2.1直线的倾斜角和斜率-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2.1直线的倾斜角和斜率-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 158.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-02 21:20:22 | ||
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文档简介
2.1直线的倾斜角和斜率
一、单选题
1．已知直线false和false互相平行，则false( )
A．false B．false C．false，false D．false，false
2．已知两点false，false，直线l过点false且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ）
A．false B．false或false
C．false D．false
3．直线false的倾斜角为( )
A．false B．false C．false D．false
4．直线false的倾斜角和斜率分别是（ ）
A．false B．false C．false，不存在 D．false，不存在
5．已知过点false和点false的直线为false，false，false．若false，false，则false的值为（ ）
A．false B．false C．0 D．8
6．设false，则“false ”是“直线false与直线false垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知直线false过点false且与直线false垂直，则false的方程是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知false分别是函数false图象上不同的两点false处的切线，false分别与false轴交于点false，且false与false垂直相交于点false，则false的面积的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题
9．已知直线false与直线false垂直，则false______.
10．若直线false与圆false交于M、N两点，且M、N两点关于直线false对称，则false______.
11．已知曲线false，false为坐标原点，false是曲线false上的一点，false与false轴的正半轴所成的角为false，则false_____．
12．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为_________
三、解答题
13.在直角坐标系xOy中，已知点 A(?3,3) ， B(3,3) ，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足： kAM?kBM=?2 ．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于 ?3 ，证明：直线l过定点．
14.在平面直角坐标系xOy中，点P(x0 ， y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)， Pn(x0n,y0n) ，n∈N*．记直线APn的斜率为kn ．
（1）若k1＝2，求P1的坐标；
（2）若k1为偶数，求证：kn为偶数．
15.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 {x=ty=?1+t （t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2=123+sin2θ .
（1）写出曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）若点P的直角坐标为 (0,?1) ，曲线 C1,C2 交于 A,B 两点，求 |PA|+|PB| 的值.
16.已知圆 C 经过坐标原点 O 和点 G(?2,2) ，且圆心 C 在直线 x+y?2=0 上．
（1）求圆 C 的方程；
（2）设 PA、PB 是圆 C 的两条切线，其中 A,B 为切点．
①若点 P 在直线 x?y?2=0 上运动，求证：直线 AB 经过定点；
②若点 P 在曲线 y=14x2 （其中 x>4 ）上运动，记直线 PA、PB 与 x 轴的交点分别为 M、N ， 求 △PMN 面积的最小值．
参考答案
B2．B3．D4．C5．A6．A7．B8．A9．110．211．false12．false
13.【答案】 （1）解：设 M(x,y) ，又 A(?3,3) ， B(3,3) ，
则 kAM?kBM=y?3x+3?y?3x?3=18?6yx2?9=?2 ，
可得 x2=3y ，
因为 x≠±3 ，所以M的轨迹C的方程为 x2=3y(x≠±3)
