(共31张PPT)
1.2 函数的极值
1.极值与极值点
(1)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值.
(2)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.
(3)函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为极值点.
(4)极值是函数在一个适当区间内的局部性质,函数的某些极大值有时候比其他极大值小,甚至可能比一些极小值还小.
名师点拨(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.
(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值,没有极小值,或者只有极小值,没有极大值,也可能既有极大值,又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
【做一做1】
下列说法不正确的是( )
A.函数y=x2有极小值
B.函数y=sin
x有无数个极值
C.函数y=2x没有极值
D.x=0是函数y=x3的极值点
答案:D
2.函数极值的求法
【做一做2】
函数f(x)=-2x3+3x2+1的极大值与极小值分别等于( )
A.0,1
B.-1,0
C.-2,-1
D.1,2
解析:f'(x)=-6x2+6x=-6x(x-1),令f'(x)=0得x=0或x=1,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以当x=0时,函数取极小值f(0)=1;当x=1时,函数取极大值f(1)=2.
答案:D
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)导数为0的点一定是极值点.( )
(2)函数的极大值一定大于极小值.( )
(3)在定义域上的单调函数一定没有极值.( )
(4)对于任意函数,极值点处的导数值一定等于0.( )
(5)三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c最多有两个极值.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析按照求函数极值的步骤,借助表格进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)函数的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.
令f'(x)=0,得x=3或x=-1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟利用导数研究函数的极值时,一般应首先考虑函数的定义域,然后求出函数的导数,得到导数为零的点,这些点将整个定义域分为若干个区间,将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中,观察导数为零的点的左、右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值点,否则,不是极值点,这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
已知函数f(x)=x3-ax2-ax+b.
(1)若函数在x=-2处取得极值5,求实数a,b的值;
(2)若函数在R上不存在极值,求实数a的取值范围.
分析(1)可利用f'(-2)=0,f(-2)=5建立a,b的方程组求解;(2)根据方程f'(x)=0不存在两个不同的实数根求解.
解(1)因为f(x)=x3-ax2-ax+b,
所以f'(x)=3x2-2ax-a,
依题意可得f'(-2)=0,f(-2)=5,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)f'(x)=3x2-2ax-a.
①若方程f'(x)=0没有实数根,则函数在R上不存在极值,这时Δ=(-2a)2+12a<0,解得-3
②若方程f'(x)=0有两个相等的实数根,则Δ=(-2a)2+12a=0,这时a=-3或a=0.
当a=-3时,f'(x)=3(x+1)2,虽有f'(-1)=0,但当x≠-1时总有f'(x)>0,所以f(x)在R上不存在极值.
当a=0时,f'(x)=3x2,虽有f'(0)=0,但当x≠0时总有f'(x)>0,所以f(x)在R上不存在极值.
③若方程f'(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2(x1综上,若函数在R上不存在极值,必有-3≤a≤0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟(1)根据函数极值的定义可知,如果一个函数是可导函数,那么在极值点处的导数必然为零,即对于可导函数y=f(x),f'(x0)=0是x0为极值点的必要条件,当已知函数在某一点处取得极值时,该点处的导数值一定为零,据此可建立关于参数的方程进行求解.
(2)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,则有以下结论:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案:8
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】已知函数y=xf'(x)的图像如下图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)上是增加的;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=-
处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有 .
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:从图像上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,
于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)上是增加的,①正确;
当x<-1时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0.
当-10,所以f'(x)<0.
故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,0)上是减少的,③错;
当0答案:①②④
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟这类函数图像问题是利用导数研究函数极值问题中较为常见的一种题型,解答这类问题的关键是选准出发点,对于导函数的图像,我们重点考虑其在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近,导函数的值是怎样变化的,若是由正值变为负值,则该点处取得极大值;若由负值变为正值,则该点处取得极小值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3已知f(x)=ax3+bx2+c,其导函数f'(x)的图像如图所示,则函数f(x)的极大值是( )
A.-2a+c
B.-4a+c
C.-3a
D.c
解析:由导函数f'(x)的图像知,当00;当x>2时,f'(x)<0;当x=2时,f'(x)=0.
