(共31张PPT)
第一章 常用逻辑用语
§1
命题
1.命题
(1)定义
可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.
(2)分类
判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题.
(3)形式
一个命题由条件和结论两部分组成.数学中,通常把命题表示为“若p,则q”的形式,其中p是条件,q是结论.
名师点拨1.并不是任何语句都是命题,能够判断真假的语句才是命题.
2.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
3.对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.
4.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题不一定都是定理,因为命题有真假之分,而定理一定是真命题.
【做一做1】
(1)下列语句不是命题的是( )
A.3是15的约数
B.x2+2x+1≥0
C.4不小于2
D.5能被15整除吗?
(2)下列命题中,是真命题的是( )
A.{x∈R|x2+1=0}不是空集
B.若x2=1,则x=1
C.空集是任何集合的真子集
D.x2-5x=0的根是自然数
解析:(1)D是疑问句,不能判断真假,不符合命题的定义,不是命题,其余A,B,C均能够判断真假,均是命题.
(2)A中方程在实数范围内无解,故A是假命题;B中若x2=1,则x=±1,故B是假命题;因空集是任何非空集合的真子集,故C是假命题.所以选D.
答案:(1)D (2)D
2.四种命题及其关系
(1)四种命题及其形式
对“若p,则q”形式的命题中的p和q进行“换位”(即交换位置)或“换质”(即分别否定)后,可以构成其他三种不同形式的命题.
设原命题:若p,则q.
则逆命题:将条件和结论“换位”,即“若q,则p”.
否命题:将条件和结论都“换质”,即分别否定.
逆否命题:将条件和结论“换位”又“换质”,即互换位置,且分别否定.
特别提醒1.一定要分清命题的条件和结论,注意大前提是不能作为条件来对待的,它在四种命题形式中是不变的.
2.一定要注意条件与结论的否定形式,要掌握一些常见关键词的否定.
3.逆命题、否命题和逆否命题都是相对原命题而言的,都是相对的概念.
(2)四种命题间的相互关系
①原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题间的相互关系如图所示.
②一般地,四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况:
因为逆命题和否命题互为逆否命题,所以四种命题的真假性之间的关系是:
(a)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(b)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有必然的关系.
【做一做3】
(1)命题“若x2≠1,则x≠1”的否命题是 命题.(填“真”或“假”)?
(2)若命题p的逆否命题是真命题,则命题p是 命题.(填“真”或“假”)?
(3)命题“若a>b,则a2>b2”的逆否命题为 ,其真假情况为 (填“真命题”或“假命题”).?
答案:(1)假 (2)真 (3)若a2≤b2,则a≤b 假命题
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)有的命题没有逆命题.( )
(2)含有变量的语句也可能是命题.( )
(3)如果一个语句判断为假,那么它就不是命题.( )
(4)在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数一定是偶数.( )
(5)原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题.( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
下列语句是否为命题?若是,则判断其真假,若不是,则说明理由.
(1)x>1或x=1;
(2)如果x=1,那么x>3;
(3)方程x2-5x+6=0的根是x=2;
(4)x2-5x+6=0;
(5)一个实数不是正数就是负数;
(6)矩形是平行四边形;
(7)把这道题解出来;
(8)正方形是平行四边形吗?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析判断一个语句是否为命题,应把握住这个语句能否判断真假.一般来说祈使句、疑问句、感叹句都不是命题;一个命题不是真就是假,二者必居其一,不能模棱两可,不能辨别真假的语句,一定不是命题.
解(1)由于x的值不确定,因此无法作出判断,不是命题.
(2)已经明确指定了x的值,是命题,且是假命题.
(3)是命题,且是假命题,因为还有一根是x=3.
(4)不是命题,因为x的值不确定.
(5)是命题,且是假命题,因为0既不是正数也不是负数.
(6)是命题,且是真命题.
(7)不是命题,因为它是祈使句.
(8)不是命题,因为它是疑问句.
反思感悟注意不要把假命题误认为不是命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1判断下列语句是否为命题,若是,则判断其真假;若不是,则说明理由.
(1)若a,b,c,d∈R,a=c且b=d,则a+b=c+d.
(2)对立事件一定是互斥事件.
(3)函数y=cos
x的最小正周期是π吗?
(4)在等比数列{an}中,若公比q>1,则数列{an}是递增数列.
(5)求证:若x∈R,则x2-x+1>0.
解(1)是命题,且是真命题.(2)是命题,且是真命题.(3)是疑问句,不是命题.(4)是命题,且是假命题,如数列-1,-2,-4,-8,…为递减数列.(5)是祈使句,不是命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
写出下列各个命题的逆命题、否命题及逆否命题.
(2)若a+b是偶数,则a,b都是偶数;
(3)等底等高的两个三角形是全等三角形;
(4)当1
(5)若ab=0,则a=0或b=0.
分析注意分清命题的条件和结论,按照四种命题的定义写出相应的命题,其中(2)要注意对“都是”的否定,(5)要注意对“或”的否定.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)逆命题:若a,b都是偶数,则a+b是偶数.
否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.
逆否命题:若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.
(3)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.
否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等.
逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.
(4)逆命题:若x2-3x+2<0,则1否命题:若x≤1或x≥2,则x2-3x+2≥0.
逆否命题:若x2-3x+2≥0,则x≤1或x≥2.
(5)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0.
