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2012年高考数学百所名校备考(新课标)
模拟试题04（学生版）
【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第16、17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。
试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.(浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科1)设集合,则（ ）
2.(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文1)复数的虚部是（ ）
A． B． C． D． 21世纪教育网
3.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科4)
“”是“”的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
5. (山东省临沂市2012年3月高三一模文科6)若执行如图所示的框图，输入，则输出的数等于（ ）
A. B. C. D.
6. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科6)已知
实数满足则的最大值是（ ）
A． B． C． D.
7. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测文科8)已知、、为三条
不重合的直线，下面有三个结论：①若则∥；
②若则；③若∥则. 其中正确的个数
为（ ）
A．个 B．个 C． 个 D． 个
8. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理7)函数的一个零点落在下列哪个区;间 （ ）21世纪教育网
(A) (0,1) (B). (1,2) (C). (2,3) (D). (3,4)
9． (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科9)在边长为6的正中，点满足则等于（ ）
10．(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考理科9)已知函数的零点，其中常数满足，，则等于（ ）
A． B. C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考
生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。
11.(福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科11)已知等差数列中, ,,则 .
12. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科14)已知点在直线上，则的最小值为 .
13. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文16)在三棱锥A-BCD中， AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为 .
14．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文14)（坐标系与参数方程选做题）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ．
15．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文15)（几何证明选讲选做题）已知是的切线，切点为，直线交于、两点，，，则的面积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(安徽省“皖北协作区”2012届高三下学期联考理科)(本小题满分12分)
为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男生 5
女生 10 21世纪教育网
合计 50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
（2）是否有99.5％的把握认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为X，求X的分布列与期望.
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635[来源:21世纪教育网] 7.879 10.828
(参考公式：，其中)
16.(文科)(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文16)（本小题满分12分）
已知集合，，
（1）在区间上任取一个实数，求“”的概率；
（2）设为有序实数对，其中是从集合中任取的一个整数，是从集合中任取的一个整数，求“”的概率.
17. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试)（本小题满分12分）
等差数列中，，，其前项和为.
⑴求数列的通项公式；
⑵设数列满足，其前n项和为，求证：
18．(浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考)（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，向量
，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的面积为，求．
19．(理科)(浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考理科20)（本小题满分14分）
在长方体中，点是上的动点，点为的中点.
（Ⅰ）当点在何处时，直线//平面，
并证明你的结论；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，求二面角
的大小.
19．(文科)(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文19)（本小题满分14分）
如图，为圆的直径，点、在圆上，∥，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.
（1）求证：平面；
（2）设的中点为，求证：∥平面；
（3）求三棱锥的体积.
20. (山东省临沂市2012年3月高三一模文科21)（本小题满分14分）
设函数
(I) 若与具有完全相同的单调区间，求的值；
(II)若当时恒有求的取值范围.
21. (江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考18) （本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于两点．21世纪教育网
①若，求圆的方程；
②若是上的动点，求证点在定圆上，并求该定圆的方程．
a
a
a
正
（
主
）
视图
俯视图
侧
（
左
）
视图
P
A
B
O
C
（第15题图）
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2012年高考数学百所名校备考(新课标)
模拟试题04（教师版）
【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第16、17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。
试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.(浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科1)设集合,则（ ）
【答案】C
【解析】本题主要考查集合的概念与运算，一元二次不等式的解法.
，，则
2.(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文1)复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，虚部是.特别提醒：不是．
3.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】该几何体为底面是直角边为的等腰直角三角形，
高为的直三棱柱，其体积为。
4. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科4) “”是“”的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得;而由得,故选A.
5. (山东省临沂市2012年3月高三一模文科6)若执行如图所示的框图，输入，则输出的数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由程序框图知
6. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科6)已知
实数满足则的最大值是（ ）
A． B． C． D.
【答案】D
【解析】画图得可行域是圆心角为的扇形，当直线与圆弧相切时取得最大值.所以，
7. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测文科8)已知、、为三条
不重合的直线，下面有三个结论：①若则∥；
②若则；③若∥则. 其中正确的个数
为（ ）
A．个 B．个 C． 个 D． 个
【答案】B
【解析】①b，c可能异面；②b，c可能异面，也可能平行.
8. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理7)函数的一个零点落在下列哪个区;间 （ ）
(A) (0,1) (B). (1,2) (C). (2,3) (D). (3, 4)
【答案】B
【解析】根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果。
解：根据函数的实根存在定理得到f（1） f（2）＜0．故选B
9． (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科9)在边长为6的正中，点满足则等于（ ）
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的运算及数量积计算。
=.
