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2012年高考数学百所名校备考(新课标)
模拟试题05（学生版）
【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。
试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.(福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查)复数等于( )
A． B． C． D．
2.(山东省临沂市2012年3月高三一模)设,,则( )
A. B. C. D.
3.(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)下列各式中错误的是( )
A． B．
C． D．
4. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考)公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试)某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人. 现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会,则选出的高、中、初级教师的人数分别为（ ）
6. (山东省临沂市2012年3月高三一模)已知，“” 是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
7. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试)函数的部分图象如图所示，那么（ ）
8. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )
9. (山东省临沂市2012年3月高三一模)实数满足，若目标函数取得最大值，则实数的值为( )
A. B. C. D.
10．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)已知函数是定义在R上的奇函
数，若对于任意给定的不等实数、，不等式恒成立，则不等
式的解集为（ ）
A． B． C． D．
11. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测) 的离心率是2，则的最小值为( )
A． B. 1 C. D. 2
12. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试) 的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（ ）
(A).(B).(C). 3 (D).21世纪教育网
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.(江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟)某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 .
14.(山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试)阅读右侧的程序框图，输出的结果S的值为_______
15.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考)在中，已知，，则＝ .
16.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试)对于函数，有如下三个命题：
①是偶函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数；
③在区间上是增函数．
其中正确命题的序号是 ．（将你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试) (本小题满分12分）在中，a，6,c分别为角冼5，C的对边，向量
(I)求角B的大小； （II)若a=，b=1,求c的值.
18.(理科) (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科18)（本小题满分12分）
对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组 频数 频率
5 0.25
12
1 0.05
合计 M 1
⑴求出表中、及图中的值；
⑵若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间内的人数；21世纪教育网
⑶学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动次数在区间的学生发放价值80元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值60元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值40元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值20元的学习用品，在所取样本中，任意取出2人，并设为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求的分布列与数学期望.
18. (文科)(山东省济南市2012年2月高三定时练习文科19)（本小题满分12分）
设平面向量＝ （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {-2,-1,1,2}．
（I）记“使得⊥成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率；
（II）记“使得//（-2）成立的（ m，n ）”为事件B，求事件B发生的概率.
19. (理科)(福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科19)（本小题满分12分）
如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，是侧棱上的动点.
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）试求三棱锥的体积取得最大值时的值；
（Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值.
19.(文科)(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文17)（本小题共12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面， 是中点，为线段上一点.21世纪教育网
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由.
20．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)（本小题满分12分）
已知一非零向量列满足：，.
（1）证明：是等比数列；
（2）设是的夹角，=，，求；
（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
21. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试) (本小题满分12分）已知函数.
(1) 求的最小值；[来源:21世纪教育网]
(2) 若对所有都有.，求实数a的取值范围.
22.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试)（本小题共14分）
已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，
，且，证明：直线过定点（）．
F
E
D
B
A
P
C
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2012年高考数学百所名校备考(新课标)
模拟试题05（教师版）
【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。
试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.(福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查)复数等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[来源:21世纪教育网]
2.(山东省临沂市2012年3月高三一模)设,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
3.(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)下列各式中错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数，为增函数，
故A是对；对于B、D，构造对数函数为减函数，为增函数，B、D都正确；
对于C，构造指数函数，为减函数，故C错．
4. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考)公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设公差为,由题意知:,即,解得,所以公比为3,选C.
5. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试)某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人. 现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会,则选出的高、中、初级教师的人数分别为（ ）
【答案】B
【解析】本题主要考查统计中分层抽样.由于分层抽样选出30名教师占总数的，因此选出的高级教师的人数为，选出的中级教师的人数为，选出的初级教师的人数为。因此答案选B.
6. (山东省临沂市2012年3月高三一模)已知，“” 是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
7. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试)函数的部分图象如图所示，那么（ ）
.
8. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )
解析：由三视图可知，该集合体为底面是边长为20的正方形、高为20的四棱锥，
.
9. (山东省临沂市2012年3月高三一模)实数满足，若目标函数取得最大值，则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画出可行域得直线过点时取得最大值，即
10．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)已知函数是定义在R上的奇函
数，若对于任意给定的不等实数、，不等式恒成立，则不等
式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】是奇函数，即其的图象关于点对称，将向右平移1个单位长度，得，故的图象关于点对称，由恒成立，知或，为R上的减函数；又将，不等式即，有，故.
11. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测) 的离心率是2，则的最小值为( )
A． B. 1 C. D. 2
12. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试) 的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（ ）
(A).(B).(C). 3 (D).
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.(江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟)某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 .
【答案】120
【解析】由频率分布直方图可得，得分低于80分的频率为，故得分不低于80分的人数为人.
14.(山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试)阅读右侧的程序框图，输出的结果S的值为_______
15.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考)在中，已知，，则＝ .