又f'(x)=3ax2+2bx,所以b=-3a,f(x)=ax3-3ax2+c,所以函数f(x)的极大值为f(2)=-4a+c,故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视极值存在的条件致误
【典例】
已知函数f(x)=x3+6mx2+4nx+8m2在x=-2处取得极值,且极值为0,求m+4n的值.
易错分析本题常见错误是,根据f'(-2)=0,f(-2)=0求得m,n的两组值后,不根据极值存在的条件进行检验取舍,导致增解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解f'(x)=3x2+12mx+4n,
当m=1,n=3时,f'(x)=3x2+12x+12=3(x+2)2≥0,
所以f(x)无极值,不符合题意;
当m=2,n=9时,f'(x)=3x2+24x+36=3(x+2)(x+6),
当-6-2时,f'(x)>0,
故f(x)在x=-2处取得极值,符合题意.
综上,m=2,n=9,
所以m+4n=38.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得“f'(x0)=0”是“f(x0)为极值的必要不充分条件”,因此由f'(x0)=0求得m,n的值以后要验证在x=x0左右两侧导数值的符号是否相反,才能确定函数是否在x0点处取得极值.在已知函数的极值点与极值的条件下,求参数值时,务必注意这一点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练若函数f(x)=
x3+ax2+x在R上存在极值,则实数a的取值范围是 .?
解析:f'(x)=2x2+2ax+1,因为函数在R上存在极值,所以方程f'(x)=2x2+2ax+1=0应有两个不相等的实数根,因此Δ=4a2-8>0,解得
1
2
3
4
5
1.函数y=2x3-3x2( )
A.在x=0处取极大值,无极小值
B.在x=1处取极小值,无极大值
C.在x=0处取极大值,在x=1处取极小值
D.以上都不对
解析:y'=6x(x-1),令y'=0得x=0或x=1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:
所以在x=0处取极大值,在x=1处取极小值.
答案:C
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
3.已知定义在(a,b)上的可导函数f(x)的导函数f'(x)的图像如图所示,则f(x)的极值点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由函数在极值点处的左右两侧导数值符号相反可知,函数一共有3个极值点.
答案:C
1
2
3
4
5
4.若x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,则a-b= .?
解析:依题意有-2和4是方程3x2+2ax+b=0的两个根,
所以a=-3,b=-24,a-b=21.
答案:21
1
2
3
4
5(共29张PPT)
§2
导数在实际问题中的应用
1.生活中的变化率问题
在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特.
在气象学中,通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作降雨强度,它是反映一次降雨大小的一个重要指标.
2.最大值、最小值问题
函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).最大值或者在极大值点取得,或者在区间的端点取得.因此,要想求函数的最大值,应首先求出函数的极大值点,然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值.函数的最小值点也有类似的意义和求法.函数的最大值和最小值统称为最值.
特别提醒函数最值与极值的区别:
(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有;
(2)极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能成为最值,最值只要不在端点处则一定是极值.
【做一做】
(1)下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
(2)函数f(x)=x3-3x2+12在区间[-1,1]上的最大值与最小值分别为 .?
解析:(2)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0得x=0(x=2舍去).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=8,当x=0时,函数取最大值f(0)=12.
答案:(1)D (2)12,8
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)在解决实际优化问题时,若函数只有一个极值点,则极值点就是最值点.( )
(2)求解实际优化问题时,必须考虑变量的实际意义,从而确定其取值范围.( )
(3)如果f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的曲线,那么f(x)在[a,b]上存在极值和最值.( )
(4)函数y=f(x)在[a,b]上连续,是函数y=f(x)在[a,b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件.( )
(5)如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.
分析先求f'(x),利用极值条件建立a,b的方程组,解方程组求a,b;从而得到f(x)解析式;再解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)确定f(x)的单调性;最后由极大值求c,再求f(x)在[-3,3]上的最小值.
解(1)∵f(x)=ax3+bx+c,∴f'(x)=3ax2+b.