（2）证明，设 P(m,m23) ， Q(n,n23) ， m,n≠?3 ，
又 A(?3,3) ，可得 kAP?kAQ=m23?3m+3?n23?3n+3=m?33?n?33 ，
又因为 kAP?kAQ=?3 ，即有 mn?3(m+n)=?36 ，
即 mn=3(m+n)?36
由直线l的斜率为 kPQ=m23?n23m?n=m+n3
可得直线l的方程为 y?m23=m+n3(x?m) ，
化为 y=m+n3x?mn3 ，
又因为 mn=3(m+n)?36 ，可得 y?12=m+n3(x?3) ，
可得直线 l 恒过定点 (3,12) ．
【解析】（1）设 M(x,y) ，结合 A ， B 坐标，通过斜率关系，求解即可．（2）设 P(m,m23) ， Q(n,n23) ， m ， n≠?3 ，通过 kAP·kAQ=?3 ，得到 mn=3(m+n)?36 ，求出直线 l 的方程： y?12=m+n3(x?3) ，说明直线 l 恒过定点
14.【答案】 （1）解：因为k1＝2，所以 y0+1x0=x02+1x0=2 ，
解得x0＝1，y0＝1，所以P1的坐标为(1，1)．
（2）解：设k1＝2p(p ∈ N*)，即 y0+1x0=x02+1x0=2p ，
所以 x02 －2px0＋1＝0，所以x0＝p± p2?1 ．
因为y0＝x02 ， 所以kn＝ y0n+1x0n=x02n+1x0n=x0n+1x0n
所以当x0＝p＋ p2?1 时，
kn＝(p＋ p2?1 )n＋( 1p+p2?1 )n＝(p＋ p2?1 )n＋(p－ p2?1 )n ．
同理，当 x0＝p－ p2?1 时，kn＝(p＋ p2?1 )n＋(p－ p2?1 )n ．
①当n＝2m(m ∈ N*)时， kn＝2 k=0mCn2kpn?2k(p2?1)k ，所以kn为偶数．
②当n＝2m＋1(m ∈ N)时，kn＝2 k=0mCn2kpn?2k(p2?1)k ，所以kn为偶数．
综上， kn为偶数
【解析】（1）由两点间斜率公式得 y0+1x0=x02+1x0=2 ，解方程得P1的坐标（2）先求出kn＝ y0n+1x0n=x02n+1x0n=x0n+1x0n ，再利用k1为偶数表示x0 ， 设k1＝2p(p ∈ N*)，则x0＝p± p2?1 ．最后利用二项式展开定理证明kn为偶数。
15.【答案】 （1）解：曲线 C1 的普通方程为 x?y?1=0 .
曲线 C2 的极坐标方程 ρ2=123+sin2θ 可变形为 3ρ2+ρ2sin2θ=12 ，将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入得 3x2+4y2=12 ，
即 C2 的直角坐标方程为 x24+y23=1 ；
（2）解： P(0,?1) 在直线 C1:x?y?1=0 上，该直线的斜率 k=tanπ4=1 ，
其参数方程可写为 {x=22sy=?1+22s （s为参数），
代入曲线 C2 的方程 3x2+4y2=12 ，化简可得 7s2?82s?16=0 .
∴s1+s2=827,s1s2=?167<0,∴s1,s2 一正一负.
∴|PA|+|PB|=|s1|+|s2|=|s1?s2|=(s1+s2)2?4s1s2=247 .
【解析】（1）利用消参法可得 C1 的普通方程；将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入得 3x2+4y2=12 ，可得曲线的普通方程；（2）利用参数方程参数的几何意义，即可得答案.
16.【答案】 （1）解：因为圆心 C 在直线 x+y?2=0 上，故设圆心坐标为 C(x,2?x) ，
又因为圆 C 经过坐标原点 O 和点 G(?2,2) ，
所以 |OC|=|CG| ，即 x2+(2?x)2=(x+2)2+[(2?x)?2]2 ，解得： x=0 ，
所以圆心为 C(0,2) ，半径为 r=2 ，所以圆 C 的方程为： x2+y2?4y=0 ；
（2）解：①因为点 P 在直线 x?y?2=0 上运动，故设 P(a,a?2) ，
又因为 PA、PB 是圆 C 的两条切线，其中 A,B 为切点，故连接 CA,CB ，如图
所以 CA⊥AP ， CB⊥BP ，所以 A,B 在以 CP 为直径的圆上，
所以 CP 的中点坐标为 (a2,a2) ，所以以 CP 为直径的圆的方程为：
(x?a2)2+(y?a2)2=a2+(a?4)24 ，化简得： x2+y2?ax?ay+2a?4=0 ，
所以 AB 是两圆的公共弦，故两圆方程做差得弦 AB 的方程： ax+ay?4y?2a+4=0 ，
整理得： a(x+y?2)+(4?4y)=0 ，所以直线 AB 经过定点 (1,1) ；
②设点 P(a,a24) ，设过 P 的与圆相切的直线斜率为 k ，切线方程为： kx?y?ka+a24=0 ，
∴ 圆心 C 到切线的距离 d=|a24?ka?2|1+k2=2 ，
整理得： (a2?4)k2?2a(a24?2)k+a416?a2=0
∴ 由题知： Δ>0, 即： 4a2(a24?2)2?4(a2?4)(a416?a2)>0 ，整理得： a2>0 ，
k1+k2=2a(a24?2)a2?4 ， k1k2=a416?a2a2?4
