第四章
指数函数与对数函数
【4.5
函数的应用（二）】
基础闯关
务实基础
达标检测
题型一
求函数的零点
1、已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0
B．－2,0
C.
D．0
2、已知函数，那么方程f（x）＝0的解是（
）
A．
B．x＝1
C．x＝e
D．x＝1或x＝e
3、若函数的零点是（），则函数的零点是（
）
A．
B．和
C．
D．和
题型二
判断零点个数及所在区间
4、函数的零点所在的区间为（
）
A．B．
C．D．
5、函数的零点个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
6、方程的实根的个数为________．
题型三
根据零点情况求参数的取值范围
7、已知关于的方程有两个不同的实根，且，则实数=
．
8、已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9、已知函数（且）与的图象有两个交点，求实数的取值范围.
能力提升
思维拓展
探究重点
1、已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，求实数的取值范围．
2、已知函数，其中a∈R，且a≠0
（1）设h(x)=(2x－3)f
(x)，若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；
（2）求函数y=｜f（x）｜在[0，1]上最大值．
3、已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞－2x的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．第四章
指数函数与对数函数
【4.5
函数的应用（二）】
基础闯关
务实基础
达标检测
题型一
求函数的零点
1、已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0
B．－2,0
C.
D．0
【答案】 D
【解析】 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．
综上所述，函数零点为0.
2、已知函数，那么方程f（x）＝0的解是（
）
A．
B．x＝1
C．x＝e
D．x＝1或x＝e
【答案】C
【解析】依题意，所以.故选：C
3、若函数的零点是（），则函数的零点是（
）
A．
B．和
C．
D．和
【答案】B
【解析】由条件知，∴，∴的零点为和.故选B.
题型二
判断零点个数及所在区间
4、函数的零点所在的区间为（
）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，，，由零点的存在性定理，函数在区间内有零点，选择B
5、函数的零点个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【解析】
由，由，
所以函数的零点个数为2，故选B.
6、方程的实根的个数为________．
【答案】2个
【解析】方程的实根个数可转为函数和的交点个数，
在同一坐标系中作出和的图像，
如图，可得交点个数为2个，
故方程的实根个数是2个，
故答案为：2个
题型三
根据零点情况求参数的取值范围
7、已知关于的方程有两个不同的实根，且，则实数=
．
【答案】6
【解析】由得：，由题设知，
因为，所以，所以
因为，所以不合题意，舍去，所以答案应填：6．
8、已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数在区间内有唯一零点，
故在区间上只有一个根.
又在上单调递减，其值域为.
故要满足题意，只需.故选：D.
9、已知函数（且）与的图象有两个交点，求实数的取值范围.
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①时，函数的草图如图：
若且与的图象有两个交点，
必有，即，
又由，故；
②时，函数的草图如图：
，
若且与的图象有两个交点，必有，分析可得，
综合可得：的取值范围为．
能力提升
思维拓展
探究重点
1、已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】因为在上单调递增，因为函数的零点在区间内，
所以，即，
解得，所以实数的取值范围是．
2、已知函数，其中a∈R，且a≠0
（1）设h(x)=(2x－3)f
(x)，若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；
（2）求函数y=｜f（x）｜在[0，1]上最大值．
【解析】（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2－4=0，解得a=±2；
（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，
代入得，
解得，检验满足Δ＞0；
综上所述，a的了取值集合为．
（Ⅱ）（1）若，即a≥0时，
函数y=｜f（x）｜在[0，1]上单调递增，
故；
（2）若，即－2＜a＜0时，
此时，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；
故，
（3）若，即a≤－2时，
此时f（1）=2+a≤0，，
综上所述，
3、已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞－2x的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．
解析：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x－1）（x－3），且a＜0．因而．①
由方程f（x）+6a=0得．②
因为方程②有两个相等的根，所以，
即．解得a=1或．
由于a＜0，a=1，舍去，故．
将代入①得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由
及a＜0，可得f（x）的最大值为．
由，解得或．
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．
