4.3.1 对数的概念教案-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）必修第一册

4.3.1
对数的概念
教案
　一、内容与内容解析
　　1．内容：
　　对数的定义、表示法、性质，以及指、对数之间的关系．
　　2．内容解析：
　　16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中发明了对数，为数学家们在运算中赢得了时间与精力．对数发明20多年后法国数学家笛卡尔开始使用指数符号，数学家们开始关注指、对数之间的关系．直到18世纪，瑞士数学家欧拉才发现了指数与对数的互逆关系，他首先使用y=?来定义．至此，人们彻底揭示了对数本质，完善了指、对数的知识体系和数学运算体系．对数的发明先于指数，也成为数学史上的珍闻．
　　事实上，对数的本质是一种运算．随着人们对指数的认识的不断深入，总会遇到诸如“在方程=2中求解x”的问题，即“已知底数和幂的值，求指数”．在数学运算体系的建立过程中，人们也经历了多次类似的情况，例如在加法运算中已知一个加数与和，求另一个加数时引入了“差”的概念；在乘法运算中已知一个因数与积，求另一个因数时引入了“商”的概念；在乘方运算中已知指数与幂，求底数时引入了“数的n次方根”的概念．
　　在计算机发明以前，以10为底的对数在复杂的数值计算中是常用的工具，故有“常用对数”之名，常用对数是纳皮尔和他的朋友布里格斯一起商定得出的．另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e=2.71828…为底的对数，以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以称之为“自然对数”．
　　欧拉指出：“对数源出于指数”，也就是说对数与指数之间存在必然的联系：当a>0，且a≠1时，．利用这一关系，我们可以实现对数式与指数式之间的互化．代数学的根源在于运算，“运算中的不变性、规律性”是发现“代数性质”的引路人，通过这种互化运算，我们可以得出对数的下列性质：
　　（1）负数和0没有对数．
　　当对数中的真数N为负数或者0时，对数没有意义．这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数．因而=N中的N总是正数．
　　（2）（a>0，a≠1）．
　　指数式中存在着诸如及的性质，将这两个指数式化为对数式即可得到对数的上述性质．
　　从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力．建立对数与指数之间联系的过程表明，使用较好的符号体系和运算规则不仅对数学的发展至关重要，而且可以大大减轻人们的思维负担．
　　因此，本节课的教学重点是：以“指数与对数的关系”为指引，发现和应用对数的概念．
　　二、目标与目标解析
　　1.目标：
　　（1）了解对数产生的历史及背景，体会对数概念提出的必要性，发展数学人文素养；
　　（2）经历概念的形成过程，理解对数的概念，发展数学抽象核心素养；
　　（3）理解指、对数的关系，掌握指、对数式的互化，发展数学运算核心素养．
　　2.目标解析
　　（1）学生知道对数发明的历史，能在求解诸如=2的方程中体会到对数概念提出的必要性；
　　（2）学生能将所求方程中的x准确表示出来，能认识和表示常用对数和自然对数；
　　（3）学生能清楚指出指、对数之间所具有的关系，在指、对数式中指明各个字母的意义，能熟练地进行指、对数的互化．通过两式的互化，能够得出和证明对数的性质．
　　三、教学问题诊断分析
　　本节课第一个学习难点是对数概念，虽然学生可以根据以往经验提出新概念建立的必要性，但是就像差、商、数的n次方根等概念的提出一样，每一次新概念的提出都与学生以前的认知产生矛盾，因此需要适应和熟悉，而这样的过程在对数这一概念上显得尤为漫长．在以往的学习过程中，涉及“差”的概念的减法是加法的逆运算，涉及“商”的概念的除法是乘法的逆运算，涉及“数的n次方根”的概念的开方运算是乘方的逆运算，对于对数这一概念，可以类比以往的互逆运算的关系进行认识．即使这样，减法、除法、开方等运算还是比较直观、容易理解的，但是由于对数所处运算级别较高，因此在教学中需要反复训练，使得学生尽快熟悉．
　　第二个学习难点是在对指、对数的关系的认识上，学生往往只在表面上认识了对数概念，没有紧扣定义，充分发掘定义中指、对数之间的关系．为此可以借助图表、式中连线等简单直观的方式对指、对数式进行对照，在此过程中学生可以进一步理解对数概念，揭示指、对数之间的关系，特别是在对字母x的认识中可以明确“对数即指数”这一本质；也可以借助已有知识进行突破，例如借助指数函数中的变量对应关系揭示指、对数之间的关系．
　　四、教学支持条件
　　本节课的教学用到了Geogebra数学软件，可以帮助学生对相关问题形成直观感受．
　　五、教学过程设计
　　（一）概念的引入
　　问题1：在4．2．1的问题中，通过指数运算，我们能从y=中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
　　师生活动：学生利用指数函数写出2=、3=、4=的方程，但是不会求解方程．
　　追问1：若=2，这里的x存在吗？唯一吗？能否借助已有知识解释？你能表示它吗？
　　师生活动：学生借助指数函数图象可以感受到x的存在，但不会对其表示．
　　由指数函数图象可知x唯一存在，但利用已有知识不能解释．
　　技术支持：利用Geogebra数学软件画出函数图象，通过对点的标记感受对数的真实存在．
　　
　　追问2：回顾为什么要学习减法、除法、开方运算？并类比思考如何解决上面这个问题？
　　师生活动：学生回顾运算学习轨迹，得出答案．
　　回顾一下同学们对于运算的学习轨迹：在加法运算a+x=N中求解x时定义了减法及它的运算结果“差”的概念；在乘法运算ax=N中求解x时定义了除法及它的运算结果“商”的概念；在乘方运算=N中求解x时定义了开方及它的运算结果“数的n次方根”的概念。现在我们想从=N中求解x，也需要定义一种新的概念．
　　追问3：请同学们阅读教科书对数概念部分，并回答下列问题：
　　（1）在上面的问题中，如果4=，则x如何表示？是什么含义？
　　（2）什么是常用对数和自然对数，它们如何表示？
　　师生活动：学生结合阅读内容回答问题．
　　定义：一般地，如果=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
　　（1）x可以表示为：，含义是：以1.11为底4的对数；
　　（2）以10为底的对数称为常用对数，我们把记为lgN，以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，我们把记为lnN．
　　设计意图：通过情境设置使学生感受对数概念引入的必要性，并获得定义，初步理解，会利用定义进行表示．
　　（二）概念的精致
　　问题2：欧拉指出：“对数源出于指数”，结合定义，你是如何理解这句话的？利用这种关系，你可以得出对数的哪些性质？
　　师生活动：学生可以用自己的语言，根据定义说明指、对数的关系，但是解释并不彻底．
　　追问1：能否利用较为简洁的形式表达出指数、对数之间的这种关系？
　　师生活动：教师给出基本形式，比如表格形式，或者图的形式，让学生找出它们的关系．
　　当a>0，a≠1时，．两者在形式上有所不同，同时在字母名称上也有差别．由图可知，对数即指数．
?
