均值不等式(最终定稿)[1]1

(共19张PPT)
3.4 基本不等式:
华南师大附中 曲政
ICM2002会标
如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
a
b
1、正方形ABCD的
　　面积S=__________
２、四个直角三角形的
　　面积和S’ =______
３、S与S’有什么　　　
　　样的不等关系？
探究
S≥S’
a2+b2≥2ab
思考：
（1）该结论成立的条件是什么 ？
若a,b∈R，那么
（2）公式中等号成立的条件是什么？
（当且仅当a=b时，取“=”号）
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab （当且仅当a=b时，等号成立）
思考3 ：不等式左右两边有何种运算结构？
任意两数的平方和不小于它们的积的两倍
由此公式，我们可以变形为
思考：以下不等式成立吗？
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab （当且仅当a=b时，等号成立）
若a>0 b>0
（当且仅当a=b时，等号成立）
那么a + b ≥2
基本不等式的证明
1 作差比较法；
2 换元法；
3 反证法；
4 几何解释法。
探究2：
A
B
C
D
E
1、如图,AB是圆的直径，C是AB上与A、B不重合的一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,
则CD=＿＿,半径=＿＿＿＿
a
b
半弦不大于半径
２、你能用这个图形得出基本不等式
几何解释吗
O
基本不等式
当且仅当a=b时，等号成立。
算术平均数
几何平均数
1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
3.变形用
例题1
例2.(1) 已知 并指出等号
成立的条件.
(2) 已知 与2的大小关系,
并说明理由.
(3) 已知 能得到什么结论
请说明理由.
练习
1、已知a、b、c都是正数，求证：
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
1 今天这节课学了哪些主要知识？
（1）重要不等式和基本不等式各自成立的条件及结构特征 （2）基本不等式的简单应用
2 在解决问题时用了哪些方法？ （1）数形结合思想 （2）换元法、作差比较法
（3）类比、配凑等技巧
你会了吗？
思考：我们已经知道
那么，在 的条件下，你能比较
的大小吗？
由此，你可以得到什么结论呢？
必做题：(1)课本第100页练习1;
(2)习题3.4 A组第1题.
选作题：几何解释法是一种很好的证明不等式的方法，你能否再尝试一下利用其他几何图形来证明这两个不等式吗？