否命题:若ab≠0,则a≠0,且b≠0.
逆否命题:若a≠0,且b≠0,则ab≠0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.给出一个命题,写出其命题的四种形式时,首先要弄清楚该命题的条件和结论,若给出的命题不是“若p,则q”的形式,则应改写为“若p,则q”的形式,找出命题的条件和结论.
2.写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,只否定结论的错误.
3.要特别注意对一些常见形式的否定的写法,例如:“都是”的否定为“不都是”,“a,b中至少一个为零”的否定为“a,b都不为零”.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2写出命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则集合{x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题.
解逆命题:若集合{x|ax2+bx+c<0}≠?,则抛物线y=ax2+bx+c的开口向下.
否命题:若抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,则集合{x|ax2+bx+c<0}=?.
逆否命题:若集合{x|ax2+bx+c<0}=?,则抛物线y=ax2+bx+c的开口向上.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
判断下列各个命题的真假:
(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
(2)“对顶角相等”的逆命题;
(3)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题;
(4)若a≥0或b≥0,则a+b≥0.
分析可以先根据要求写出每个命题,再判断真假.也可以不写出命题,而利用四种命题之间的等价关系进行判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)(方法一)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是“若x+y≠0,则x,y不互为相反数”,是真命题.
(方法二)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然是真命题,而逆命题和否命题等价,因此“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是真命题.
(2)(方法一)“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等,则它们是对顶角”,是假命题.
(方法二)“对顶角相等”的否命题是“若两个角不是对顶角,则它们不相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的逆命题是假命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)(方法一)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是“若一个三角形的两个锐角不互为余角,则这个三角形不是直角三角形”,是真命题.
(方法二)因为命题“直角三角形的两个锐角互为余角”是真命题,而原命题与逆否命题等价,所以“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是真命题.
(4)(方法一)取a=4,b=-6,满足a≥0或b≥0,但这时a+b≥0不成立,故原命题是假命题.
(方法二)命题“若a≥0或b≥0,则a+b≥0”的逆否命题是“若a+b<0,则a<0,且b<0”,显然是假命题,而原命题与逆否命题等价,所以原命题是假命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟判断一个命题的真假通常有以下两种方法:
(1)分清该命题的条件与结论,直接根据我们已学过的定义、定理、公理、法则、公式、事实等判断其真假,也可通过反例判断其真假.将命题改写成“若p,则q”的形式后,判断此命题真假的方法如下:
①若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可确定“若p,则q”为真;而确定“若p,则q”为假时,只需举一个反例说明即可.
②从集合的观点看,我们建立集合A,B与命题中的p,q之间的一种特殊联系:设集合A={x|p(x)成立},B={x|q(x)成立},就是说,A是能使条件p(x)成立的对象x所构成的集合,B是能使条件q(x)成立的对象x所构成的集合,此时,“若p,则q”为真(意思就是“使p成立的对象也使q成立”),当且仅当A?B时满足.
(2)不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题与逆否命题等价、逆命题与否命题等价,特别是当命题本身不容易判断真假时,通常是通过判断其逆否命题的真假来实现.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3(1)命题“个位数字为5的整数能被5整除”是 命题,它的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)?
(2)命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空解集,则a2-4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.
(1)解析:显然原命题为真命题;而当一个整数能被5整除时,其末尾数字不一定为5,也可以为0,故逆命题是假命题.
答案:真 假
(2)解逆命题:已知a,b为实数,若a2-4b≥0,则x2+ax+b≤0有非空解集.
否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2-4b<0.
逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b<0,则x2+ax+b≤0没有非空解集.
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因知识欠缺导致对命题真假判断失误
【典例】
判断下列命题的真假.
(2)x=1是方程(x-1)(x-2)=0的根.
易错分析(1)误认为两数比较大小时,大数的倒数反而小,而忽视a,b的条件,当a>0,b<0时,a>b,但
(2)因为方程(x-1)(x-2)=0的根为x=1或x=2,解题时误认为x=1不全面,而没有分清逻辑关系.
解(1)假命题.(2)真命题.
纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练判断下列命题的真假并说明理由.
(1)合数一定是偶数;
(2)若ab>0,且a+b>0,则a>0且b>0;
(3)若m>
,则方程mx2-x+1=0无实根.
解(1)假命题.例如9是合数,但不是偶数.
(2)真命题.因为ab>0,所以a,b同号.
又a+b>0,所以a,b不能同负,
故a,b只能同正,即a>0且b>0.
(3)真命题.因为当m>
时,Δ=1-4m<0,
所以方程无实根.
1
2
3
4
1.下列语句是命题的是( )
A.5比10大
B.他是高年级的学生
C.x+y>xy
D.太阳和月亮
解析:“5比10大”能判断为假,故是命题,其余均不是命题.
答案:A
1
2
3
4
2.命题“若a+b=6,则ab≤9”的否命题是( )
A.若a+b=6,则ab>9
B.若a+b≠6,则ab≥9
C.若a+b≠6,则ab>9
D.若a+b≠6,则ab≤9
答案:C
1
2
3
4
3.若命题“函数f(x)=ax是增函数”是真命题,则a的取值范围是 .?
解析:因为函数f(x)=ax是增函数,所以a>1.
答案:a>1
1
2
3
4
4.判断下面命题的真假,写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.
若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形.
解该命题为真命题.
逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则该四边形的对角互补.为真命题.
