中小学教育资源及组卷应用平台
5.3.2
简单的轴对称图形
学案
课题
5.3.2
简单的轴对称图形
单元
第五单元
学科
数学
年级
七年级下册
学习
目标
1、了解线段垂直平分线的有关性质；
2、掌握尺规作线段垂直平分线；
3、应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．
重点
探索线段垂直平分线的有关性质．
难点
利用线段垂直平分线的有关性质解决相关实际问题．
导学过程
新知导入
1、什么是轴对称图形？
2、轴对称的性质是什么？
新知学习
探究：如图所示，线段AB是轴对称图形吗？然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O
.你发现了什么？
归纳：线段是________图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条________.
概念：垂直于一条线段，并且________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称________）
问题：线段还有其它的对称轴吗？
议一议：如图所示，点C是线段AB垂直平分线l上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？你能证明吗？
归纳：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________.
用数学语言表示为：
因为l⊥________，
AO
=________，
所以
________=BC．
例：利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
问题：你能说明这样作的道理吗？
试一试：你能利用尺规作图，找出线段AB的中点吗？
做一做：利用尺规作如图所示△ABC的重心.
提示：三角形三条中线的交点叫做三角形的________.
课堂练习
1、下列说法中,不正确的是( )
A.线段是轴对称图形
B.将线段AB对折,使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段的一条对称轴
C.一条线段可看作是以它的垂线为对称轴的轴对称图形
D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴
2、如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为( )
A．22厘米
B．16厘米
C．26厘米
D．25厘米
3、如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC＝86°，∠FAE＝19°，则∠C＝______度．
4、如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论不一定成立的是(
)
A．AE＝BE
B．AD＝AC
C．AD＝BD
D．∠BED＝90°
5、在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数．
拓展提高
如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．
知识小结
1．线段是轴对称图形，___________________________是它的一条对称轴．
2．垂直于一条线段，并且______这条线段的直线，叫做这条线段的_____________(简称__________)．
3．线段垂直平分线上的点到这条线段__________的距离________.
课后检测
1．下列说法错误的是（
）
A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点在线段的垂直平分线上
D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线
2．如图，在中，的垂直平分线交于点，如果，，那么的周长是（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
4．如图，△ABC中，AB
=
5，AC
=
6，BC
=
4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是_______．
5．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
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第五章
生活中的轴对称
北师大版
七年级下
5.3.2
简单的轴对称图形
学习目标
1、了解线段垂直平分线的有关性质；
2、掌握尺规作线段垂直平分线；
3、应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．
新知导入
1、什么是轴对称图形？
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2、轴对称的性质是什么？
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
新知讲解
探究：如图所示，线段AB是轴对称图形吗？
然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O
.
你发现了什么？
答：线段是轴对称图形．
新知讲解
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）.
线段还有其它的对称轴吗？
新知讲解
议一议：如图所示，点C是线段AB垂直平分线l上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？
AC＝BC
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为O，AO=BO，点C
在直线l上．求证：AC
=BC．
解：因为
l⊥AB，
所以
∠COA
=∠COB＝90
°
．
又
AO
=BO，OC
=OC，
所以△COA
≌△COB（SAS）．
所以AC
=BC．
新知讲解
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
用数学语言表示为：
因为l⊥AB，
AO
=BO，
所以
AC
=BC．
新知讲解
例：利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
（2）作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
?
?
A
B
C
D
作法：（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
你能说明这样作的道理吗？
垂直平分线的作图理论依据是等腰三角形的三线合一；而垂直平分线的性质就可以直接得到等腰三角形，从而简化了过程（相对三角形全等）.
新知讲解
试一试：你能利用尺规作图，找出线段AB的中点吗？
（2）作直线CD，交AB于点O.
点O就是线段AB的中点．
作法：
（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
?
?
A
B
C
D
新知讲解
做一做：利用尺规作如图所示△ABC的重心.
作法：
（1）作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；
（2）作线段AC的垂直平分线GH交AC于点E；
（3）连接AD，BE，并且AD与BE相交于点O.
点O就是△ABC的重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
课堂练习
1、下列说法中,不正确的是( )
A.线段是轴对称图形
B.将线段AB对折,使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段的一条对称轴
C.一条线段可看作是以它的垂线为对称轴的轴对称图形
D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴
C
课堂练习
2、如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为( )
A．22厘米
B．16厘米
C．26厘米
D．25厘米
A
课堂练习
3、如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC＝86°，∠FAE＝19°，则∠C＝______度．
24
4、如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论不一定成立的是(
)
A．AE＝BE
B．AD＝AC
C．AD＝BD
D．∠BED＝90°
课堂练习
B
课堂练习
5、在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数．
解：如图.
∵∠C＝90°，
∠EBC＝40°，
∴∠BEC＝50°.
又
∵ED是AB的中垂线，
∴ED⊥AB，AE＝BE，
∴∠A＝∠EBA，
课堂练习
5、在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数．
∵∠A＋∠EBA＋∠AEB＝180°，
∠AEB＋∠BEC＝180°，
∴∠BEC＝∠A＋∠EBA.
