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2012年高考数学百所名校备考(新课标)
模拟试题07（学生版）
【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第15、16、17、18、19、20题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。
试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.(吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科1)设集合,,则（ ）
A. B. C. D.
2. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理2)若复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
(A). -2 (B). 4 (C).—6 (D). 6
3. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科4)已知、取值如下表：
0 121世纪教育网 4 5 6 8
1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3
从所得的散点图分析可知：与线性相关，且，则
A. B. C. D.
4．(山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理3)如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
(A). 4 (B). 8 (C). 16 (D). 20
5． (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科5)已知实数4，，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
6.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文6)在平面直角坐标系内，若曲线：
上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为21世纪教育网
（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．(2012年北京市房山区高三一模)阅读下边程序框图，为
使输出的数据为，则判断框中应填入的条件为 （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8．(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)已知圆的直
角坐标方程为．在以原点为极点，轴正半轴为
极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）21世纪教育网
（A） （B）
（C） （D）
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文9)已知向量, ，若，则的值为 ．
10.（2012年4月北京市海淀区高三一模）若，则= .
11．（北大附中2012年2月高三数学统练）在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数的值为
12.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文12)在等差数列中，若，则数列的公差等于 ； 其前项和的最大值为 ．
13．（2012年北京市石景山区高三一模）在区间上随机取一实数，则该实数满足不等式的概率为 ．
14．(北京市东城区2012年1月高三考试文科）在平面内，已知直线，点是之间的定点，点到的距离分别为和，点是上的一个动点，若，且与交于点，则面积的最小值为____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明
过程.w.@k
15.(江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟15) (本小题满分14分)
已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.
16.（理科）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分13分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）
16．（文科）（2012年4月北京市海淀区高三一模文科）（本小题满分13分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.
17.（理科） (2012年3月北京市朝阳区高三一模理科)（本题满分13分）
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，， 平面，，，，，且是的中点.
17.（文科） (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)（本题满分13分）21世纪教育网
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，， 平面，，，，，且是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在上是否存在一点，使得最大？
若存在，请求出的正切值；若不存在，
请说明理由.
18. (2012年3月北京市丰台区高三一模)（本题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）当a>0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意，，且恒成立，求a的取值范围．
19.（北京市师大附中2012届高三下学期开学检测）（本小题满分13分）椭圆：的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列。
（1）求证：；
（2）若直线的斜率为1，且点在椭圆C上，求椭圆C的方程。
20. (2012年北京市房山区高三一模)（本题满分14分）21世纪教育网
已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数
x
y
M
O
C
A
F
E
B
M
D
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2012年高考数学百所名校备考(新课标)
模拟试题07（教师版）
【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第15、16、17、18、19、20题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。
试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.(吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科1)设集合,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C[来源:21世纪教育网]
【解析】的意义是在集合中去掉属于集合的元素后余下的元素构成的集合，所以应当为.
2. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理2)若复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
(A). -2 (B). 4 (C).—6 (D). 6
【答案】C
【解析】因复数是分式且分母含有复数，需要分子分母同乘以1-2i，再进行化简整理，由纯虚数的定义令实部为零求出a的值。
3. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科4)已知、取值如下表：
0 1 4 5 6 8
1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3
从所得的散点图分析可知：与线性相关，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】代入中心点，可知.
4．(山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理3)如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
(A). 4 (B). 8 (C). 16 (D). 20
5． (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科5)已知实数4，，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
【答案】C
【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义及简单性质。实数4，，9构成一个等比数列，则
，即；
当时，曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，根据则。
当时，曲线方程表示焦点在轴上的双曲线，根据则。因此答案选C.
6.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文6)在平面直角坐标系内，若曲线：
上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为
（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】曲线：，
即表示以为圆心，2为半径的圆，
当且，即时，曲线C上所有的点均在第二象限内。
7．(2012年北京市房山区高三一模)阅读下边程序框图，为21世纪教育网
使输出的数据为，则判断框中应填入的条件为 （ ）21世纪教育网
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】由题意知,,故选A.
8．(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)已知圆的直
角坐标方程为．在以原点为极点，轴正半轴为
极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】该方程表示圆心为（0,1）半径为1的圆，如图，在圆上任取一点则
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文9)已知向量, ，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】
10.（2012年4月北京市海淀区高三一模）若，则= .
【答案】
【解析】===.
11．（北大附中2012年2月高三数学统练）在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数的值为
【答案】1
【解析】画出平面区域可知图形为三角形,面积为,解得.