否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形.为真命题.
逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则该四边形的对角不互补.为真命题.(共28张PPT)
§2
充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件
名师点拨1.充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.
2.必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.
3.以下几种说法是等价的:①p?q;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q.
【做一做1】
用“充分条件”和“必要条件”填空:
(1)“a>0,b>0”是“a+b>0”的 .?
(2)“tan
θ=1”是“θ=
”的 .?
(3)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的 .?
答案:(1)充分条件 (2)必要条件 (3)充分条件
2.充要条件
名师点拨1.p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.
2.要判断p是不是q的充要条件,需要进行两次判断:一是看p能否推出q,二是看q能否推出p,若p能推出q,q也能推出p,则可以说p是q的充要条件,否则,不能说p是q的充要条件.
3.对充分条件和必要条件的进一步划分:
【做一做2】
下列各项中,p是q的充要条件的是( )
解析:A项中,p是q的充分不必要条件;C项中,p是q的充分不必要条件;D项中,p是q的必要不充分条件,只有B项符合.
答案:B
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)如果p是q的充分条件,那么命题“若p,则q”不一定为真.( )
(2)如果p是q的充分条件,那么q就是p的必要条件.( )
(3)如果p是q的必要条件,那么p是唯一的.( )
(4)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.( )
(5)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
探究一
探究二
思维辨析
【例1】
指出下列各题中,p是q的什么条件?(用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件作答)
分析先判断p?q,q?p是否成立,再结合充分条件、必要条件、充要条件的定义得出结论.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟充分条件、必要条件、充要条件的两种基本判断方法
(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论.
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则为充分条件,否则就不是充分条件.
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法:①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.
②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空:
(1)“x2=4”是“x=-2”的 条件;?
(2)“函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函数”是“θ=kπ(k∈Z)”的 条件;?
(4)“lg(x-y)>0”是“x-y>0”的 条件.?
探究一
探究二
思维辨析
解析:(1)当x=-2时,一定有x2=4,但当x2=4时,不一定有x=-2,所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件;(2)若函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函数,则有θ=kπ(k∈Z),当θ=kπ(k∈Z)时,函数f(x)=cos(2x+θ)一定是偶函数,所以“函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函数”是“θ=kπ(k∈Z)”的充要条件
答案:(1)必要不充分 (2)充要 (3)既不充分也不必要 (4)充分不必要
探究一
探究二
思维辨析
【例2】
设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°.
分析第一步,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是“A=90°”,结论是“方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根”;第二步,根据要求确定解题步骤,分别证明“充分性”与“必要性”.
探究一
探究二
思维辨析
证明(1)(充分性)
因为A=90°,
所以a2=b2+c2,方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
即(x+a+c)(x+a-c)=0,
所以两根分别为x1=-a-c,x2=-a+c.
同理x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx-a2+c2=0,
即(x+a+c)(x+c-a)=0,
所以两根分别为x1=-a-c,x2=a-c.
故两个方程有公共根-a-c.
探究一
探究二
思维辨析
(2)(必要性)
设两个方程有公共根α,则α2+2aα+b2=0,α2+2cα-b2=0,显然α≠0.
两式相加得α2+α(a+c)=0.
所以α=-(a+c).
代入x2+2ax+b2=0可得a2=b2+c2,所以A=90°.
综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°.
反思感悟充要条件的证明策略
(1)要证p为q的充要条件(p的充要条件为q),需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真,但必须分清条件和结论分别是什么.
(2)在证明的过程中也可以用集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证得到哪些结论.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2在△ABC中,求证A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.
证明(充分性)
在△ABC中,A+B+C=180°.
∵B=60°,
∴A+C=120°.
∴A+C=2B.
∴A,B,C成等差数列.
探究一
探究二
思维辨析
(必要性)
∵A,B,C成等差数列,
∴A+C=2B.
又A+B+C=180°,
∴3B=180°.
∴B=60°.
故A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.
探究一
探究二
思维辨析
考虑不周致误
【典例】
“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
易错分析本题常见的错解有两个,一个是由于对充分条件、必要条件的定义理解不透,导致判断结论错误;另一个是由于对问题中的相关数学知识“截距”“斜率”等理解不深,考虑不全面导致判断结果出错,这是主要错误所在.
探究一
探究二
思维辨析
解析:若直线l的斜率等于-2,则直线l在y轴上的截距一定是它在x轴上的截距的2倍;但当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍时,其斜率不一定等于-2.因为直线l可以经过原点,此时斜率可以为任意值.所以“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的必要不充分条件.故选B.
答案:B
纠错心得本题以直线的斜率和截距等概念为载体考查了充分条件与必要条件的推理判断.解题关键是正确理解直线在坐标轴上的截距的概念,同时要对零截距的直线有所认识,当直线经过原点时,它在两坐标轴上的截距均为零,这时可以认为直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,所以在进行充分条件与必要条件的推理判断时,一定考虑周全,避免出错.
探究一
探究二
思维辨析
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
1
2
3
4
5
1.对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),下列结论正确的是( )
①Δ=b2-4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件;
②Δ=b2-4ac=0是函数f(x)有零点的充分条件;
③Δ=b2-4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件;
④Δ=b2-4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件.
