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2012年高考数学百所名校备考(新课标)
模拟试题09（教师版）
【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。
试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测)集合A=｛0，1,2｝，B=｛｝，则（ ）
A. ｛0｝ B. ｛1｝ C. ｛0，1｝ D. ｛0，1,2｝
【答案】C
【解析】
2. (安徽省“江南十校”2012年3月高三联考)已知i为虚数单位，复数，则复数z在复平面上的对应点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】∵，∴选B.
3. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 .
4. (湖南省张家界2012届高三学情调研测试)设数列{}是等差数列，若，则：（ ）
(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【答案】C
【解析】由得，所以.
5．(湖南省吉首一中2012届高三第二次月考)设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为
故选择B.
6．(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)在中，点在线段的延长线上，且与点不重合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考) 函数具有性质（ ）
A．图象关于点对称，最大值为1； B．图象关于点对称，最大值为2；
C．图象关于直线对称，最大值为2；D．图象关于直线对称，最大值为1
【答案】A
【解析】因为==，所以
最大值为1,又当时,,故选A.
8.(湖南省益阳第一中学2012届高三第一次月考)三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是( )
A． B. C. D.
9．(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点若为线段的中点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设双曲线的右焦点为，则所以，渐近线方程为
10. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科10)以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆圆心的抛物线方程是( )
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】由可知圆心坐标为，设抛物线方程为或，将点分别代入得或.
11．(浙江省台州中学2012届高三下学期第二次统练文科)定义域为R的函数对任意R都有，且其导函数满足，则当时，有( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C21世纪教育网
【解析】本题考查函数与导数,解不等式.
12.(北京市东城区2012年4月高考一模)已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】方程有且只有两个不相等的实数根等价于函数的图象与直线有且只有两个不同的交点,画出图象可得选项A正确.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.(湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科10)已知，则= .
【答案】
【解析】因为,所以解得,所以
=36+16-24=28,故=.
14. (安徽省“江南十校”2012年3月高三联考)若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则此多面体的表面积为________cm2.v
21世纪教育网
【答案】
【解析】由三视图知：多面体为右图所示，其表面积为：
15. (江苏省盐城市2012届高三第二次模拟)一根绳子长为米，绳上有个节点将绳子等分，现从个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于米的概率为 ．
【答案】
【解析】本题考查几何概型.
16.(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)在约束条件下，目标函数的最大值为，则的最大值等于_____ ．
【答案】
【解析】画出可行域知过取得最大值，所以，
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(江西省南昌二中2012届高三第三次月考)设锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别为，向量，，且与共线。
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，，且△ABC的面积小于，求角B的取值范围。
【解析】
18．（理科）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)（本小题共12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为，二等品率为；乙产品的一等品率为，二等品率为.生产件甲产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元；生产件乙产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立.
（Ⅰ）设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为（单位：万元），求的分布列；
（Ⅱ）求生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率.
【解析】（Ⅰ）由题设知，的可能取值为，，，. …………2分
， ，
， . …………6分
由此得的分布列为：
[来源:21世纪教育网]
…………8分
18.（文科）(北京市东城区2012年4月高考一模文科)（本小题共12分）
某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.
（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？
【解析】（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为，两个“低碳小区”为
…………2分
用表示选定的两个小区，，
则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是，，，,,, ,,，. …………4分
用表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则中的结果有6个，它们是：，,, ，,. ………6分
故所求概率为. …………7分
（II）由图1可知月碳排放量不超过千克的成为“低碳族”. …………10分
由图2可知，三个月后的低碳族的比例为，…………11分
所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准. …………12分
19．（理科）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)（本小题共12分）
如图1，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.
【解析】（Ⅰ）证明：取中点，连结.
因为，，
所以，而，即△是正三角形.
又因为, 所以. …………2分
所以在图2中有，.…………3分 图1
所以为二面角的平面角.
又二面角为直二面角，
所以. …………5分
又因为,
所以⊥平面,即⊥平面. …………6分[21世纪教育网]
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知⊥平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，.
在图１中，连结.
因为，
所以∥，且.
所以四边形为平行四边形.
所以∥，且.
故点的坐标为（1，，0）. 图2:21世纪教育网]
所以， ，. …………8分
不妨设平面的法向量，则
即令，得. …………10分
所以. …………11分
故直线与平面所成角的大小为. …………12分
19. （文科）(河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文19)（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SE⊥AD.
（Ⅰ）证明：平面SBE⊥平面SEC;
（Ⅱ）若SE=1，求三棱锥E-SBC的高.
【命题分析】本题考查面面垂直的证明以及线面角的求法，考查学生的空间想象能力和计算能力。在解答第二问中抓住面面垂直的性质定理确定线段EG的长即为三棱锥E-SBC的高是解题的关键.
【解析】（Ⅰ）证明: 平面平面,平面平面,21世纪教育网
平面，，
平面. …………2分
（Ⅱ）如图，作EF⊥BC于F,连结SF.由BC⊥SE,SE和EF相交得，
BC⊥平面SEF,由BC在平面SBC内，得平面SEF⊥平面SBC.
