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21.2.2公式法解一元二次方程
教学设计
课题
21.2.2公式法解一元二次方程
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.知道一元二次方程的根的判别式和求根公式的推导过程；2.会用根的判别式判断方程根的情况；3.能规范、熟练运用公式法解一元二次方程.
重点
会用根的判别式判断方程根的情况；熟练运用公式法解一元二次方程.
难点
知道一元二次方程的根的判别式和求根公式的推导过程.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)2.用配方法解一元二次方程的步骤：移项—二次项系数化1—配方—直接开平方—求解3.用配方法解方程：2x2-4x+1=0解：移项，得：2x2-4x=
-1二次项系数化1，得配方得
若用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢？
学生回忆、思考并回答问题.
回顾一元二次方程的一般形式和配方法解一元二次方程的步骤，为下面的推导根的判别式和求根公式奠定基础.
讲授新课
环节一：推导公式用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)解：移项，得：ax2+bx=
-c二次项系数化1，得配方得∵a≠0
∴4a2≠0当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．
即当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．(3)
当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．归纳：△=b2-4ac
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式．(1)
当
△>0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．(2)
当
△=0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．(3)
当
△<0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．当△≥0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根
.当△≥0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的实数根是：（求根公式）解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
环节二：典例解析例2
用公式法解下列方程:x2-4x-7=0
(2)
(3)5x2-3x=x+1
(4)x2+17=8x
解：(1)a=1,b=-4,c=
-7△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0
方程有两个不相等的实数根∴
方程有两个相等的实数根(3)方程化为5x2-4x-1=0a=5,b=-4,c=
-1△=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根(4)
x2-8x+17=0a=1,b=-8,c=
17△=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0
方程无实数根小结：公式法解一元二次方程的步骤：1.化：把方程化成一般形式；2.定：确定a,b,c的值；3.求：求出b2-4ac的值，判断方程根的情况；4.套：套求根公式5.写:
写出方程的解环节三：课堂练习利用判别式判断方程根的情况:(1)16x2-4x-1=0
(2)
(3)3x2+11=12x-1
(4)2x2+7=4x
解：(1)
a=16,b=-4,c=-1
△=b2-4ac=(-4)2-4×16×(-1)=80>0
方程有两个不相等的实数根
(2)方程无实数根(3)
方程化为3x2-12x+12=0a=3,b=-12,c=12
△=b2-4ac=(-12)2-4×3×12=0
方程有两个相等的实数根(4)
方程化为2x2-4x+7=0
a=2,b=-4,c=7
△=b2-4ac=(-4)2-4×2×7=
-40<0
方程无实数根2.
用公式法解下列方程:(1)5x2-3x-1=0
(2)
(3)x2-8x=3x2+8
解：(1)
a=5,b=-3,c=-1
△=b2-4ac=(-3)2-4×5×(-1)=29>0
方程有两个不相等的实数根
(2)
方程化为方程无实数根(3)
方程化为-2x2-8x-8=0a=-2,b=-8,c=-8△=b2-4ac=(-8)2-4×(-2)×(-8)=0
方程有两个相等的实数根3.关于x的方程x?-2x+m=0有两个相等的实数根，则m=
1
.
若此方程有实数根，则m的取值范围是
m≤1.4.如果关于x的一元二次方程kx?-2x-1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（
B
）
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0变式：若关于x的方程kx?-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是k≥-1.
师生合作，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).借助典型例题,展示公式法解一元二次方程的步骤，并进行总结.学生练习，师生互评订正.
推导根的判别式和求根公式.培养学生计算能力以及熟练公式法解一元二次方程的步骤.通过解方程，让学生熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤.