A.①③④
B.①②③
C.①②③④
D.①②④
1
2
3
4
5
解析:
答案:D
1
2
3
4
5
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
1
2
3
4
5
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
1
2
3
4
5
答案:充要
1
2
3
4
5
5.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
证明(充分性)因为ac<0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,
故一元二次方程一定有两个不等实根,设为x1,x2,则x1x2=
<0,
所以一元二次方程的两根异号.
即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.
(必要性)由于一元二次方程有一个正根和一个负根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系,得x1x2=
<0,即ac<0.
综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.(共28张PPT)
§3
全称量词与存在量词
1.全称量词、全称命题
名师点拨1.全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”等.
2.有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.
3.全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称命题是假命题,只需列举出一个x∈M,使得p(x)不成立即可.
2.存在量词、特称命题
名师点拨1.特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词有“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”等.
2.特称命题的真假判断:要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x,使得命题p(x)成立即可;否则这一命题就是假命题.
3.全称命题与特称命题的区别
(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.
(2)特称命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.
特别提醒通过举例验证的方式说明全称命题为真命题是容易出现的错误,注意规避.
【做一做1】
(1)命题“有些长方形是正方形”中含有的量词是 ,该量词是 量词(填“全称”或“存在”),该命题是 命题(填“全称”或“特称”).?
(2)命题“负数没有对数”中省略的量词是 ,这是一个 命题(填“全称”或“特称”).?
答案:(1)有些 存在 特称 (2)所有的 全称
【做一做2】
下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个θ,使tan
θ=tan(90°-θ)
C.对一切θ,使sin
θ=sin(180°-θ)
D.sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β
解析:只有A,B两个选项中的命题是特称命题,因为|sin
x|≤1,所以sin
x=
不成立,故B中命题为假命题.又因为当θ=45°时,tan
θ=tan(90°-θ),故A中命题为真命题.
答案:A
3.全称命题与特称命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题.
(2)特称命题的否定是全称命题.
名师点拨1.写出一个全称命题或特称命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.
2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反.
【做一做3】
(1)“至多有三个”的否定是 .?
(2)命题:任意的实数x,sin
x≤1的否定是 .?
(3)命题:存在有理数x,x2=5的否定是 ?,它是 命题(填“真”或“假”).?
答案:(1)最少有四个 (2)存在实数x,sin
x>1
(3)任意的有理数x,x2≠5 真
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( )
(2)同一个特称命题的表达形式是唯一的.( )
(3)全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是全称命题.( )
(4)从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”的同时否定.( )
(5)全称命题与其否定的真假可以相同.( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
判断下列命题是全称命题还是特称命题.
(1)所有的常数数列都是等比数列;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(4)有一个函数,既是奇函数,又是偶函数;
(5)质数都是奇数.
分析看命题中是否含有全称量词或存在量词.若含有相关量词,则根据量词确定命题是全称命题还是特称命题;若没有,则要结合命题的具体意义进行判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)含有全称量词“所有的”,故是全称命题.
(2)含有存在量词“有些”,故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.
(4)含有存在量词“有一个”,故是特称命题.
(5)省略了全称量词“所有的”,故是全称命题.
反思感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的方法:
(1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.
(2)当命题中不含量词时,要注意根据命题含义的实质进行判断.
(3)全称命题有时可能会省略全称量词,但特称命题的量词一般不能省略.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1下列命题中,是全称命题的是 ,是特称命题的是 .(填序号)?
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
解析:①②③是全称命题,④是特称命题.
答案:①②③ ④
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
判断下列命题的真假.
(1)任意直线都存在斜率;
(2)存在实数θ,使得sin(π-θ)=-sin
θ;
(3)存在等差数列,其前n项和Sn=n2+2n-1;
(4)任意的实数x,sin
x+cos
x≥-1;
(5)存在实数x,x2-2x+3<0.
分析先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再根据相应命题真假性判断的方法进行判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)是全称命题,由直线斜率的定义知,倾斜角等于90°的直线不存在斜率,故该命题为假命题.
(2)是特称命题,由于sin(π-θ)=sin
θ=-sin
θ,因此sin
θ=0,这时θ=kπ(k∈Z),即当θ=kπ(k∈Z)时,满足sin(π-θ)=-sin
θ,故该命题是真命题.
(5)是特称命题,因为对任意x∈R,x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,所以不存在x∈R,使x2-2x+3<0,故该命题为假命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟全称命题与特称命题的真假判断的技巧
(1)全称命题的真假判断:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可.
(2)特称命题的真假判断:要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2给出下列命题:①有一个实数x,使tan
x无意义;②任意实数x,3-x+1>2;③所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径;④存在实数x,sin
x-cos
x=
.其中真命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
写出下列各个命题的否定.
(1)一切分数都是有理数;
(2)有些实数的绝对值是正数;
分析先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再按照规则写出相应的否定.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3写出下列含有量词的命题的否定,并判断真假.
(1)所有矩形的对角线相等.
(2)存在实数m,x2+x+m=0的两根都是正数.
解(1)有的矩形的对角线不相等.假命题.
(2)对任意实数m,x2+x+m=0的两根不都是正数.真命题.
假设x2+x+m=0的两根x1,x2都是正数,
所以不存在实数m,使x2+x+m=0的两根都是正数.
所以命题的否定为真命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对全称量词或存在量词的意义理解有误而致错
【典例】
f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0).对任意的x∈[-1,2],存在x0∈[-1,2],使f(x)=g(x0),则实数a的取值范围是( )
易错分析本题的常见错解是由题意推出函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集,原因是对全称量词与存在量词意义的理解出现错误而导致的.