∵f(x)在点x=2处取得极值c-16,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f'(x)=3x2-12,
令f'(x)=0,得x1=-2,x2=2,
当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-2)上是增加的,
当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,f(x)在(-2,2)上是减少的,
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(2,+∞)上是增加的.
由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16,由题设条件知16+c=28得c=12,
此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16=-4,
因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.求可导函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值步骤如下:
(1)求f(x)在开区间(a,b)内所有极值点;
(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
2.若连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1已知函数f(x)=
x3-4x+4.
(1)求函数的极值;
(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
解(1)由导数公式表和求导法则可得f'(x)=x2-4.
解方程x2-4=0,得x1=-2,x2=2.
x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地到B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;
(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度航行?
分析(1)写出函数解析式时要注意函数的定义域;(2)利用导数求最值,注意函数定义域的限制.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟解答应用题重点要过三关:
(1)事理关(需要读懂题意,知道讲的是什么事件);
(2)文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系);
(3)数理关(要求学生有对数学知识的检索能力,构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化,进而借助数学知识进行解答).
对于这类问题,往往因忽视了数学语言和普通语言的理解与转换,从而造成了解决应用问题的最大思维障碍.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
已知函数f(x)=
x3-x在区间(a,10-a2)上有最小值,求实数a的取值范围.
分析先求出函数f(x)的单调区间与极值,然后结合图像建立关于参数a的不等式求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟注意函数在闭区间与开区间上最值的区别,当函数在开区间或无穷区间上存在最值时,最值点不是在区间的端点,而在极值点处取得.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3函数f(x)=ax4-4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b= .?
解析:f'(x)=4ax3-12ax2.
令f'(x)=0,得x=0(舍去)或x=3.当10,
故x=3为极小值点.
因为f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,
所以f(x)的最小值为f(3)=b-27a,最大值为f(4)=b.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
实际问题中忽视变量的取值范围致误
【典例】
某厂生产一种机器,其固定成本(即固定投入)为0.5万元.但每生产100台,需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售收入(单位:万元)函数为R(x)=5x-
x2(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台).
(1)把利润y表示为年产量的函数.
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
易错分析本题常见错误是忽视对年产量x的讨论,由于市场对该产品的年需求量为500台,所以当年产量x大于500台时,利润与x的关系不同于当年产量x小于500台时,应使用分段函数表示,分段求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)利润y=R(x)-C(x)
(2)0≤x≤5时,y=-0.5x2+4.75x-0.5,y'=-x+4.75,
∴当x=4.75时,ymax≈10.78(万元);
当x>5时,y=12-0.25x<12-0.25×5=10.75(万元).
∴年产量是475台时,工厂所得利润最大.
纠错心得在利用导数解决实际优化问题时,要注意对问题中变量取值范围的分析,应结合实际意义确定变量的取值范围,在变量的可取值范围内解决最值问题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知A,B两地相距200千米,一只船从A地逆水到B地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v千米/时(8探究一
探究二
探究三
思维辨析
1
2
3
4
5
答案:B
1
2
3
4
5
2.函数f(x)=x+cos
x在[0,π]上的( )
D.最小值为1,最大值为π-1
解析:f'(x)=1-sin
x≥0,所以f(x)在[0,π]上是增加的,因此最小值为f(0)=1,最大值为f(π)=π-1.
答案:D
1
2
3
4
5
3.某一件商品的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,则当利润最大时,每件商品的定价为( )
A.105元
B.110元
C.115元
D.120元
解析:利润为S(x)=(x-30)(200-x)
=-x2+230x-6
000,S'(x)=-2x+230,
由S'(x)=0,得x=115,这时利润达到最大.
答案:C
1
2
3
4
5
4.从边长为10
cm×16
cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为 cm3.?
解析:设小正方形边长为x
cm,则盒子的容积为V=x(10-2x)(16-2x),即V=4(x3-13x2+40x)(0V'=4(3x2-26x+40)=4(3x-20)(x-2),令V'=4(3x-20)(x-2)=0,得x=2,x=
(不符合题意,舍去),
则x=2是唯一极值点也就是最值点,所以当x=2时,盒子容积的最大值为144
cm3.
