1.2空间向量基本定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 1.2空间向量基本定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 217.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-01 22:14:18 | ||
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文档简介
1.2空间向量基本定理
一、单选题
1．已知空间四边形false，其对角线false、false，false、false分别是边false、false的中点，点false在线段false上，且使false，用向量false，表示向量false 是false false
A．false B．false
C．false D．false
2．以下四个命题中正确的是（ ）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若false为空间向量的一组基底，则false构成空间向量的另一组基底
C．false为直角三角形的充要条件是false
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
3．对于空间任意一点false和不共线的三点false，false，false，且有false，则false，false，false是false,false,false,false四点共面的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在四面体false中，false为false中点，false，若false，false，false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
5．一个向量false在基底false下的坐标为false，则false在基底false下的坐标为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为
A．false B．false C．false D．false
7．若false，false，false是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是
A．false，2false，3false B．false+false，false，false
C．false+2false，2false+3false，3false﹣9false D．false+false+false，false，false
8． 已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为( )
A．12,32,3 B．32,?12,3
C．3,?12,32 D．?12,32,3
二、填空题
9．如图，平行六面体false中，false,false,则false__________．
10．如图，在空间四边形false中，false，false分别为false、false的中点，点false在线段false上，且false，用向量false、false、false表示向量false，设false，则false、false、false的和为______.
11．下列四个命题：（1）已知向量false是空间的一组基底，则向量false也是空间的一组基底；（2） 在正方体false中，若点false在false内，且false，则false的值为1；（3） 圆false上到直线false的距离等于1的点有2个；（4）方程false表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.
12．如图，在三棱锥false中，已知false，false，设false，则false的最小值为 .
三、解答题
13.已知向量 a=(?4,2,4),b=(?6,3,?2)
（1）求 |a| ；
（2）求向量 a 与 b 夹角的余弦值.
14.平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 60° .
（1）求 AC1 的长；
（2）求异面直线 BD1 与 AC 夹角的余弦值.
15.如图，设O是?ABCD所在平面外的任一点，已知OA→=a→ ， OB→=b→ ， OC→=c→你能用a→,b→,c→表示OD→吗？若能，用a→,b→,c→表示出OD→；若不能，请说明理由．
16.已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′．求证：AC→+AB→+AD→=2AC→ ．
参考答案
1.C2．B3．B4．D5．B6．B7．C8．B9．false10．false11．(1)(2)(4)12．false
13.【答案】 （1）解：因为 a=(?4,2,4) 所以 |a|=(?4)2+22+42=36=6 .
（2）解：因为 a=(?4,2,4),b=(?6,3,?2) ，
所以 a?b=(?4,2,4)?(?6,3,?2)=24+6?8=22 ，
又因为 |a|=6,|b|=(?6)2+32+(?2)2=7 ，
所以 cos=226×7=1121
故 a 与 b 夹角的余弦值为 ?23
【解析】（1）可以直接利用向量的模长计算公式得到答案；
（2）中可以利用坐标向量的数量积表达公式得到答案。
14.【答案】 （1）解：记 AB ＝a， AD ＝b， AA1 ＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝ 12 ．
| AC1 |2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2× (12+12+12) ＝6，
∴| AC1 |＝ 6 ，即AC1的长为 6 ．
（2）解： BD1 ＝b＋c－a， AC ＝a＋b，∴| BD1 |＝ 2 ，| AC |＝ 3 ，
BD1 · AC ＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos〈 BD1 ， AC1 〉＝ BD1?AC|BD1|?|AC| ＝ 66 ．
∴AC与BD1夹角的余弦值为 66 ．
【解析】（1）记 AB ＝a， AD ＝b， AA1 ＝c，并将其作为一组基底，利用空间向量的基本定理表示出 AC1 ，然后利用向量的模长计算公式及数量积的运算律即可求解；（2）利用向量夹角求两条异面直线夹角，但注意向量夹角为锐角或直角时两者相等，当向量夹角为钝角时，两者互补．
15.【答案】 解：根据向量加法与减法的几何意义，得；
向量OA→+AD→=OD→ ， BC→=OC→﹣OB→；
又在平行四边形ABCD中，AD→=BC→ ，
∴OD→=OA→+AD→
=OA→+BC→
=OA→+OC→﹣OB→
=a→﹣b→+c→ ．
∴能用a→,b→,c→表示出OD→ ．
【解析】根据向量的加法与减法的几何意义，得出用a→,b→,c→表示OD→的线性表示。
16.【答案】 证明：如图所示，
平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，
AB→+AD→=AC→ ，
∴AC→+AB→+AD→=AC→+AC→=2AC→ ．
【解析】根据题意，画出图形，结合图形，利用向量的合成法则，即可证出结论。
一、单选题
1．已知空间四边形false，其对角线false、false，false、false分别是边false、false的中点，点false在线段false上，且使false，用向量false，表示向量false 是false false
A．false B．false
C．false D．false
2．以下四个命题中正确的是（ ）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若false为空间向量的一组基底，则false构成空间向量的另一组基底
C．false为直角三角形的充要条件是false
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
3．对于空间任意一点false和不共线的三点false，false，false，且有false，则false，false，false是false,false,false,false四点共面的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在四面体false中，false为false中点，false，若false，false，false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
5．一个向量false在基底false下的坐标为false，则false在基底false下的坐标为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为
A．false B．false C．false D．false
7．若false，false，false是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是
A．false，2false，3false B．false+false，false，false
C．false+2false，2false+3false，3false﹣9false D．false+false+false，false，false
8． 已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为( )
A．12,32,3 B．32,?12,3
C．3,?12,32 D．?12,32,3
二、填空题
9．如图，平行六面体false中，false,false,则false__________．
10．如图，在空间四边形false中，false，false分别为false、false的中点，点false在线段false上，且false，用向量false、false、false表示向量false，设false，则false、false、false的和为______.