课堂小结
根的判别式：△=b2-4ac△=b2-4ac>0，方程有两个不等的实数根;△=b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根△=b2-4ac<0，方程无实数根（2）用求根公式解方程的一般步骤1.化；2.定；3.求；4.套；5.写注意：公式法解一元二次方程的前提：b2-4ac≥0
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
21.2.2
公式法解一元二次方程
根的判别式：△=b2-4ac
求根公式：
公式法解方程：
例题
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
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人教版
九年级上
21.2
解一元二次方程
21.2.2
公式法
新知导入
学习目标：
1.知道一元二次方程的根的判别式和求根公式的推导过程；
2.会用根的判别式判断方程根的情况；
3.能规范、熟练运用公式法解一元二次方程。
新知导入
1.一元二次方程的一般形式：
2.用配方法解一元二次方程的步骤：
ax2+bx+c=0(a≠0)
移项
二次项系数化1
配方
直接开平方
求解
新知导入
3.用配方法解方程：2x2-4x+1=0
解：移项，得：
配方，得
二次项系数化1，得
2x2-4x=
-1
直接开平方，得
即
若用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0呢？
(a≠0)
用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
解：移项，得：
配方，得
二次项系数化1，得
ax2+bx=
-c
新知讲解
即：
新知讲解
∵a≠0
∴4a2>0
(1)
当
b2-4ac>0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．
(2)
当
b2-4ac=0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．
即：
(3)
当
b2-4ac<0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
新知讲解
归纳：△=b2-4ac
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式．
(1)
当
△>0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根．
(2)
当
△=0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．
(3)
当
△<0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
当△≥0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根
.
当△≥0
时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的实数根是：
求根公式
新知讲解
解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
合作探究
例2
用公式法解下列方程:
(1)
x2-4x-7=0
(2)
(3)5x2-3x=x+1
(4)
x2+17=8x
合作探究
解：(1)
a=1,b=-4,c=-7
△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0
方程有两个不相等的实数根
即
合作探究
(2)
△=b2-4ac=
方程有两个相等的实数根
即
合作探究
(3)
方程化为5x2-4x-1=0
△=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
即
a=5,b=-4,c=-1
合作探究
a=1,b=-8,c=17
△=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=
-4<0
方程无实数根.
(4)
方程化为x2-8x+17=0
合作探究
小结：用公式法解一元二次方程的步骤：
1.化：把方程化成一般形式；
3.求：求出b2-4ac的值，判断方程根的情况。
4.套：套求根公式
5.写
:
写出方程的解
2.定：确定a,b,c的值；
课堂练习
1.
利用判别式判断方程根的情况:
(1)
16x2-4x-1=0
(2)
(3)3x2+11=12x-1
(4)
2x2+7=4x
课堂练习
解：(1)
a=16,b=-4,c=-1
△=b2-4ac=(-4)2-4×16×(-1)=80>0
方程有两个不相等的实数根.
(2)
a=1,b=
,c=9
方程无实数根.
课堂练习
(3)
方程化为3x2-12x+12=0
△=b2-4ac=(-12)2-4×3×12=0
方程有两个相等的实数根.
a=3,b=-12,c=12
a=2,b=-4,c=7
△=b2-4ac=(-4)2-4×2×7=
-40<0
方程无实数根.
(4)
方程化为2x2-4x+7=0
课堂练习
2.
用公式法解下列方程:
(1)
5x2-3x-1=0
(2)
(3)x2-8x=3x2+8
课堂练习
解：(1)
a=5,b=-3,c=-1
△=b2-4ac=(-3)2-4×5×(-1)=29>0
方程有两个不相等的实数根.
即
课堂练习
△=b2-4ac=
(2)
方程化为
方程无实数根.
课堂练习
△=b2-4ac=(-8)2-4×(-2)×(-8)=0
(3)
方程化为-2x2-8x-8=0
方程有两个相等的实数根.
a=-2,b=-8,c=-8
课堂练习
3.关于x的方程x?-2x+m=0有两个相等的实数根，则m=
.
若此方程有实数根，则m的取值范围是
.
4.如果关于x的一元二次方程kx?-2x-1=0有两个不相等的实数根，
那么k的取值范围是（
）
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
1
m≤1
B
变式：若关于x的方程kx?-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是
.
k≥-1
课堂总结
（2）用求根公式解方程的一般步骤
1.化：把方程化成一般形式；
3.求：求出b2-4ac的值。
4.套：套求根公式
5.写
:
写出方程的解
注意：公式法解一元二次方程的前提：b2-4ac≥0
2.定：确定a,b,c的值；
（1）根的判别式：△=b2-4ac
△=b2-4ac>0，方程有两个不等的实数根
△=b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根
△=b2-4ac<0，方程无实数根
板书设计
21.2.2
公式法解一元二次方程
根的判别式：
求根公式：
公式法解方程：
例2
练习
作业布置
1.必做题：教材P17
第
4、5题
2.选做题：教材P25
第
1
题
(6)、(7)
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