中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.3因式分解法解一元二次方程
教学设计
课题
21.2.3因式分解法解一元二次方程
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.能用因式分解法解一些一元二次方程；2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
重点
能用因式分解法解一些一元二次方程.
难点
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.因式分解的方法有哪些？提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘我们学习了哪些解一元二次方程的方法？直接开平方法、配方法、公式法3.对下面式子进行因式分解：(1)x2-x=x(x-1)(2)4x2-64=4(x+4)(x-4)(3)x2+8x+16=(x+4)2(4)3x2-12x+12=3(x-2)2(5)x2+5x+6=(x+2)(x+3)(61)x2-8x-20=(x+2)(x-10)
学生回忆、思考并回答问题
回顾因式分解的方法，为下面因式分解法解方程奠定基础.
讲授新课
环节一：因式分解法解方程问题2：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10
m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x
s离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？解：设物体经过x
s落回地面，这时它离地面的高度为0
m，即
10x－4.9x2＝0.
思考：除了配方法或公式法之外，能找到更简单的方法吗？
方程
10x－4.9x2＝0的右边为0，左边可以因式分解，得x(10－4.9x)＝0
——因式分解，化为乘积形式x=0
或
10－4.9x＝0
——
若a?b=0，则a=0或b=0x1=0
，
x2＝答：物体在0
s时被抛出，经过s时落回地面.思考：解方程
10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
环节二：典例解析例3
用因式分解法解下列方程:x(x-2)+x-2=0
(2)
解：(1)
因式分解，得
(x-2)(x+1)=0x-2=0
或
x+1=0x1=2，
x2=
-1移项、合并同类项，得4x2-1=0因式分解，得(2x+1)(2x-1)=02x+1=0
或
2x-1=0x1=
-0.5，
x2=
0.5小结：用因式分解法解一元二次方程的步骤：1.移项：将方程的右边化为0；2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4.求解：解这两个一元一次方程注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如
x(x-1)=x，
若约去
x，则会导致丢掉
x=0
这个根.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的区别：方法特点配方法等号右边为0；二次项系数为1；先配方，再降次；适合所有方程。公式法将方程化为一般形式；利用根的判别式判断根的情况；利用求根公式求解；适合所有方程。因式分解法方程右边为0；左边变为因式相乘的形式；只适用于某些方程。环节三：课堂练习利用因式分解法解下列方程:(1)3x2-6x+3=0
(2)
4x2-121=0
(3)
x2+3x-10=0
(4)
(2x-3)2=(3x-2)2
解：(1)
因式分解，得
3(x2-2x+1)=0
3(x-1)2=0
x-1=0x1=
x2=1(2)
(2x)2-112=0
(2x+11)(2x-11)=0
2x+11=0
或
2x-11=0x1=
-5.5，x2=5.5(3)
因式分解，得
(x+5)(x-2)=0
x+5=0
或
x-2=0
x1=
-5，x2=2(4)
解法一：移项，得
(2x-3)2-(3x-2)2
=0
因式分解，得[(2x-3)+(3x-2)][(2x-3)-(3x-2)]＝0
(5x-5)(-x-1)=0
5x-5=0
或
-x-1=0
x1=
1，x2=-1
解法二：整理，得
x2-1=0
因式分解，得(x+1)(x-1)＝0
x+1=0
或
x-1=0
x1=
-1，x2=1
2.小明在解一元二次方程x2-4x=0时，只得出一个根是x=4，则被他漏掉的另一个根是x=0
.3.方程(x+2)(x-3)=0的解是（
C
）
A.x1=
-2，x2=
-3
B.x1=2，x2=
-3
C.x1=
-2，x2=3
D.x1=2，x2=34.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适合的方法是（
D
）
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法5.
用适当的方法解下列方程:(1)
3x(x
+
5)=
5(x
+
5)
(2)
(5x
+
1)2=1
(3)x2-12x-=4
(4)
3x2
=
4x
+
1
解：(1)
移项，得3x(x
+
5)-5(x
+
5)
=0
因式分解，得(x
+
5)(3x
-5)=0x
+
5=0
或
3x
-5=0x1=-5，
x2=(2)
直接开平方，得
5x
+
1
=±1
5x
+
1=1
或
5x
+1=
-1x1=0，
x2=(3)
配方，得
x2
-
12x
+36=4+36
(x-6)2=40
x1=，
x2=(4)
移项，得
3x2
-
4x
-1=0
a=3,b=-4,c=-1
△=b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0
方程有两个不相等的实数根(4)公式法、配方法都可以.小结：解一元二次方程的方法的选择技巧若一元二次方程可化为
(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)
的形式，则宜选用直接开平方法；若一元二次方程的二次项系数为
1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法；若一元二次方程整理后右边为
0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法；若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法.
解决问题，理解因式分解法的概念.借助典型例题,展示因式分解法解下列方程的步骤，并进行总结.学生练习，师生互评订正.
问题导入，引出因式分解法的概念.培养学生计算能力以及理解哪些形式的方程可以选择因式分解法.通过解方程，让学生熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤.
课堂小结
1.因式分解法概念：将方程左边因式分解，右边=0.2.因式分解方法：3.原理：如果
a·b
=0，那么a=0或b=0.