解析:由于函数f(x)在定义域[-1,2]内是任意取值的,且必存在x0∈[-1,2]使得f(x)=g(x0),
因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集.
函数f(x)的值域是[-1,3],函数g(x)的值域是[2-a,2+2a],则有2-a≤-1,且2+2a≥3,即a≥3.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得应用全称命题与特称命题求参数范围应注意:
1.全称命题的常见题型是“恒成立”问题,当全称命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以代入,也可以根据函数或不等式等数学知识来解决.
2.特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定的假设,再从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练若命题“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,则实数m的取值范围为 .?
解析:若命题“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定为真命题,即“对任意x∈R,都有x2+2x+m>0”是真命题,则Δ=4-4m<0,所以m>1.所以m的取值范围为(1,+∞).
答案:(1,+∞)
1
2
3
4
5
1.下列命题不是特称命题的是( )
A.有些实数的平方可以等于零
B.存在x<0,使x2<0
C.至少有一个三角函数的周期是2π
D.二次函数是偶函数
解析:二次函数是偶函数意思是所有的二次函数都是偶函数,故此命题是全称命题,不是特称命题.
答案:D
1
2
3
4
5
2.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )
A.存在x∈R,使得f(x)>0成立
B.存在x∈R,使得f(x)≤0成立
C.任意x∈R,f(x)>0成立
D.任意x∈R,f(x)≤0成立
解析:“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是存在x∈R,使得f(x)>0成立,故选A.
答案:A
1
2
3
4
5
3.已知命题p:“任意x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“存在x∈R,使x2+2ax+2-a=0”.若命题p与q都是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤-2或a=1}
B.{a|a≥1}
C.{a|a≤-2或1≤a≤2}
D.{a|-2≤a≤1}
解析:由题意知p:a≤1,q:a≤-2或a≥1.因为p,q均为真命题,所以a≤-2或a=1.
答案:A
1
2
3
4
5
4.命题“有些数列既是等差数列又是等比数列”的否定是 .?
答案:任何数列都不能既是等差数列又是等比数列
1
2
3
4
5
5.指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0;
(2)存在T∈R,使|sin(x+T)|=|sin
x|;
(3)存在x∈R,x2+1<0.
解(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题.
(2)是特称命题,当T=π时,|sin(x+T)|=|sin
x|,
故该命题为真命题.
(3)是特称命题,因为对任意的x∈R,都有x2+1>0,故该命题为假命题.(共30张PPT)
§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
1.用逻辑联结词构成新命题
名师点拨1.对于逻辑联结词“且”“或”“非”,可以分别结合集合中的“交集”“并集”“补集”来进行理解.
2.简单命题与复合命题:不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题,因此就有“p∨q”“p∧q”“?p”形式的复合命题,其中p,q是简单命题,由简单命题构成复合命题的关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”的理解.
特别提醒一个命题的否定与命题的否命题不同,以下从三个角度分析二者的区别.
(1)概念:命题的否定是直接对命题的结论进行否定;而否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定.
(2)构成:原命题“若a,则b”的否定是“若a,则?b”;而其否命题为“若?a,则?b”.
(3)真假:命题p与其否定?
p的真假性相反;而命题p与其否命题的真假性没有直接联系.
【做一做1】
指出下列各个命题分别运用了哪个逻辑联结词.
(1)函数f(x)=sin
x+3不是周期函数;
(2)a2+b2≥2ab;
(3)有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形.
解(1)非.(2)或.(3)且.
2.含逻辑联结词的命题的真假判断
名师点拨注意以上真值表的逆用:当p∧q为真时,p和q都必须是真命题;当p∨q为真时,p和q中至少有一个是真命题;当p∨q为假时,p和q都必须是假命题;当p∧q为假时,p和q中至少有一个是假命题.
【做一做2】
下列命题中,是真命题的是( )
A.1≥6
C.方程x3-3x=0没有无理根
D.4既是8的约数又是16的倍数
答案:B
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)逻辑联结词只能出现在命题的结论中.( )
(2)命题的否定就是该命题的否命题.( )
(3)命题p∨(?p)一定是真命题.( )
(4)若p∨q是假命题,则p一定是假命题.( )
(5)“x∈A∪B”的否定是“x?A且x?B”.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例1】
分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“?p”形式的复合命题.
(1)p:π是无理数,q:e不是无理数;
(2)p:周长相等的两个三角形全等,q:面积相等的两个三角形全等;
(3)p:方程x2+4x+3=0有两个相等的实数根,q:方程x2+4x+3=0有两个负实数根.
分析先确定两个简单命题p,q,再根据逻辑联结词的含义写出新命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)p∨q:π是无理数或e不是无理数.
p∧q:π是无理数且e不是无理数.
?p:π不是无理数.
(2)p∨q:周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.
p∧q:周长相等的两个三角形全等且面积相等的两个三角形全等.
?p:存在周长相等的两个三角形不全等.
(3)p∨q:方程x2+4x+3=0有两个相等的实数根或有两个负实数根.
p∧q:方程x2+4x+3=0有两个相等的实数根且有两个负实数根.
?p:方程x2+4x+3=0没有两个相等的实数根.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.用逻辑联结词构造新命题的两个步骤:
(1)确定两个简单命题p,q;
(2)分别用逻辑联结词“且”“或”“非”将p和q联结起来,即得新命题.
