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2012年高考数学百所名校备考(新课标)
模拟试题02（学生版）
【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第16、17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。
试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)已知全集 集合,，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A． B．
C． D．
2. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考)已知向量=，=，若⊥，则( )
A． B． C． D．
3. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试)已知，，则等于( )
A. B. C. D.
4. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科4)是的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
5.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试)设，且，则( )
（A） （B） （C） （D）
6. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试)如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.1 B. C. D.
7. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试)函数的一个零点落在下列哪个区;间 （. ）
(A) (0,1) (B). (1,2) (C). (2,3) (D). (3,4)
8. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测)在△ABC中，若则△ABC是( )
A．等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
9. (山东省临沂市2012年3月高三一模)为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了位老年人，结果如下：
参照附表，得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”；
B.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”；
C.最多有的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”
D.最多有的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”
10. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数
① ② ③ ④，[来源:21世纪教育网]
其中是一阶整点函数的是( )
A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）21世纪教育网
11.(理科)(吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科) .
(文科) (广东省汕头市2012届高三教学质量测评文)设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则 .
12.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考)若复数满足（是虚数单位），则 .
13. (江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟4)袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .
14. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试)某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的值为
15．(山东省临沂市2012年3月高三一模文科16)下面四个命题：
①已知函数，在区间上任取一点，则使得的概率为
②函数的图象向左平移个单位得到函数的图象；
③命题“”的否定是“”；
④若函数是定义在上的奇函数，且，则.
其中所有正确命题的序号是__ __.
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)（本小题满分12分）
已知向量，，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的单调递增区间；
（3）说明的图象可以由的图象经过怎样的变换而得到．
17．(理科)(广州省广州市普通高中2012年3月高三综合测试一理科)（本小题满分12分）
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中[来源:21世纪教育网]
的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．
已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．
（1）求的值；
（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；
（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学
成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和均值（数学期望）．
17．(文科)(广州省广州市普通高中2012年3月高三综合测试一文科)（本小题满分12分）[21世纪教育网
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图4的频率分布直方图．21世纪教育网
（1）求图中实数的值；[来源:21世纪教育网]
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
18.(理科)(吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科)（本小题满分12分）
如图，正方形与直角梯形所在平面
互相垂直，，，.
⑴求证：平面；
⑵求平面与平面所成角的正切值.
18．(文科)(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考)（本小题满分12分）
在直三棱柱中，AC=4,CB=2,AA1=2，，E、F分别是
的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）证明：平面ABE；
（3）设P是BE的中点，求三棱锥的体积．
19.(湖北省黄冈中学2012年2月高三调研)（本小题满分12分）已知数列的前n项和满足(a>0，且)。数列满足
（1）求数列的通项。
（2）若对一切都有，求a的取值范围。
20. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考)（本小题满分13分）
已知是定义在上的奇函数，当时
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数，使得当的最小值是4？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
（第1题图）
甲组
乙组
8
9
7
a
3
5
7
9
6
6
（分数）
0 40 50 60 70 80 90 100
频率
组距
0.010
0.005
0.020
图4
0.025
a
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2012年高考数学百所名校备考(新课标)
模拟试题02（教师版）
【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第16、17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。
试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)已知全集 集合,，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】阴影部分的元素且，即,选项D符合要求．
2. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考)已知向量=，=，若⊥，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为⊥，所以,解得,所以,选B.
3. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试)已知，，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，，.
4. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科4)是的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题主要考查简易逻辑中充分必要条件的判断。
当，则成立，但是得到不一定可以推出因此是的充分不必要条件。
5.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试)设，且，则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】因为，且，所以。
6. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试)如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.1 B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为，高为1，体积为.
7. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试)函数的一个零点落在下列哪个区;间 （. ）
(A) (0,1) (B). (1,2) (C). (2,3) (D). (3,4)
8. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测)在△ABC中，若则△ABC是( )
A．等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
9. (山东省临沂市2012年3月高三一模)为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了位老年人，结果如下：
参照附表，得到的正确结论是( )21世纪教育网
A.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”；
B.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”；
C.最多有的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”
D.最多有的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”
【答案】A
【解析】所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”.
10. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数
① ② ③ ④，[来源:21世纪教育网]
其中是一阶整点函数的是( )
A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④
【答案】D
【解析】通过点（1,1），（2,8）等，故不是一阶整点函数；通过点（-1,3），（-2,9）等，故不是一阶整点函数.所以选D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.(理科)(吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科) .
【解析】
，
等于单位圆面积的，，
，
(文科) (广东省汕头市2012届高三教学质量测评文)设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则 .
【答案】1
【解析】由，又点在曲线上，依题意得，
解得．
12.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考)若复数满足（是虚数单位），则 .
【解析】设，由得.
13. (江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟4)袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .
14. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试)某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的值为
【答案】7
【解析】本题主要考查程序框图计算问题.
当；
；
；
；
；
；
；所以最后输出值为7.
15．(山东省临沂市2012年3月高三一模文科16)下面四个命题：
①已知函数，在区间上任取一点，则使得的概率为
②函数的图象向左平移个单位得到函数的图象；
③命题“”的否定是“”；
④若函数是定义在上的奇函数，且，则.
其中所有正确命题的序号是__ __.
【答案】①③④
【解析】②错误，应该向左平移；
①使得的概率为
④
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)（本小题满分12分）
已知向量，，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的单调递增区间；
（3）说明的图象可以由的图象经过怎样的变换而得到．
【解析】（1）∵
………………2分
∴，…………………………………………3分
∴。………………………………………………………4分
（2）由，
解得，……………………………………6分
∵取和且，得和，
∴的单调递增区间为和。……………………………8分
法二：∵，∴，
∴由和， …………………………6分
解得和，
∴的单调递增区间为和。……………………………8分
的图象. …………………………………12分（每一步变换2分）
17．(理科)(广州省广州市普通高中2012年3月高三综合测试一理科)（本小题满分12分）
如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中
的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．
已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．
（1）求的值；
（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；
（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学
成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和均值（数学期望）．
【解析】
（1） 依题意，得， 解得.
（2） 根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为.
所以乙组四名同学数学成绩的方差为.
（3） 分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有种可能的结果．
这两名同学成绩之差的绝对值的所有情况如下表：
87 89 96 96
87 0 2 9 9
93 6 4 3 3
93 6 4 3 3
95 8 6[来源:21世纪教育网] 1 1
所以随机变量的分布列为：21世纪教育网
0 1 2 3 421世纪教育网 6 8 9
随机变量的数学期望为
.
17．(文科)(广州省广州市普通高中2012年3月高三综合测试一文科)（本小题满分12分）
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图4的频率分布直方图．
（1）求图中实数的值；[来源:21世纪教育网]
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
【解析】（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以．
解得．
（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．
在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．21世纪教育网
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：
，，，，，，共7种．
所以所求概率为．
18.(理科)(吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科)（本小题满分12分）
如图，正方形与直角梯形所在平面
互相垂直，，，.
⑴求证：平面；
⑵求平面与平面所成角的正切值.
【解析】⑴证明：方法一.设，取中点，连结，
则∥且＝.∵，，
∴∥且＝，∴是平行四边形，∴.
∵平面,平面,
∴平面，即平面.
方法二.如图建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，
则，而，∴，令，则，，
. ∵， ∴＝0，∴，
而平面，∴平面.
⑵设平面与平面所成二面角的平面角为，由条件知是锐角
由⑴知平面的法向量为.
又平面与轴垂直，
所以平面的法向量可取为
所以，
所以即为所求.
取的中点，连结，则且，
由，∴，
∵是的中点，
∴
19.(湖北省黄冈中学2012年2月高三调研)（本小题满分12分）已知数列的前n项和满足(a>0，且)。数列满足
（1）求数列的通项。21世纪教育网
（2）若对一切都有，求a的取值范围。
【解析】（1）由题意可知当时，
当时， （1）
（2）
用（1）式减去（2）式得：
所以数列是等比数列 所以）
（2）因为所以
当对一切都有 即有
（1）当有当对一切都成立所以
（2）当 有当对一切都成立所以有
综合以上可知或
20. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考)（本小题满分13分）
已知是定义在上的奇函数，当时
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数，使得当的最小值是4？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．[来源:21世纪教育网]
【解析】（1）设
是奇函数， …（3分） 又 …（4分）
故函数的解析式为： …（5分）
（2）假设存在实数，使得当
有最小值是 …（6分）
①当或时，
由于故函数上的增函数。
解得（舍去）…（9分）
②当
[来源:21世纪教育网]
— +
↘ ↗
解得ks*5 …（12分）u
综上所知，存在实数，使得当最小值4。…（13分）
21.(浙江省2012年2月三校联考高三) (本题满分14分) 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.
若直线的斜率为1,求的长;
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.
【解析】(1)由题意,可设抛物线方程为. …………1分
由,得. …………2分
抛物线的焦点为,. …………3分
抛物线D的方程为. …………4分
(2)设,.
直线的方程为：, …………5分
联立,整理得: …………6分
=.…………8分
(ⅱ) 设存在直线满足题意,则圆心,过作直线的垂线,
开始
i=1,s=0
s=s+2 i -1
s≤100
i= i +1
输出i
结束
是
否
甲组
乙组
8
9
7
a
3
5
7
9
6
6
甲
乙
X
（分数）
0 40 50 60 70 80 90 100
频率
组距
0.010
0.005
0.020
图4
0.025
a
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