答案:144
1
2
3
4
5(共57张PPT)
第4课时 导数及其应用
知识网络
要点梳理
填一填:
①瞬时变化率
②导数在实际问题中的应用
③导数的计算
④导数与函数的单调性
⑤实际问题中导数的意义
⑥常用导数公式
⑦导数的四则运算法则
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理
4.导数的几何意义
(1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率等于函数f(x)在x=x0处的导数值f'(x0).
(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.
5.利用导数研究函数单调性
(1)利用导数求函数单调区间的步骤:
①确定函数的定义域;②求导数f'(x);③在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的递增区间;解不等式f'(x)<0得到函数的递减区间.
(2)根据单调性求参数取值范围:
函数f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立.
知识网络
要点梳理
6.利用导数研究函数的极值与最值
(1)应用导数求函数极值的一般步骤:
①确定函数f(x)的定义域;
②解方程f'(x)=0的根;
③检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号:
若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;
若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;
否则,此根不是f(x)的极值点.
(2)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将①求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.
知识网络
要点梳理
7.利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题
利用导数研究下列问题:(1)函数的零点个数问题;(2)方程的根的问题;(3)不等式恒成立问题;(4)证明不等式问题;(5)解不等式问题;(6)比较大小问题.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)经过点A(x0,y0)作曲线y=f(x)的切线,则切线斜率等于f'(x0).( )
(2)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,则在区间(a,b)上必有f'(x)<0.( )
(3)可导函数在极值点处的导数必为0.( )
(4)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图像与x轴最多有3个交点.( )
(5)若不等式a>f(x)恒成立,则a>[f(x)]min.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
答案:B
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题二 导数的几何意义
【例2】
(1)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为 ;?
(2)(2015课标Ⅱ高考)已知曲线y=x+ln
x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .?
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解析:(1)y'=-5ex,则k=-5×e0=-5,
所以所求切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.
∴当x=1时,k=y'=2,
∴切线方程为y=2x-1.
由y=2x-1与y=ax2+(a+2)x+1联立,得ax2+ax+2=0,再由相切知Δ=a2-8a=0,解得a=0或a=8.
∵当a=0时,y=ax2+(a+2)x+1并非曲线而是直线,
∴a=0舍去,故a=8.
答案:(1)5x+y+2=0 (2)8
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反思感悟利用导数研究曲线的切线问题,务必要注意所给点是否在曲线上,若点在曲线上,则函数在该点处的导数值就是曲线在该点切线的斜率,若所给点不在已知曲线上,则应先设出切点坐标,再结合两点连线的斜率公式建立联系求解.
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变式训练2若曲线y=ax2-ln
x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .?
解析:∵点(1,a)在曲线y=ax2-ln
x上,
∴切线与曲线在点(1,a)处相切.
∴f'(1)=2a-1.
∴切线的斜率为2a-1.
又由切线与x轴平行,
∴2a-1=0,
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专题三 利用导数研究函数单调性
【例3】
已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)ln
x,a∈R.
(1)当a=8时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(3)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围.
分析(1)将a的值代入,确定定义域,求导数,然后解不等式即得;(2)转化为f'(x)≥0在[2,+∞)恒成立求解;(3)转化为不等式f'(x)<0在定义域上有解进行处理.
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专题四 利用导数研究函数的极值与最值
【例4】
已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在闭区间[-2,2]上的最大值和最小值.
分析(1)根据条件可得f'(1)=0,f(1)=-1,求出a,b的值得到函数解析式,再利用导数解不等式得到单调区间;(2)按照求最值的步骤求解即可.
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(2)由(1),当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
由表中数据知,函数f(x)在x=2处取得最大值2,在x=-2处取得最小值-10,
∴函数f(x)在闭区间[-2,2]上的最大值为2,最小值为-10.
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(1)若函数f(x)在x=2处取得极小值,求a的值;
(2)若a>0,求f(x)在[0,1]上的最大值.
解(1)f'(x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)
=(x-a)[x-(a+1)].
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
∴a+1=2,
∴a=1.