2.用逻辑联结词“且”“或”“非”联结两个命题,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词,选择合适的联结词,有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形.
3.辨别复合命题的构成形式时,应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义,确定复合命题的形式,准确理解语义应注意抓住一些关键词,如“是……也是……”“兼”“不但……而且……”“既……又……”“要么……,要么……”等.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1指出下列命题的构成形式,以及构成它的简单命题.
(1)1是质数或合数.
(2)他是运动员兼教练;
(3)不等式|x-2|≤0没有实数解.
解(1)这个命题是“p∨q”形式,其中p:1是质数,q:1是合数.
(2)这个命题是“p∧q”形式,其中p:他是运动员,q:他是教练.
(3)这个命题是“?p”形式,其中p:不等式|x-2|≤0有实数解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例2】
分别指出由下列简单命题所构成的“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命题的真假.
(1)p:2是奇数,q:2是合数;
(2)p:函数f(x)=3x-3-x是偶函数,q:函数f(x)=3x-3-x是增函数;
(3)p:点(1,2)在直线2x+y-4=0上,q:点(1,2)不在圆x2+(y-3)2=2上;
(4)p:不等式x2-x+2<0没有实数解,q:函数y=x2-x+2的图像与x轴没有交点.
分析先分析判断出每个简单命题的真假,再结合真值表得到每个复合命题的真假.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)因为p是假命题,q是假命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是假命题,
?p是真命题.
(2)因为p是假命题,q是真命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是真命题,?p是真命题.
(3)因为p是真命题,q是假命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是真命题,?p是假命题.
(4)因为p是真命题,q是真命题,
所以p∧q是真命题,p∨q是真命题,?p是假命题.
反思感悟判断“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命题真假的步骤:
第一步,确定复合命题的构成形式;
第二步,判断简单命题p,q的真假;
第三步,根据真值表作出判断.
其中特别要注意:一真“或”为真,一假“且”即假.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“?
p”形式的命题的真假.
(1)p:梯形有一组对边平行;q:梯形有一组对边相等;
(2)p:1是方程x2-4x+3=0的根;q:3是方程x2-4x+3=0的根;
(3)p:不等式x2-2x+1>0的解集为R;q:不等式x2-2x+2≤1的解集为?.
解(1)因为p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题,p∨q是真命题,?p是假命题.
(2)因为p和q均是真命题,所以p∧q是真命题,p∨q是真命题,
?
p是假命题.
(3)因为p和q均是假命题,所以p∧q是假命题,p∨q是假命题,
?
p是真命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】
(1)写出下列命题的否定形式:
①p:大于1的数是正数;
②q:抛物线y=(x+1)2的顶点坐标为(-1,0);
③r:10<9;
④s:若m2+n2+p2=0,则m,n,p全为0.
分析(1)按照命题否定的定义进行改写,注意常见词语的否定形式,如果是“若p,则q”的形式,那么只否定其结论;(2)可以有两种思路:一是直接将?p,
?
q的范围写出来,通过集合间的包含关系进行判断,二是判断p与q的关系,利用等价关系得到?
p是?
q的什么条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解(1)①?p:大于1的数不是正数.
②?q:抛物线y=(x+1)2的顶点坐标不是(-1,0).
③?r:10≥9.
④?s:若m2+n2+p2=0,则m,n,p不全为0.
(2)(方法1)因为x2-2x-3>0?x>3或x<-1,
所以?p:-1≤x≤3.
所以?q:-2≤x≤3.
因为{x|-1≤x≤3}?{x|-2≤x≤3},
所以?p是?q的充分不必要条件.
(方法2)因为p:x2-2x-3>0?x>3或x<-1,
所以p是q的必要不充分条件,故?p是?q的充分不必要条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟若p是q的充分不必要条件,即p?q,q不能推出p,则由原命题与其逆否命题的等价性可知,?q??p,
?
p不能推出?
q,所以?
p是?
q的必要不充分条件;同理,若p是q的必要不充分条件,则?
p是?
q的充分不必要条件;若p是q的充要条件,则?p是?q的充要条件.因此在判断?p与?q之间的关系时,可以借助下表进行恰当地转化,简化解题过程.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3(1)命题“1解析:(1)命题“16”.
(2)因为p:x2-4x>0?x>4或x<0,q:
>2?x>4,所以p是q的必要不充分条件,故?p是?q的充分不必要条件.
答案:(1)m≤1或m>6 (2)充分不必要
探究一
探究二
探究三
思维辨析
根据命题的真假求参数的取值范围
【审题策略】
应先将命题p,q为真时,相应m的范围求出来,再根据p∧q为假,p∨q为真确定p,q的真假性,最后建立不等式组求得m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【答题模板】第1步:求出当命题p为真命题时,参数m的取值范围.
?
第2步:求出当命题q为真命题时,参数m的取值范围.
?
根据命题p∧q,p∨q的真假情况确定命题p,q的真假.
?
由命题p,q的真假,通过解不等式组求得参数m的取值范围.
?