11．下列四个命题：（1）已知向量false是空间的一组基底，则向量false也是空间的一组基底；（2） 在正方体false中，若点false在false内，且false，则false的值为1；（3） 圆false上到直线false的距离等于1的点有2个；（4）方程false表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.
12．如图，在三棱锥false中，已知false，false，设false，则false的最小值为 .
三、解答题
13.已知向量 a=(?4,2,4),b=(?6,3,?2)
（1）求 |a| ；
（2）求向量 a 与 b 夹角的余弦值.
14.平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 60° .
（1）求 AC1 的长；
（2）求异面直线 BD1 与 AC 夹角的余弦值.
15.如图，设O是?ABCD所在平面外的任一点，已知OA→=a→ ， OB→=b→ ， OC→=c→你能用a→,b→,c→表示OD→吗？若能，用a→,b→,c→表示出OD→；若不能，请说明理由．
16.已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′．求证：AC→+AB→+AD→=2AC→ ．
参考答案
1.C2．B3．B4．D5．B6．B7．C8．B9．false10．false11．(1)(2)(4)12．false
13.【答案】 （1）解：因为 a=(?4,2,4) 所以 |a|=(?4)2+22+42=36=6 .
（2）解：因为 a=(?4,2,4),b=(?6,3,?2) ，
所以 a?b=(?4,2,4)?(?6,3,?2)=24+6?8=22 ，
又因为 |a|=6,|b|=(?6)2+32+(?2)2=7 ，
所以 cos
故 a 与 b 夹角的余弦值为 ?23
【解析】（1）可以直接利用向量的模长计算公式得到答案；
（2）中可以利用坐标向量的数量积表达公式得到答案。
14.【答案】 （1）解：记 AB ＝a， AD ＝b， AA1 ＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝ 12 ．
| AC1 |2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2× (12+12+12) ＝6，
∴| AC1 |＝ 6 ，即AC1的长为 6 ．
（2）解： BD1 ＝b＋c－a， AC ＝a＋b，∴| BD1 |＝ 2 ，| AC |＝ 3 ，
BD1 · AC ＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos〈 BD1 ， AC1 〉＝ BD1?AC|BD1|?|AC| ＝ 66 ．
∴AC与BD1夹角的余弦值为 66 ．
【解析】（1）记 AB ＝a， AD ＝b， AA1 ＝c，并将其作为一组基底，利用空间向量的基本定理表示出 AC1 ，然后利用向量的模长计算公式及数量积的运算律即可求解；（2）利用向量夹角求两条异面直线夹角，但注意向量夹角为锐角或直角时两者相等，当向量夹角为钝角时，两者互补．
15.【答案】 解：根据向量加法与减法的几何意义，得；
向量OA→+AD→=OD→ ， BC→=OC→﹣OB→；
又在平行四边形ABCD中，AD→=BC→ ，
∴OD→=OA→+AD→
=OA→+BC→
=OA→+OC→﹣OB→
=a→﹣b→+c→ ．
∴能用a→,b→,c→表示出OD→ ．
【解析】根据向量的加法与减法的几何意义，得出用a→,b→,c→表示OD→的线性表示。
16.【答案】 证明：如图所示，
平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，
AB→+AD→=AC→ ，
∴AC→+AB→+AD→=AC→+AC→=2AC→ ．
【解析】根据题意，画出图形，结合图形，利用向量的合成法则，即可证出结论。