式子
名称
a
x
N
指数式
ax=N
底数
指数
幂
对数式
x=logaN
底数
对数
真数
　　追问2：利用这一关系，结合指数函数的性质，请你谈谈是否所有的实数都有对数呢？例如，，那么-3或0的对数分别是多少？据此你能得到什么结论呢？
　　师生活动：学生通过对指数函数性质进行分析，得出猜想．
　　因为不存在x，使得2x=-3以及2x=0，所以对数中的真数N>0，即负数与零没有对数．
　　追问3：指数具有如下两个性质：根据它们你能得到对数的什么性质？
　　师生活动：学生自主完成，交流展示．
　　=1
(a>0且a≠1)；loga1=0
(a>0且a≠1)．
　　设计意图：根据指数、对数的关系，探索发现对数的本质，培养学生会用简洁直观的形式发现事物之间的联系，巩固对新、旧概念的认识，加强对新概念的应用，体会转化思想在对数计算中的作用．
　　（三）概念的应用
　　例1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
　　
　　追问：转化的依据是什么？
　　师生活动：依据对数的定义．
　　解：
　　例2．求下列各式中x的值：
　　
　　问题3：根据例2的解题过程，结合例1，请你谈谈你是如何求解其中的未知数的？依据是什么？
　　师生活动：学生结合做题经验回答问题．
　　对于方程中的求解对象，即未知数x，可以依据对数的概念通过将对数式化为指数式，将对数问题转化为我们熟悉的指数问题，利用指数运算性质求解．
　　设计意图：使学生通过实例进一步熟悉对数式与指数式的互化，加深对式中各字母意义的理解．引导学生经历数学运算的处理过程，使其在明晰运算对象的基础上，借助有效运算方法，依据运算法则解决运算问题，养成程序化思考问题的习惯．
　　（四）拓展延伸
　　问题4：阅读教科书“阅读与思考”部分的材料《对数的发明》，了解对数的发明史，请你谈谈为何“对数的思想方法在今天仍然具有生命力”?
　　师生活动：学生讨论，交流成果．
　　对数的思想方法，即将高级别运算转化为低级别运算，表现在把乘方、乘法运算分别转化为乘法、加法运算，体现了化归的数学思想．
　　追问：对数是如何把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算的？计算8388608×128，你是否有好的计算方案呢？
　　师生活动：部分学生开始进行乘法运算，教师引导学生通过观察表格中的数字的对应关系，利用指数运算快速求解．
　　
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2x
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2x
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
262144
524288
1048576
x
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2x
2097152
4194304
8388608
16777216
33554432
67108864
134217728
268435456
536870912
1073741824
　　观察上面的式子，我们原本进行的是乘法运算，发展到后面成为了加法运算，这样的运算方式帮我们把较大数字的乘法运算转化为较小数字的加法运算，这一思想恰恰是当年数学家发明对数的指导思想．由于对数的引入，使得乘除法运算降级为加减法运算，乘方运算降级为乘法运算，这一特征同学们可以在下节课——对数的运算性质中感受到．
　　设计意图：介绍数学史的内容，使得学生初步感受对数发明的思想，为下一节课《对数的运算》做好铺垫．
　　（五）归纳小结
　　问题5：回顾本节课的内容，回答下列问题：
　　（1）对数概念是如何提出来的？它对发现和提出问题有什么启示？
　　（2）指、对数之间有何关系？利用这种关系可以帮助我们解决什么问题？
　　师生活动：由学生根据学习过程总结，教师予以完善．答案略。
　　设计意图：引导学生对所学知识进行梳理，通过经历知识的形成过程归纳数学概念的学习思想和方法，培养学生对数学概念的学习能力．
　　（六）目标检测设计
　　
　　设计意图：检验学生对于对数概念及性质的认识.
　　六、布置作业
　　1．课后习题；
　　2．预习《4．3．2
对数的运算》，体会对数运算的降级特征；
　　3．阅读教科书“文献阅读与数学写作”部分的材料《对数概念的形成与发展》，写一篇数学小论文．