第四章
指数函数与对数函数
【4.2.1
指数函数的概念】
基础闯关
务实基础
达标检测
题型一
指数函的概念
1、下列函数一定是指数函数的是（）
A.
B.
C.
D.
2、指数函数的图象经过点，那么（
）
A．8
B．16
C．32
D．64
3、函数是指数函数，则（
）
A．a＝1或a＝2
B．a＝1
C．a＝2
D．a>0且a≠1
4、已知函数，则的值为（
）
A．81
B．27
C．9
D．
题型二
求指数函数解析式
5、若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．且
D．
6、已知且（且）的图象经过点.
（1）求的值；
（2）已知，求.
题型三
指数函数的应用
7、放射性物质的半衰期定义为每经过时间，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质，，开始记录时容器中物质的质量是物质的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质的半衰期为7.5小时，则物质的半衰期为（
）
A．10
小时
B．8
小时
C．12
小时
D．15
小时
8、一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝后，血液中的酒精含量以每小时％的速度减少．为保障交通安全,法律规定,驾驶员血液中的酒精含量不得超．那么此人至少过 小时才能开车(精确到1小时)．
9、某车间产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P=P02-kt(其中P0表示初始废气中污染物数量).经过5
h后,经测试,消除了20%的污染物.问:
（1）15
h后还剩百分之几的污染物?
（2）污染物减少36%需要花多长时间?
能力提升
思维拓展
探究重点
1、已知指数函数满足，定义域为R的函数．
（1）求，的解析式；
（2）判断函数的奇偶性；
2、已知函数的图象经过点其中
（1）求a的值；
（2）若,求x的取值范围.
已知函数是指数函数.
求的解析式；
判断的奇偶性，并加以证明.
4、已知函数，a为常数，且函数的图象过点（–1，2）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=4–x–2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．第四章
指数函数与对数函数
【4.2.1
指数函数的概念】
基础闯关
务实基础
达标检测
题型一
指数函的概念
1、下列函数一定是指数函数的是（）
A.
B.
C.
D.
【解析】A：中指数是，所以不是指数函数，故错误；
B：是幂函数，故错误；
C：中底数前系数是，所以不是指数函数，故错误；
D：属于指数函数，故正确.
故选：D.
2、指数函数的图象经过点，那么（
）
A．8
B．16
C．32
D．64
【解析】设指数函数f（x）=ax（a>0，a≠1），由函数图象经过点（–2，），可得a–2=，解得a=2．所以函数的解析式为y=2x，所以f
（4）f（2）=24×22=64．故选D．
3、函数是指数函数，则有（
）
A．a＝1或a＝2
B．a＝1
C．a＝2
D．a>0且a≠1
【解析】函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数,根据指数函数的定义得到a2－3a＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.故答案为：C.
4、已知函数，则的值为（
）
A．81
B．27
C．9
D．
【解析】，∴.故选A.
题型二
求指数函数解析式
5、若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．且
D．
【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，
解得且.故选C
6、已知且（且）的图象经过点.
（1）求的值；
（2）已知，求.
解析：（1）由的图象经过点得
，又，所以
（2）由（1）得，由，
得，解得（舍去）
由解得.
题型三
指数函数的应用
7、放射性物质的半衰期定义为每经过时间，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质，，开始记录时容器中物质的质量是物质的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质的半衰期为7.5小时，则物质的半衰期为（
）
A．10
小时
B．8
小时
C．12
小时
D．15
小时
【解析】由题意得16．又不妨设mB＝1．则mA＝2．
设物质B的半衰期为t．由题意可得：2，解得t＝8．故选：B．
8、一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝后，血液中的酒精含量以每小时％的速度减少．为保障交通安全,法律规定,驾驶员血液中的酒精含量不得超．那么此人至少过 小时才能开车(精确到1小时)．
【解析】设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，则有，即,一一取x=1，2，3，…进行估算或取对数计算得5小时后，可以开车
9、某车间产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P=P02-kt(其中P0表示初始废气中污染物数量).经过5
h后,经测试,消除了20%的污染物.问:
（1）15
h后还剩百分之几的污染物?
（2）污染物减少36%需要花多长时间?
解析：(1)由题意得P02-5k=(1-20%)P0,
则2-5k=0.8,故当t=15时,P=P0·2-15k=P0·(2-5k)3=(80%)3P0=51.2%P0.
故15
h后还剩51.2%的污染物.
(2)由题意得P02-kt=(1-36%)P0,
即=0.64,所以=0.64,所以=2,即t=10,故污染物减少36%需要花10
h.
能力提升
思维拓展
探究重点
1、已知指数函数满足，定义域为R的函数．
（1）求的解析式；
（2）判断函数的奇偶性；
【详解】解：根据题意，函数为指数函数，设，
若，则，解可得，则，，
由的结论，，
则，函数为奇函数；
2、已知函数的图象经过点其中
（1）求a的值；
（2）若,求x的取值范围.
解析：（1）∵函数的图象经过点，即，可得；
（2）由（1）得，即
，，
已知函数是指数函数.
求的解析式；
判断的奇偶性，并加以证明.
解析：（1），可得或（舍去），；
（2）=
，
是奇函数。
4、已知函数，a为常数，且函数的图象过点（–1，2）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=4–x–2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．
解析：（1）由已知得，解得.
（2）由（1）知，又，则，即，即，
令，则，又因为，解得，即，解得.