将两种情况下得到的m的取值范围合并,写出题目的解答结果.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的主要原因如下:
(1)不能正确地将命题p,q为真时,相应m的取值范围求出来;
(2)不能准确地由p∧q为假,p∨q为真推断命题p,q的真假性的两种情形,只得到其中的一种情况;
(3)由命题p,q的真假性建立不等式组时出现错误,或解不等式组出现错解;
(4)没有将两种情形下得到的m的取值范围进行合并化简.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知命题p:关于x的不等式x2+(a-1)x+1≤0的解集为空集;命题q:函数f(x)=ax2+ax+1没有零点,若命题p且q为假命题,p或q为真命题,求实数a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解对于命题p:因为x2+(a-1)x+1≤0的解集为空集,
所以Δ=(a-1)2-4<0,解得-1故p真:-1对于命题q:f(x)=ax2+ax+1没有零点,等价于方程ax2+ax+1=0没有实数根,
①当a=0时,方程无实根,符合题意.
②当a≠0时,Δ=a2-4a<0,解得0所以0≤a<4.
故q真:0≤a<4,q假:a<0或a≥4.
由命题p且q为假命题,p或q为真命题可知,命题p与命题q有且只有一个为真.
若p真q假,则-1综上可知,实数a的取值范围是(-1,0)∪[3,4).
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1.有下列命题:
①2012年10月1日是国庆节,又是国际音乐日;
②6的倍数一定是3的倍数;
③2是偶数或3不是质数;
④方程x2=1的解是x=±1.
其中使用逻辑联结词的命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:①中使用了逻辑联结词“且”;②中没有使用逻辑联结词;③中使用了逻辑联结词“或”;④中使用但省略了逻辑联结词“或”.
答案:C
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2.若(?p)∧q是假命题,则p,q的真假情况不能是( )
A.p真,q真
B.p真,q假
C.p假,q真
D.p假,q假
解析:因为(?p)∧q是假命题,所以?p,q不都是真命题,即不能是p假,q真.
答案:C
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3.已知命题p:不等式x2+x+1≤0的解集为R,命题q:不等式
≤0的解集为{x|1解析:∵任意x∈R,x2+x+1>0,∴命题p为假,?p为真.
∴命题q为真,?q为假,故p∨q为真,p∧q为假.
答案:?p p∨q
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4.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1>0的解集是R;②函数f(x)=logmx是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题,那么实数m的取值范围是 .?
解析:若①是真命题,则m≥0.若②是真命题,则0答案:m=0或m≥1(共35张PPT)
模块复习课
第1课时 常用逻辑用语
知识网络
要点梳理
填一填:
①逆命题
②逆否命题
③充要
④p∧q
⑤p∨q
⑥全称命题
⑦特称命题
知识网络
要点梳理
1.命题的概念
能够判断真假的陈述句叫作命题,其中判断为真的命题叫真命题,判断为假的命题叫假命题.
2.命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价(同真或同假);互逆或互否的两个命题真假性没有关系.
知识网络
要点梳理
3.充分条件、必要条件与充要条件
知识网络
要点梳理
4.含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题真假性的判断(见下表):
知识网络
要点梳理
5.全称量词与全称命题
(1)全称量词:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫作全称量词,并用符号“?”表示.
(2)全称命题:含有全称量词的命题.
(3)全称命题的符号表示:
形如“对M中的所有x,p(x)”的命题,用符号简记为“?x∈M,p(x)”.
知识网络
要点梳理
6.存在量词与特称命题
(1)存在量词:短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫作存在量词,并用符号“?”表示.
(2)特称命题:含有存在量词的命题.
(3)特称命题的符号表示:
形如“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题,用符号简记为?x∈M,q(x).
(4)全称命题与特称命题的否定
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)“sin
45°=1”是真命题.( )
(3)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则?q”.( )
(4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )
(5)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(6)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( )
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要点梳理
(7)命题p和?p不可能都是真命题.
( )
(8)若p∧q为真,则p为真或q为真.( )
(9)p∧q为假的充要条件是p,q至少有一个为假.( )
(10)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( )
(11)?x∈M,p(x)与?x∈M,?p(x)的真假性相反.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√ (7)√ (8)× (9)√ (10)√ (11)√
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专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 四种命题及其真假判定
【例1】
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.
(1)相等的两个角的正弦值相等;
(2)若x2-2x-3=0,则x=3.
解(1)逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两个角相等.假命题.
否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值不相等.假命题.
逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等.真命题.
(2)逆命题:若x=3,则x2-2x-3=0.真命题.
否命题:若x2-2x-3≠0,则x≠3.真命题.
逆否命题:若x≠3,则x2-2x-3≠0.假命题.
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反思感悟1.写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的步骤
(1)对条件、结论不明显的命题,可以先将命题改写成“若p,则q”的形式;
(2)对命题的条件和结论进行互换和否定,即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题.
2.四种命题真假的判断方法
因为互为逆否命题的真假等价,所以判断四个命题的真假,只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可.
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变式训练1已知下面四个命题:
①命题“若x-3=0,则x-3≤0”的逆否命题;
②命题“已知非零向量a,b,若a·b=0,则a⊥b”的逆命题;
③“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件;
④已知p,q为两个命题,若p∨q为假命题,则(?p)∧(?q)为真命题.
其中所有真命题的序号是 .?
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解析:①∵x-3=0?x-3≤0,∴原命题为真命题.
∴逆否命题为真命题.
②逆命题:已知非零向量a,b,若a⊥b,则a·b=0,为真命题.
椭圆焦点在y轴上,反之亦成立.所以“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件.∴为假命题.