【解析】，
同理，
16.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试)对于函数，有如下三个命题：
①是偶函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数；
③在区间上是增函数．
其中正确命题的序号是 ．（将你认为正确的命题序号都填上）
【答案】①②
【解析】：函数和的图像如图所示，由图像可知①②正确；函数，由复合函数的单调性法则，可知函数在区间上是减函数。所以③错。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试) (本小题满分12分）在中，a，6,c分别为角冼5，C的对边，向量
(I)求角B的大小； （II)若a=，b=1,求c的值.
18.(理科) (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科18)（本小题满分12分）
对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组 频数 频率
5 0.25
12
1 0.05
合计 M 1
⑴求出表中、及图中的值；
⑵若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间内的人数；
⑶学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动次数在区间的学生发放价值80元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值60元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值40元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值20元的学习用品，在所取样本中，任意取出2人，并设为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求的分布列与数学期望.
【解析】⑴由题可知 ，，，
又
解得 ，，，
则组的频率与组距之比为.
⑵由⑴知，参加服务次数在区间上的人数为人.
⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为元、元、元、元，则
，
，
，21世纪教育网
.
所以的分布列为：
0 20 40 60
.
18. (文科)(山东省济南市2012年2月高三定时练习文科19)（本小题满分12分）
设平面向量＝ （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {-2,-1,1,2}．
（I）记“使得⊥成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率；
（II）记“使得//（-2）成立的（ m，n ）”为事件B，求事件B发生的概率.
【解析】（I）有序数组（m,n）的所有可能结果为：（-2，-2），（-2，-1），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（-1，2），(1,-2)，（1，-1），（1，1），（1，2）,(2,-2)，
（2，-1），（2，1），（2，2）共有16种. ……………………3分
使得⊥成立的（ m，n ）,满足：2m+n=0， n=-2m
事件A有（-1，2）, (1,-2)有2种. …………………5分
故所求的概率为： ……………………7分
（II）使得//（-2）成立的（ m，n ）满足：
m(1-2n)-(m-4)=0即： mn=-2 ……………………………9分
事件B有： （-2，1），（-1，2）,（1，-2）,（2，-1）4种 ………………11分
故所求的概率为： ……………………12分
19. (理科)(福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科19)（本小题满分12分）
如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，是侧棱上的动点.
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）试求三棱锥的体积取得最大值时的值；
（Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值.
【解析】（Ⅰ）证法一：∵面，∴，.
又∵，∴四边形是正方形，
∴.
∵，
∴.
又∵, ∴.
∵,
∴.
证法二：∵面，∴，.
又∵，
∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 21世纪教育网
则，
，
∴，
∴.
又∵
∴.
证法三：∵面，∴，.
又∵，
∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则,
.
设平面的法向量，
则，解得.
令，则，
∵, ∴.
（Ⅱ）∵，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离
∴,
，
令，得（舍去）或，
列表，得
1
+ 0 －
递增 极大值 递减
∴当时， .
（Ⅲ）分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则,
，
，.
设平面的法向量，
则，解得,
令，则.
设平面的法向量，
则.
由于，所以解得.
令，则.
设二面角的平面角为，
则有.
化简得,解得（舍去）或.
所以当时，二面角的平面角的余弦值为.
19.(文科)(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文17)（本小题共12分）[来源:21世纪教育网]
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面， 是中点，为线段上一点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由.
【解析】本题考查线线垂直和线面探索性问题等综合问题。考查学生的空间想象能力。证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.本题第一问利用方法二进行证明；探求某些点的具体位置，使得线面满足垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.本题第二问主要采用假设存在点，然后确定线面平行的性质进行求解.
理由如下：连接，
因为//平面，平面，平面平面，
所以∥．
在△中,为的中点，
所以为中点．
在△中,，分别为，的中点，
所以∥．
又平面, 平面,
故//平面. ………………12分
20．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)（本小题满分12分）
已知一非零向量列满足：，.
（1）证明：是等比数列；
（2）设是的夹角，=，，求；
（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】
解：（1）3分
∴数列是以公比为，首项为的等比数列；……… ……4分
（2）∵，
∴=，……………………………………………… ……………5分
∴=，………………………… …………………6分
∴。… ………8分
（3）假设存在最小项，设为，
∵，……………………………………………………9分
∴，………………………………………………………………10分
由得当时，；
由得当时，；
故存在最小项为。 ………………………… …………12分
21. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试) (本小题满分12分）已知函数.
(1) 求的最小值；
(2) 若对所有都有.，求实数a的取值范围.
【解题说明】本试题主要考查函数与导数、不等式的综合运用。运用导数求函数最值，判定函数单调区间的综合运用，以及构造函数来借助于导数来证明不等式恒成立问题。
【答案】
【解析】
22.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试)（本小题共14分）
已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，
，且，证明：直线过定点（）．
解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，
故椭圆方程为． …………5分
（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，
由 得 ． ………7分 [来源:21世纪教育网]
则．
由已知，
所以，21世纪教育网
即． ………10分
所以，整理得 ．
故直线的方程为，即（）．
所以直线过定点（）． ………12分
若直线的斜率不存在，设方程为，
设，，
由已知，
得．此时方程为，显然过点（）．
综上，直线过定点（）． ………14分
F
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D
B
A
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