10．(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考理科9)已知函数的零点，其中常数满足，，则等于（ ）
A． B. C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
因此函数的零点问题转化为图象的交点问题。
易知，所以直线与的交点应在轴的左侧，排除C,D.
若，
即这说明选A.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考
生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。
11.(福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科11)已知等差数列中, ,,则 .
【解析】
12. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科14)已知点在直线上，则的最小值为 .
【答案】
【解析】本题主要考查基本不等式问题。
点在直线上，则；
.
13. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文16)在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为 .
14．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文14)（坐标系与参数方程选做题）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ．
【答案】
【解析】先将极坐标化成直角坐标表示，化为，过且平行于x轴的直线为，再化成极坐标表示，即．
法二：在极坐标系中直接构造直角三角形由其边角关系得方程。
15．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文15)（几何证明选讲选做题）已知是的切线，切点为，直线交于、两点，，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】由弦切角定理，，由，得，在中，，，．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(安徽省“皖北协作区”2012届高三下学期联考理科)(本小题满分12分)
为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男生 5
女生 10
合计 50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
（2）是否有99.5％的把握认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为X，求X的分布列与期望.
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式：，其中)21世纪教育网
故的分布列为:
-----------11分
的期望值为: -------12分
16.(文科)(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文16)（本小题满分12分）
已知集合，，
（1）在区间上任取一个实数，求“”的概率；
（2）设为有序实数对，其中是从集合中任取的一个整数，是从集合中任取的一个整数，求“”的概率.
【解析】（1）由已知，，………………2分
设事件“”的概率为，
这是一个几何概型，则。………………………………………5分
（2）因为，且，
所以，，基本事件由下表列出，共个：
共有个结果，即个基本事件：
…………………9分[来源:21世纪教育网]
又因为，
设事件为“”，则事件中包含个基本事件，………11分
事件的概率。………………………………………… 12分
17. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试)（本小题满分12分）
等差数列中，，，其前项和为.
⑴求数列的通项公式；
⑵设数列满足，其前n项和为，求证：
18．(浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考)（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，向量
，且.
（Ⅰ）求的值； [来源:21世纪教育网]
（Ⅱ）若的面积为，求．
【解析】（Ⅰ） ，
，，
…………6分21世纪教育网
（Ⅱ）由，得，
又，
，
当时，；…………10分
当时，. …………12分
19．(理科)(浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考理科20)（本小题满分14分）
在长方体中，点是上的动点，点为的中点.
（Ⅰ）当点在何处时，直线//平面，
并证明你的结论；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，求二面角
的大小.
证明：（Ⅰ）当为的中点时,
∥平面.
所以二面角的大小为；.………… 8分高
又二面角的大小为二面角与二面角大小的和，
19．(文科)(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文19)（本小题满分14分）
如图，为圆的直径，点、在圆上，∥，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.
（1）求证：平面；
（2）设的中点为，求证：∥平面；
（3）求三棱锥的体积.
【解析】解：（1）平面平面，,
平面平面，
平面，
∵平面，∴，………………………………… 2分
又为圆的直径，∴，
∴平面. ………………………………………… 4分
（2）设的中点为，则，又，
则，四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴平面. ……………… 8分
（3）∵面，∴，
到的距离等于到的距离，
过点作于，连结、，
∴为正三角形，
∴为正的高，
∴，…………………………………………………… 11分
∴ ……………………………………… 12分
。………………… 14分
20. (山东省临沂市2012年3月高三一模文科21)（本小题满分14分）
设函数
(I) 若与具有完全相同的单调区间，求的值；
(II)若当时恒有求的取值范围.
21世纪教育网
令，则.
，.
若，则当时，，为增函数，而，
从而当，即；
若，则当时，，为减函数，而，
从而当时，即，则不成立.
综上，的取值范围为.
21. (江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考18) （本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于两点．
①若，求圆的方程；
②若是上的动点，求证点在定圆上，并求该定圆的方程．
②解法（一）：设，
由①知：，
即：，
消去得：=2
点在定圆=2上．
解法（二）：设，
则直线FP的斜率为，
∵FP⊥OM，∴直线OM的斜率为，
∴直线OM的方程为：，
点M的坐标为．
∵MP⊥OP，∴,
∴
∴=2,点在定圆=2上．
P
A
B
O
C
（第15题图）
（第19题图）
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