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
21.2.3
因式分解法解一元二次方程
因式分解的方法：
因式分解法解方程：
例3
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共28张PPT)
人教版
九年级上
21.2
解一元二次方程
21.2.3
因式分解法
新知导入
学习目标：
1.能用因式分解法解一些一元二次方程；
2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
体会解决问题方法的多样性。
新知导入
1.因式分解的方法有哪些？
2.我们学习了哪些解一元二次方程的方法？
直接开平方法
配方法
公式法
提公因式法
公式法
十字相乘
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
新知导入
3.对下面式子进行因式分解：
=x(x-1)
=4(x2-16)=4(x+4)(x-4)
=(x+4)2
=3(x2-4x+4)=3(x-2)2
=(x+2)(x+3)
=(x+2)(x-10)
问题2：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10
m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x
s离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知讲解
解：设物体经过x
s落回地面，这时它离地面的高度为0
m，
即
10x－4.9x2＝0.
除了配方法或公式法之外，能找到更简单的方法吗？
新知讲解
方程
10x－4.9x2＝0的右边为0，左边可以因式分解，得
x(10－4.9x)＝0
x=0
或
10－4.9x＝0
x1=0
，
x2＝
答：物体在0
s时被抛出，经过
s时落回地面.
因式分解，化为乘积形式
若a?b=0，则a=0或b=0
新知讲解
思考：解方程
10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？
可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
合作探究
例3
用因式分解法解下列方程:
(1)
x(x-2)+x-2=0
(2)
合作探究
解：(1)
因式分解，得
(x-2)(x+1)=0
x-2=0
或
x+1=0
x1=2，
x2=
-1
合作探究
(2)
移项，得
合并同类项，得
因式分解，得
合作探究
小结：用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1.移项：将方程的右边化为0；
3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程.
2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如
x(x-1)=x，
若约去
x，则会导致丢掉
x=0
这个根.
合作探究
用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的区别：
方法
特点
配方法
公式法
因式分解法
等号右边为0；二次项系数为1；先配方，再降次；适合所有方程。
将方程化为一般形式；利用根的判别式判断根的情况；利用求根公式求解；适合所有方程。
方程右边为0；左边变为因式相乘的形式；只适用于某些方程。
课堂练习
1.
利用因式分解法解下列方程:
(1)
3x2-6x+3=0
(2)
4x2-121=0
(3)
x2+3x-10=0
(4)
(2x-3)2=(3x-2)2
课堂练习
解：(1)
因式分解，得
3(x2-2x+1)=0
3(x-1)2=0
x-1=0
x1=
x2=1
课堂练习
(2)
(2x)2-112=0
(2x+11)(2x-11)=0
2x+11=0
或
2x-11=0
课堂练习
(3)
因式分解，得
(x+5)(x-2)=0
x+5=0
或
x-2=0
x1=
-5，x2=2
课堂练习
(4)
解法一：移项，得
(2x-3)2-(3x-2)2
=0
因式分解，得
[(2x-3)+(3x-2)][(2x-3)-(3x-2)]＝0
(5x-5)(-x-1)=0
x1=
1，x2=-1
5x-5=0
或
-x-1=0
解法二：整理，得
x2-1=0
因式分解，得
(x+1)(x-1)＝0
x1=
-1，x2=1
x+1=0
或
x-1=0
课堂练习
2.小明在解一元二次方程x?-4x=0时，只得出一个根是x=4，
则被他漏掉的另一个根是x=
.
3.方程(x+2)(x-3)=0的解是（
）
A.x1=-2，x2=-3
B.x1=2，x2=-3
C.x1=-2，x2=3
D.x1=2，x2=3
0
C
课堂练习
4.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适合的方法是（
）
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
D
课堂练习
5.
用适当的方法解下列方程:
(1)
3x(x
+
5)=
5(x
+
5)
(2)
(5x
+
1)2=1
(3)
x2
-
12x
=
4
(4)
3x2
=
4x
+
1
课堂练习
解：(1)
移项，得
3x(x
+
5)-5(x
+
5)
=0
因式分解，得(x
+
5)(3x
-5)=0
x
+
5=0
或
3x
-5=0
x1=-5，
x2=
(2)
直接开平方，得
5x
+
1
=±1
5x
+
1=1
或
5x
+1=
-1
x1=0，
x2=
课堂练习
(3)
配方，得
x2
-
12x
+36=4+36
(x-6)2=40
(4)
移项，得
3x2
-
4x
-1=0
a=3,b=-4,c=-1
△=b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0
方程有两个不相等的实数根
(3)(4)公式法、配方法都可以
解一元二次方程的方法的选择技巧
若一元二次方程可化为
(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)
的形式，则宜选用直接开平方法；
若一元二次方程的二次项系数为
1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法；
若一元二次方程整理后右边为
0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法；
若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法.
课堂总结
课堂总结
因式分解法
概念
如果
a
·
b
=0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma
+
mb
+
mc
=
m(a+
b+
c);
a2
±2ab+b2=(a
±
b)2；
a2
-b2=(a+b)(a-b).
板书设计
21.2.3
因式分解法解一元二次方程
因式分解的方法：
因式分解法解方程：
例3
练习
作业布置
1.必做题：教材P17
第
6题
2.选做题：教材P21
第
1
题
(1)、(4)
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