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专题五 利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题
分析(1)将a,b的值代入,然后研究函数的极值,并结合单调性求出最值;(2)方程有唯一实数解,亦即相应函数图像与x轴只有一个交点,可先研究函数的极值情况,并结合图像分析,得到m的值.
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(1)若f(x)在[2,5]上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)≥0对任意x>0恒成立,求实数a的最小值.
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令g(x)=2x-xln
x,因此g'(x)=2-(ln
x+1)=1-ln
x,
显然当00,即得g(x)在(0,e)上是增函数;
当x≥e时,g'(x)≤0,即得g(x)在[e,+∞)上是减函数.
所以g(x)max=g(e)=e.
故a≥e,即a的最小值为e.
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考点一 导数的运算
1.(2013江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1)= .?
解析:令ex=t,则x=ln
t,
∴f(t)=ln
t+t,
∴f'(1)=2.
答案:2
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考点二 导数的几何意义
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
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答案:A
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3.(2016全国丙高考)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .?
解析:当x>0时,-x<0,f(-x)=ex-1+x.
因为f(x)为偶函数,
所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.
因为f'(x)=ex-1+1,所以f'(1)=2,
所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
答案:y=2x
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4.(2015课标全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .?
解析:∵f'(x)=3ax2+1,
∴f'(1)=3a+1,
即切线斜率k=3a+1.
又f(1)=a+2,
∴已知点为(1,a+2).
∴5-a=3a+1,解得a=1.
答案:1
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6.(2016全国乙高考)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)
=(x-1)(ex+2a).
(ⅰ)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.
(ⅱ)设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
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故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f'(x)>0;
当x∈(ln(-2a),1)时,f'(x)<0.
所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,
在(ln(-2a),1)单调递减.
故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0;
当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,
在(1,ln(-2a))单调递减.
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考点四 利用导数研究函数的极值与最值
7.(2016四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )
A.-4
B.-2
C.4
D.2
解析:f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f'(x)=0,得x=-2或x=2,
易得f(x)在(-2,2)上单调递减,在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,
故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.
答案:D
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8.(2015安徽高考)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>0,b<0,c>0,d>0
B.a>0,b<0,c<0,d>0
C.a<0,b<0,c>0,d>0
D.a>0,b>0,c>0,d<0
答案:A
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9.(2016山东高考)设f(x)=xln
x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
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考点五 利用导数解决实际问题
10.(2014陕西高考)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为
( )
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解析:由已知图形,可知该三次函数有0和2两个零点,因此可设其解析式为y=ax(x-2)(x+m).
因为y=ax(x-2)(x+m)=ax3+amx2-2ax2-2amx,
所以y'=3ax2+2amx-4ax-2am.
又因为直线y=-x和y=3x-6分别是该三次函数图像在点(0,0)和(2,0)处的切线,由导数的几何意义知y'|x=0=-1,y'|x=2=3,
答案:A
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11.(2015江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数
(其中a,b为常数)模型.
(1)求a,b的值;
(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;
②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.
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考点六 利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题
12.(2015课标全国Ⅱ高考)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
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∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.
在区间(0,1)上,F(x)>0;
在(1,+∞)上,F(x)<0,即当00;
当x>1时,f(x)<0.
又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f(x)<0.
综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A.
答案:A
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13.(2016全国甲高考)已知函数f(x)=(x+1)ln
x-a(x-1).
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,
曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.
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14.(2016全国丙高考)设函数f(x)=ln
x-x+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
解(1)(导数与函数的单调性)
令f'(x)=0解得x=1.
当00,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
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15.(2016北京高考)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;
(3)求证:a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
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解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.
因为f(0)=c,f'(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx+c.
(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,
所以f'(x)=3x2+8x+4.
令f'(x)=0,得3x2+8x+4=0,
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(3)当Δ=4a2-12b<0时,f'(x)=3x2+2ax+b>0,x∈(-∞,+∞),
此时函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,
所以f(x)不可能有三个不同零点.
当Δ=4a2-12b=0时,f'(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.
当x∈(-∞,x0)时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,x0)上单调递增;
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.
所以f(x)不可能有三个不同零点.
综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有Δ=4a2-12b>0.
故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件.
当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.
因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.