不妨记直线 PA 的斜率为 k1 ，直线 PB 的斜率为 k2
所以有 PA:y?a24=k1(x?a) ， PB:y?a24=k2(x?a) ，令 y=0 得，
xM=a?a24k1，xN=a?a24k2
∴ |MN|=|xM?xN|=|a24k1?a24k2|=a24|k2?k1||k1k2|=a24(k1+k2)2?4k1k2|k1k2|=4a2a2?16 ，
∴S△PMN=12|MN|?yP=12|MN|?a24=2a2a2?16?a24=a42(a2?16)=12?11a2?16a4 ，
令 1a2=t(a>4) ，则 t∈(0,116)
∴ 1a2?16a4=?16t2+t=?16(t2?116t)=?16(t?132)2+164
=?16(t?132)2+164∈(0,164] ?
∴ 11a2?16a4≥64
∴ S≥32
【解析】（1）由题可设圆心坐标为 C(x,2?x) ，则根据圆 C 经过坐标原点 O 和点 G(?2,2) 得 |CO|=|CG| ，再根据两点间的距离公式列式解得圆心为 C(0,2) ，半径为 r=2 ，即可得方程；（2）①根据题意设 P(a,a?2) ，再根据题意知 A,B 在以 CP 为直径的圆上，此时再写出以 CP 为直径的圆的方程，又因为 AB 是两圆的公共弦，所以两圆方程做差求得弦 AB 的方程即可解决；②设 P(a,a24) ，过 P 的与圆相切的直线斜率为 k ，写出切线方程，再根据直线与圆相切得关于 k 的一元二次方程，不妨记直线 PA 的斜率为 k1 ，直线 PB 的斜率为 k2 ，利用韦达定理得 k1 与 k2 关系，另一方面，写出 PA ， PB 方程，令 y=0 得 xM，xN ，再求出 |MN|=|xM?xN| ，表示出 △PMN 面积，再根据函数的性质求解面积最值即可.
一、单选题
1．已知直线false和false互相平行，则false( )
A．false B．false C．false，false D．false，false
2．已知两点false，false，直线l过点false且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ）
A．false B．false或false
C．false D．false
3．直线false的倾斜角为( )
A．false B．false C．false D．false
4．直线false的倾斜角和斜率分别是（ ）
A．false B．false C．false，不存在 D．false，不存在
5．已知过点false和点false的直线为false，false，false．若false，false，则false的值为（ ）
A．false B．false C．0 D．8
6．设false，则“false ”是“直线false与直线false垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知直线false过点false且与直线false垂直，则false的方程是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知false分别是函数false图象上不同的两点false处的切线，false分别与false轴交于点false，且false与false垂直相交于点false，则false的面积的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题
9．已知直线false与直线false垂直，则false______.
10．若直线false与圆false交于M、N两点，且M、N两点关于直线false对称，则false______.
11．已知曲线false，false为坐标原点，false是曲线false上的一点，false与false轴的正半轴所成的角为false，则false_____．
12．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为_________
三、解答题
13.在直角坐标系xOy中，已知点 A(?3,3) ， B(3,3) ，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足： kAM?kBM=?2 ．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于 ?3 ，证明：直线l过定点．
14.在平面直角坐标系xOy中，点P(x0 ， y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)， Pn(x0n,y0n) ，n∈N*．记直线APn的斜率为kn ．
（1）若k1＝2，求P1的坐标；
（2）若k1为偶数，求证：kn为偶数．
15.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 {x=ty=?1+t （t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2=123+sin2θ .