作EG⊥SF于G,
则EG⊥平面SBC.即线段EG的长即为三棱锥E-SBC的高.…………9分
由SE=1，BE=2，CE=得BC=4，EF=.
在中，,
所以三棱锥E-SBC的高为.…………12分
20．（福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查）（本小题满分12分）
在数列中，，点在直线上．
(I)求数列的通项公式；
(Ⅱ)若，求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）由已知得，所以 又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以
所以,
所以.
21．（安徽省安庆市2012年3月高三第二次模拟考试）（本小题满分12分）
已知：函数f(x)＝
（I）求f(x)的单调区间
（II）若f(x) >0恒成立，求a的取值范围．
【解析】（Ⅰ）的定义域为，
………2分
（1）当时，在上，在上，21世纪教育网
因此，在上递减，在上递增. ………4分
（2）当时，在上，在上，
因此，在上递减，在上递增. ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：时，
. ………9分
当时，，
. ………11分
综上得：. ………12分
22．(山东省临沂市2012年3月高三一模)（本小题满分14分）
已知抛物线 的焦点是椭圆 一个顶点，椭圆 的离心率为.另有一圆圆心在坐标原点，半径为
(I)求椭圆和圆的方程；
(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆在第一象限内只有一个公共点，求直线被圆截得的弦长；
(Ⅲ)已知是圆上任意一点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，求证： .
所以直线斜率存在，设方程为.
由得，
即.
则，
又.
所以直线方程为.
圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为.
(III)若点的坐标为，则过这四点分别作满足条件的直线，，若一条直线斜率为，则另一条斜率不存在，则
若直线，斜率都存在，则设过与椭圆只有一个公共点的直线方程为，
由得
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2012年高考数学百所名校备考(新课标)
模拟试题09（学生版）
【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。
试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测)集合A=｛0，1,2｝，B=｛｝，则（ ）
A. ｛0｝ B. ｛1｝ C. ｛0，1｝ D. ｛0，1,2｝
2. (安徽省“江南十校”2012年3月高三联考)已知i为虚数单位，复数，则复数z在复平面上的对应点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
4. (湖南省张家界2012届高三学情调研测试)设数列{}是等差数列，若，则：（ ）
(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
5．(湖南省吉首一中2012届高三第二次月考)设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)在中，点在线段的延长线上，且与点不重合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考) 函数具有性质（ ）
A．图象关于点对称，最大值为1； B．图象关于点对称，最大值为2；
C．图象关于直线对称，最大值为2；D．图象关于直线对称，最大值为1
8.(湖南省益阳第一中学2012届高三第一次月考)三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是( )
A． B. C. D.
9．(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点若为线段的中点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
10. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测)以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆圆心的抛物线方程是( )
A．或 B．
C．或 D．或
11．(浙江省台州中学2012届高三下学期第二次统练)定义域为R的函数对任意R都有，且其导函数满足，则当时，有( )
(A) (B)
(C) (D)
12.(北京市东城区2012年4月高考一模)已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）21世纪教育网
13.(湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考)已知，则= .
14. (安徽省“江南十校”2012年3月高三联考)若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则此多面体的表面积为________cm2.v
15. (江苏省盐城市2012届高三第二次模拟)一根绳子长为米，绳上有个节点将绳子等分，现从个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于米的概率为 ．
16.(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)在约束条件下，目标函数的最大值为，则的最大值等于_____ ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(江西省南昌二中2012届高三第三次月考)设锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别为，向量，，且与共线。
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，，且△ABC的面积小于，求角B的取值范围。21世纪教育网
18．（理科）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)（本小题共12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为，二等品率为；乙产品的一等品率为，二等品率为.生产件甲产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元；生产件乙产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立.
（Ⅰ）设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为（单位：万元），求的分布列；
（Ⅱ）求生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率.
18.（文科）(北京市东城区2012年4月高考一模文科)（本小题共12分）
某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.
（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？
19．（理科）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)（本小题共12分）
如图1，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）
（Ⅰ）求证：⊥平面；[来源:21世纪教育网]
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.
19. （文科）(河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文19)（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SE⊥AD.
（Ⅰ）证明：平面SBE⊥平面SEC;
（Ⅱ）若SE=1，求三棱锥E-SBC的高.
20．（福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查）（本小题满分12分）
在数列中，，点在直线上．
(I)求数列的通项公式；
(Ⅱ)若，求数列的前项和．
21．（安徽省安庆市2012年3月高三第二次模拟考试）（本小题满分12分）21世纪教育网
已知：函数f(x)＝
（I）求f(x)的单调区间
（II）若f(x) >0恒成立，求a的取值范围．[来源:21世纪教育网]
22．(山东省临沂市2012年3月高三一模)（本小题满分14分）
已知抛物线 的焦点是椭圆 一个顶点，椭圆 的离心率为.另有一圆圆心在坐标原点，半径为
(I)求椭圆和圆的方程；
(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆在第一象限内只有一个公共点，求直线被圆截得的弦长；
(Ⅲ)已知是圆上任意一点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，求证： .
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