4.3.2
对数的运算
教案
一、内容与内容解析
1.内容:
对数的运算性质以及换底公式.
2.内容解析:
数及其运算是推动数学发展的重要源泉和动力之一,是数学的基石.在对数的概念中,我们了解到:指数与对数存在着不可分割的关系,因此对数运算与指数幂运算也是紧密相连的.
对数的运算性质是进行对数计算的重要依据.指数幂运算和对数运算是两类重要的运算,指数幂运算源于数的自乘,对数则是指数幂中指数的等价表示形式,因此,利用指数运算性质可以得出相应的对数运算性质:
上述对应关系可从下面的推导过程中实现:
对数概念的提出,进一步的完善了数学运算体系.在算术运算中,运算有等级之分,加法、减法为一级运算,乘法、除法为二级运算,乘方、开方、对数为三级运算.从上述对数运算性质中,我们可以清晰地认识到对数在处理运算中的降级特征:对数中真数的乘、除、乘方运算,可以转化为对数的加、减、乘法运算.当然,对于这一特征的理解,还是要结合指、对数的关系进行:在指数式中,真数即为幂,对数即为指数,指数幂运算中的“同底数幂相乘”即为“真数相乘”,“指数相加”即为“对数相加”.
数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数.现在,利用计算工具,也可以直接求出任意正数的常用对数和自然对数.对数的换底公式是进行对数运算的重要基础,利用此公式可将其他底的对数转化为以10或e为底的对数,从而方便地求出这些对数.
因此,本节课的教学重点是:以“指数与对数的关系”为指引,学习和应用对数的运算性质以及换底公式.
二、目标与目标解析
1.目标:
(1)经历对数运算性质的形成过程,理解对数的运算性质,体会对数运算的降级特征;
(2)经历换底公式的形成过程,理解换底公式,体会换底公式在对数求值中的作用;
(3)可以利用对数的运算性质、换底公式解决问题,发展数学运算核心素养.
2.目标解析:
(1)学生知道对数的运算与指数幂运算的关系,能在明晰指数幂的运算性质的基础上推导得出对数的运算性质,在应用的过程中结合数学史的相关内容体会对数运算的降级特征,理解数学家发明对数的初衷;
(2)学生能指出换底公式的作用,能推导得出换底公式;
(3)学生会用对数的运算性质解决问题,能进行对数间的化简、运算,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
三、教学问题诊断分析
本节课第一个学习难点是对数的运算性质的推导,学生对于对数的运算性质的困惑主要在于对于对数概念的不熟悉,为了解决此问题,还是要紧扣指、对数之间的关系,结合指数幂的运算性质进行学习.在三个运算性质中,教师可以引导第一个性质的推导,其余的性质由学生仿照得出,在推导的过程中,可以将指数幂和对数的运算性质对照列出,以便学生理解.
第二个学习难点是对数的换底公式的推导,教科书为此设计了一组探究活动.教学时,可以充分利用这组探究活动,使得学生逐步感受提出换底公式的必要性,经历由特殊到一般的过程推导得出换底公式.
四、教学过程设计
(一)探索对数的运算性质
引导语:研究数的基本套路应该是,先认识数,规定运算,然后研究性质以简化运算.
问题1:在引入对数之后,自然应研究对数的运算性质,我们已经知道了对数与指数间的关系,能否利用指数运算性质得出相应的对数运算性质呢?
师生活动:教师引导学生回忆指数运算性质以及指、对数的关系,学生初步感受对数运算与指数运算的联系.
追问1:利用对数与指数的关系,你能将指数幂的运算性质“”中所有指数式转化为对数式吗?看一看它们之间有什么关系,由此可得关于对数的什么关系?
师生活动:先由学生尝试解决,然后进行展示,教师帮助或者由教师进行推导.
追问2:仿照上面的推导过程,对照指数幂另外两个运算性质,你能得出对数运算的其他性质吗?请加以证明.
师生活动:学生独立完成,集中进行展示、修改.
指数幂的运算性质有:现将各式化为对数形式可得:
于是得到对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
设计意图:类比指数幂的运算性质得出对数的运算性质,培养学生从已有知识获得研究新知识的思路与方法的能力.
(二)性质的初步应用
例1
求下列各式的值:
追问:根据题目中运算对象的特点,应该选择哪条运算性质作为依据?
师生活动:观察题目中运算对象的特点,(1)题应该选择第3条性质,(2)题应选择第(1)个性质,之后根据化简的情况再进行选择.
例2
追问:类比例1,本题可以依据对数运算的哪些性质?
师生活动:观察目标式,应该先选用对数运算的第2条性质,之后再选择第1条,最后选择第3条进行化简.
(三)探索对数换底公式
问题2:根据对数的定义,你能用(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
吗?
师生活动:学生独立思考,存在困难.
追问1:根据对数的定义,你能利用ln2,ln3表示吗?首先应该对哪个数进行变形?变形的方向是什么?
师生活动:学生尝试先对进行转换,教师加以指导.
追问2:如果我们通过查表或者利用计算工具得知ln2,ln3的值,能否求得的近似值呢?
师生活动:学生借助以上关系进行求解.
追问3:现在,你能类比上述过程完成问题2了吗?请你试一试.
师生活动:学生仿照追问1中的变换过程由特殊到一般进行推导.
我们把上式叫做对数换底公式.
教师讲解:数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过查表就能求出任意正数的常用对数和自然对数.这样,如果能将其他底的对数转化为以10或e为底的对数,就能方便地求出这些对数.现在,利用计算工具,也可以直接求出任意底的对数.
追问4:在4.2.1的问题1中,求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍,就是计算x=
log1.112的值,现在你可以通过哪些方式求得最后的结果?
师生活动:学生独立思考得出解决办法,集中展示.教师提示学生设法利用刚获得的公式.
可以借助计算器求解;也可以借助对数换底公式将原对数换为常用对数或者自然对数,通过查表求解.例如,由此可得,大约经过7年,B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.
设计意图:借助对数的定义,在指、对数式互化的过程中由特殊到一般推导对数换底公式,同时使学生感受换底公式在对数求值中的作用.
例3?尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?
追问:本题的求解对象是什么?如何将此对象与已知条件建立关系?
师生活动:本题的求解对象是地震释放能量的倍数,即E的比值,条件中的E存在于常用对数的真数位置,若对此比值取常用对数,可借助对数运算性质转化为各自对数之差的形式.
解:设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅差1级,但前者释放出来的能量却约是后者的32倍.
(四)归纳小结
问题3:回顾本节课的内容,回答下列问题:
(1)对数有哪些运算性质?它们和指数幂的运算性质有什么联系?
(2)什么是对数的换底公式,它有什么作用?
(3)指、对数之间有何关系?利用这种关系可以帮助我们解决什么问题?
师生活动:学生总结,教师完善。
(1)对数有三条运算性质,它们分别对应于指数幂的三条运算性质;
(2)式子(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)称为换底公式.利用它可将任意对数化为常用对数、自然对数以及需要的对数;
(3)指、对数是等价的,指、对数式之间可以相互转化,利用这种关系可以结合指数幂的结论研究对数的相关结论.
设计意图:引导学生对所学知识进行梳理,通过回顾知识的形成过程归纳运算性质的学习思想和方法,培养学生从已有知识中发现和验证新知识的能力.
(五)目标检测设计
证明:
设计意图:检验学生对于对数换底公式的掌握情况.
五、布置作业
习题4.3
第3,4,5,6,7题.