12.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文12)在等差数列中，若，则数列的公差等于 ； 其前项和的最大值为 ．
13．（2012年北京市石景山区高三一模）在区间上随机取一实数，则该实数满足不等式的概率为 ．
【答案】
【解析】本题考查几何概型.由得: ,故所求概率为.
14．(北京市东城区2012年1月高三考试文科）在平面内，已知直线，点是之间的定点，点到的距离分别为和，点是上的一个动点，若，且与交于点，则面积的最小值为____．
【答案】6
【解析】 如图所示，设，由题意知
与相似，所以,所以,所以
，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为6.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明
过程.w.@k
15.(江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟15) (本小题满分14分)
已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.
16.（理科）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分13分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）
【解析】（Ⅰ）由直方图可得：
.
所以 . ………………………………………2分
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：
， ………………………………………4分
因为，
所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.
………………………………………6分
（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，
, ,
,,
.
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
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………………………………………12分
.（或）
所以的数学期望为1. ………………………………………13分
16．（文科）（2012年4月北京市海淀区高三一模文科）（本小题满分13分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，， ，，.
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.
【解析】（Ⅰ）由直方图可得
.
所以. ………………………………………6分
（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：.
………………………………………9分
因为 .
所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿.
………………………………………13分
17.（理科） (2012年3月北京市朝阳区高三一模理科)（本题满分13分）
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，， 平面，，，，，且是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，
使得与所成的角为？
若存在，求出的长度；若不
存在，请说明理由.
【解析】证明：（Ⅰ）取的中点，连接.
在△中，是的中点，是的中点，所以，
又因为，
所以且.
所以四边形为平行四边形，
所以.
又因为平面，平面，
故平面. …………… 4分
解法二：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ……………1分
由已知可得
……………3分
又因为，
所以，又平面，所以平面. ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是.
因为平面，所以.
又因为，所以平面.
故是平面的一个法向量.
所以，又二面角为锐角，
故二面角的大小为. ……………10分
（Ⅲ）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为.
所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.…………13分
17.（文科） (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)（本题满分13分）
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，， 平面，，，，，且是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在上是否存在一点，使得最大？
若存在，请求出的正切值；若不存在，
请说明理由.
【解析】（Ⅰ）证明：取的中点，连接.
在中，是的中点，是的中点，
故平面. ……………………6分
（Ⅱ）解：假设在上存在一点，使得最大.
因为平面，所以.
又因为，所以平面. ………………………8分
在中，.
因为为定值，且为锐角，则要使最大，只要最小即可.
显然，当时，最小.
因为，所以当点在点处时，使得最大. …………11分
易得=.
所以的正切值为. ……………………13分
18. (2012年3月北京市丰台区高三一模)（本题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）当a>0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意，，且恒成立，求a的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当时，，．…………1分
因为，， ………………2分
所以切线方程为 ． …………………3分
（Ⅱ）函数的定义域为．
当a>0时，，………………4分
令，即，
所以或． ……………………5分
当，即时，在上单调递增，
所以在[1,e]上的最小值是； ……………6分
当时，在[1,e]上的最小值是，不合题意；
当时，在上单调递减，
所以在[1,e]上的最小值是，不合题意． ……………7分
综上可得 ． …………………8分
（Ⅲ）设，则， …………………9分
只要在上单调递增即可．
而， …………………10分
当时，，此时在单调递增； …………11分
当时，只需在恒成立，因为，只要，则需要，
对于函数，过定点，对称轴，只需，[来源:21世纪教育网]
即． ………………12分
综上可得 ． ……………………13分
19.（北京市师大附中2012届高三下学期开学检测）（本小题满分13分）椭圆：的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列。
（1）求证：；
（2）若直线的斜率为1，且点在椭圆C上，求椭圆C的方程。
于是有，
解得，故，椭圆的方程为。
20. (2012年北京市房山区高三一模)（本题满分14分）
已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上，记与的等差中项为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和；
（Ⅲ）设集合，等差数列的任意一项，其中是中的最小数，且，求的通项公式.
【解析】（I）点都在函数的图像上，,
当时， …………………………………2分
当ｎ＝1时，满足上式，
所以数列的通项公式为 …………… ……………………3分
（II）∵为与的等差中项
∴……………………4分
.
①
由①×4，得
②
①-②得：
………………………………8分
（III）∵
∴
∵，是中的最小数，
.
是公差为4的倍数的等差数列，.…………10分
又，
,解得ｍ＝27.所以，
设等差数列的公差为，则……………………12分
，
∴. ……………………………………………14分
x
y
M
O
C
A
F
E
B
M
D
N
C
A
F
E
B
M
D
C
A
F
E
B
M
D
………………6分
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