∴∠BEC＝2∠A＝50°，
∴∠A＝25°，
∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，
∴∠BED＝90°－∠EBA＝90°－25°＝65°.
拓展提高
如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．
解：∵△ABC的周长为28，
BC＝8且AB＝AC，
∴AB＋AC＋BC＝28，
即2AC＋BC＝28，
∴AC＝10.
拓展提高
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴△BCE的周长为：
BE＋EC＋BC
＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18.
即△BCE的周长是18.
如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．
1．线段是轴对称图形，___________________________是它的一条对称轴．
2．垂直于一条线段，并且______这条线段的直线，叫做这条线段的_____________(简称__________)．
3．线段垂直平分线上的点到这条线段__________的距离________.
课堂总结
垂直并且平分线段的直线
平分
垂直平分线
中垂线
两个端点
相等
作业布置
教材124--125页
习题5.4第1、2、3题中小学教育资源及组卷应用平台
5.3.2
简单的轴对称图形
学案
课题
5.3.2
简单的轴对称图形
单元
第五单元
学科
数学
年级
七年级下册
学习
目标
1、了解线段垂直平分线的有关性质；
2、掌握尺规作线段垂直平分线；
3、应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．
重点
探索线段垂直平分线的有关性质．
难点
利用线段垂直平分线的有关性质解决相关实际问题．
导学过程
新知导入
1、什么是轴对称图形？
答案：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2、轴对称的性质是什么？
答案：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
新知学习
探究：如图所示，线段AB是轴对称图形吗？然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O
.你发现了什么？
答：线段是轴对称图形．
归纳：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）
问题：线段还有其它的对称轴吗？
答：有，就是这条线段所在的直线
议一议：如图所示，点C是线段AB垂直平分线l上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？你能证明吗？
答案：AC＝BC，成立
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为O，AO=BO，点C
在直线l上．求证：AC
=BC．
解：因为 l⊥AB，
所以
∠COA
=∠COB＝90
°
．
又
AO
=BO，OC
=OC，
所以△COA
≌△COB（SAS）．
所以AC
=BC．
归纳：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
用数学语言表示为：
因为l⊥AB，
AO
=BO，
所以
AC
=BC．
例：利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
作法：（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
（2）作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
问题：你能说明这样作的道理吗？
答案：垂直平分线的作图理论依据是等腰三角形的三线合一；而垂直平分线的性质就可以直接得到等腰三角形，从而简化了过程（相对三角形全等）
试一试：你能利用尺规作图，找出线段AB的中点吗？
作法：
（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
（2）作直线CD，交AB于点O.
点O就是线段AB的中点．
?
做一做：利用尺规作如图所示△ABC的重心.
作法：
（1）作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；
（2）作线段AC的垂直平分线GH交AC于点E；
（3）连接AD，BE，并且AD与BE相交于点O.
点O就是△ABC的重心
提示：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
课堂练习
1、下列说法中,不正确的是( )
A.线段是轴对称图形
B.将线段AB对折,使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段的一条对称轴
C.一条线段可看作是以它的垂线为对称轴的轴对称图形
D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴
答案：C
2、如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为( )
A．22厘米
B．16厘米
C．26厘米
D．25厘米
答案：A
3、如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC＝86°，∠FAE＝19°，则∠C＝______度．
答案：24
4、如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论不一定成立的是(
)
A．AE＝BE
B．AD＝AC
C．AD＝BD
D．∠BED＝90°
答案：B
5、在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数．
解：如图.
∵∠C＝90°，
∠EBC＝40°，
∴∠BEC＝50°.
又
∵ED是AB的中垂线，
∴ED⊥AB，AE＝BE，
∴∠A＝∠EBA，
∵∠A＋∠EBA＋∠AEB＝180°，
∠AEB＋∠BEC＝180°，
∴∠BEC＝∠A＋∠EBA.
∴∠BEC＝2∠A＝50°，
∴∠A＝25°，
∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，
∴∠BED＝90°－∠EBA＝90°－25°＝65°.
拓展提高
如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．
解：∵△ABC的周长为28，
BC＝8且AB＝AC，
∴AB＋AC＋BC＝28，
即2AC＋BC＝28，
∴AC＝10.
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴△BCE的周长为：
BE＋EC＋BC
＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18.
即△BCE的周长是18.
知识小结
1．线段是轴对称图形，___________________________是它的一条对称轴．
2．垂直于一条线段，并且______这条线段的直线，叫做这条线段的_____________(简称__________)．
3．线段垂直平分线上的点到这条线段__________的距离________.
答案：1.垂直并且平分线段的直线
2.平分；垂直平分线；中垂线
3.两个端点；相等
课后检测
1．下列说法错误的是（
）
A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点在线段的垂直平分线上
D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线
答案：D
2．如图，在中，的垂直平分线交于点，如果，，那么的周长是（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
答案：C
3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
答案：D
4．如图，△ABC中，AB
=
5，AC
=
6，BC
=
4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是_______．
答案：10
5．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
解：（1），
，
点E是CD的中点，
，
在和中，，
，
；
（2）由（1）已证：，
，
又，
是线段AF的垂直平分线，
，
由（1）可知，，
．
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