④∵p∨q为假命题,∴p与q均为假命题.∴?p,?q为真命题,一定有(?p)∧(?q)为真命题,故为真命题.
综上可知,命题①②④为真命题.
答案:①②④
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专题二 充分条件、必要条件的判断及应用
【例2】
(1)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )
(3)“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是( )
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解析:(1)若a·b=|a||b|,则a与b的方向相同,所以a∥b.若a∥b,则a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件,故选A.
(2)由a⊥b知a·b=0,即2(x-1)+2=0,所以x=0.
而当x=0时,a=(-1,2),b=(2,1),必有a⊥b,所以a⊥b的充要条件是x=0.
(3)要使不等式x2-2ax+a>0的解集为R,应有Δ=(-2a)2-4a<0,即4a2-4a<0,所以00的解集为R”的充要条件,因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.
答案:(1)A (2)D (3)C
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反思感悟1.充分条件与必要条件的判断方法
(1)直接利用定义判断:即若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)利用等价命题的关系判断:p?q的等价命题是?q?
?
p,即若?
q?
?
p,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
2.充分条件、必要条件和充要条件的应用
此类问题是已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件,来求某个字母的值或取值范围,涉及的数学知识主要是不等式问题,根据相应知识列不等式(组)求解.
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变式训练2已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若p是q的充分不必要条件,则正实数a的取值范围是 .?
解析:A={x|x2-8x-20>0}={x|x<-2或x>10},∵a>0,∴B={x|x2-2x+1-a2>0}={x|x<1-a或x>1+a}.由p是q的充分不必要条件,可知A?B,
答案:(0,3]
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专题三 全称命题与特称命题
【例3】
判断下列命题是全称命题还是特称命题,用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性.
(1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1;
(2)任何一条直线都存在斜率;
分析找准量词判断是全称命题还是特称命题,写它们的否定时要注意量词的变化,真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理.
解(1)特称命题,否定:?α∈R,sin2α+cos2α=1,真命题.
(2)全称命题,否定:?直线l,l没有斜率,真命题.
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反思感悟1.全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出反例.
(2)判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命题,要有严格的逻辑证明.
2.含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.否定时既要改写量词,又要否定结论.
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变式训练3下列命题的假命题是( )
A.?x∈R,lg
x=0
B.?x∈R,tan
x=1
C.?x∈R,x3>3
D.?x∈R,2x>0
解析:∵当x=1时,lg
1=0,∴A是真命题.
∵当x<0时,x3<0,∴C是假命题.
由指数函数的性质可知,对?x∈R,2x>0成立,∴D是真命题.
答案:C
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分析先由“p或q”为真,“p且q”为假,得到p与q一真一假,再转化为集合间的关系求解.
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反思感悟所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时,采用某种手段将问题通过变换、转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.一般是将复杂的问题进行变换,转化为简单的问题,将较难的问题通过变换,转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.
本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化,使复杂问题简单化,抽象问题具体化.
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变式训练4已知命题r:sin
x+cos
x>m,s:x2+mx+1>0,如果对任意x∈R,r为假命题且s为真命题,求实数m的取值范围.
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考点一 四种命题及其关系
1.(2015山东高考)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
解析:原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
答案:D
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2.(2014陕西高考)原命题为“若
A.真,真,真
B.假,假,真
C.真,真,假
D.假,假,假
所以原命题及其逆命题均为真命题,从而其否命题及其逆否命题也均为真命题,故选A.
答案:A
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考点二 充分条件、必要条件的判断
3.(2016四川高考)设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由题意,x>1且y>1,则x+y>2,而当x+y>2时不能得出x>1且y>1.故p是q的充分不必要条件,选A.
答案:A
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4.(2016山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选A.当“直线a和直线b相交”时,“平面α和平面β相交”成立,当“平面α和平面β相交”时,“直线a和直线b相交”不一定成立,故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件,故选A.
答案:A
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5.(2016北京高考)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由|a|=|b|无法得到|a+b|=|a-b|,充分性不成立;由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,也无法得到|a|=|b|,必要性不成立.故选D.
答案:D
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考点三 逻辑联结词及其应用
6.(2013湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A.(?p)∨(?
q)
B.p∨(?
q)
C.(?
p)∧(?
q)
D.p∨q
解析:依题意,“至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没有或者乙没有降落在指定范围”,应该使用“非”与“或”联结,即可表示为(?
p)∨(?
q).
答案:A
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7.(2014重庆高考)已知命题
p:对任意x∈R,总有2x>0;
q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,
则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.(?
p)∧(?
q)
C.(?
p)∧q
D.p∧(?
q)
解析:根据指数函数值域为(0,+∞),得p为真命题;而“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题.根据复合命题的真假规律,可得p∧(?
q)为真命题,故选D.
答案:D
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考点四 全称命题与特称命题
8.(2016浙江高考)命题“?x∈R,?n∈N
,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.?x∈R,?n∈N
,使得nB.?x∈R,?n∈N
,使得nC.?x∈R,?n∈N
,使得nD.?x∈R,?n∈N
,使得n解答:由含量词命题的否定格式,可知首先改写量词,而n≥x2的否定为n答案:D
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p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1,
其中的真命题是( )
A.p2,p3
B.p1,p2
C.p1,p4
D.p1,p3
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解析:画出可行域如图阴影部分所示.
作直线l0:y=-
x,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.
答案:B