沪科版八下数学17.4一元二次方程根与系数的关系 课件（20张）

17.4一元二次方程的
根与系数的关系
韦达
（1）x2-7x+12=0
(2)x2+3x-4=0
(4) 2x2+3x-2=0
解下列方程并完成填空：
方程
两根
两根和
X1+x2
两根积
x1x2
x1
x2
x2-7x+12=0
x2+3x-4=0
3x2-4x+1=0
2x2+3x-2=0
3
4
12
7
1
-3
- 4
- 4
-1
-
-2
（3）3x2-4x+1=0
1
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
的两根为x1、x2, 则
.
.
如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ，X2，那么
X1+X2= , X1X2= .
－P
q
( 1 )
( 2 )
一元二次方程的根与系数的关系：
X1+x2=
+
=
=
-
X1x2=
●
=
=
=
证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏写。
一元二次方程根与系数的关系是
法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0
(3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 = 4
(2) 2x2 - 3x + =0
x1+x2=2
x1x2=-1
x1+x2=
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=
x1x2=0
x1x2= -
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值.
解法一：
设方程的另一个根为x2.
由根与系数的关系，得
2 ＋ x2 = k+1
2 x2 = 3k
解这方程组，得
x2 =－3
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值。
解法二：
设方程的另一个根为x2.
把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2
由根与系数的关系，得2 x2＝3k
即2 x2＝－6
∴ x2 ＝－3
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（1） ; （2) ;
; (4) .
另外几种常见的求值:
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，
求它的另一个根及m的值。
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.
解：设方程的另一个根为x2,
则x2+1= ,
∴ x2= ,
又x2●1= ,
∴ m= 3x2 = 16
解：
由根与系数的关系,得
x1+x2= - 2 , x1 · x2=
∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=
4
1
14
12
则：
＝
＝
4.已知方程　　　　　　　　的两个实数根
是　　　且　　　　　 ， 求k的值.
解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k， x1x2=k+2
又 x12+ x2 2 = 4
即(x1+ x2)2 -2x1x2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0

∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △=-8＜0
∴k=4(舍去）
当k=-2时，△=4＞0
∴ k=-2
解得：k=4 或k=－2
2、熟练掌握根与系数的关系；
3、灵活运用根与系数关系解决问题.
1.一元二次方程根与系数的关系？
小结：
练习1
已知关于x的方程
当m= 时,此方程的两根互为相反数.
当m= 时,此方程的两根互为倒数.
－1
1
分析:1.
2.
以 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
二、　已知两根求作新的方程
练习:
1.以2和 －３为根的一元二次方程
（二次项系数为１）为：　　　　　　　　　　　　　　　　
题6 　已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。
2和-1
解法(一):设两数分别为x,y则:
{
解得:
x=2
　y=－1
{
或
ｘ＝－1
y=2
{
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程
的两根则:
求得
∴两数为2,－１
三　已知两个数的和与积，求两数　
题7 如果－1是方程
的一个根，则另一个根是___ｍ=____。
（还有其他解法吗？)
-3
四　求方程中的待定系数
一正根，一负根
△＞0
X1X2＜0
两个正根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0
两个负根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
{
{
{