（1）写出曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）若点P的直角坐标为 (0,?1) ，曲线 C1,C2 交于 A,B 两点，求 |PA|+|PB| 的值.
16.已知圆 C 经过坐标原点 O 和点 G(?2,2) ，且圆心 C 在直线 x+y?2=0 上．
（1）求圆 C 的方程；
（2）设 PA、PB 是圆 C 的两条切线，其中 A,B 为切点．
①若点 P 在直线 x?y?2=0 上运动，求证：直线 AB 经过定点；
②若点 P 在曲线 y=14x2 （其中 x>4 ）上运动，记直线 PA、PB 与 x 轴的交点分别为 M、N ， 求 △PMN 面积的最小值．
参考答案
B2．B3．D4．C5．A6．A7．B8．A9．110．211．false12．false
13.【答案】 （1）解：设 M(x,y) ，又 A(?3,3) ， B(3,3) ，
则 kAM?kBM=y?3x+3?y?3x?3=18?6yx2?9=?2 ，
可得 x2=3y ，
因为 x≠±3 ，所以M的轨迹C的方程为 x2=3y(x≠±3)
（2）证明，设 P(m,m23) ， Q(n,n23) ， m,n≠?3 ，
又 A(?3,3) ，可得 kAP?kAQ=m23?3m+3?n23?3n+3=m?33?n?33 ，
又因为 kAP?kAQ=?3 ，即有 mn?3(m+n)=?36 ，
即 mn=3(m+n)?36
由直线l的斜率为 kPQ=m23?n23m?n=m+n3
可得直线l的方程为 y?m23=m+n3(x?m) ，
化为 y=m+n3x?mn3 ，
又因为 mn=3(m+n)?36 ，可得 y?12=m+n3(x?3) ，
可得直线 l 恒过定点 (3,12) ．
【解析】（1）设 M(x,y) ，结合 A ， B 坐标，通过斜率关系，求解即可．（2）设 P(m,m23) ， Q(n,n23) ， m ， n≠?3 ，通过 kAP·kAQ=?3 ，得到 mn=3(m+n)?36 ，求出直线 l 的方程： y?12=m+n3(x?3) ，说明直线 l 恒过定点
14.【答案】 （1）解：因为k1＝2，所以 y0+1x0=x02+1x0=2 ，
解得x0＝1，y0＝1，所以P1的坐标为(1，1)．
（2）解：设k1＝2p(p ∈ N*)，即 y0+1x0=x02+1x0=2p ，
所以 x02 －2px0＋1＝0，所以x0＝p± p2?1 ．
因为y0＝x02 ， 所以kn＝ y0n+1x0n=x02n+1x0n=x0n+1x0n
所以当x0＝p＋ p2?1 时，
kn＝(p＋ p2?1 )n＋( 1p+p2?1 )n＝(p＋ p2?1 )n＋(p－ p2?1 )n ．
同理，当 x0＝p－ p2?1 时，kn＝(p＋ p2?1 )n＋(p－ p2?1 )n ．
①当n＝2m(m ∈ N*)时， kn＝2 k=0mCn2kpn?2k(p2?1)k ，所以kn为偶数．
②当n＝2m＋1(m ∈ N)时，kn＝2 k=0mCn2kpn?2k(p2?1)k ，所以kn为偶数．
综上， kn为偶数
【解析】（1）由两点间斜率公式得 y0+1x0=x02+1x0=2 ，解方程得P1的坐标（2）先求出kn＝ y0n+1x0n=x02n+1x0n=x0n+1x0n ，再利用k1为偶数表示x0 ， 设k1＝2p(p ∈ N*)，则x0＝p± p2?1 ．最后利用二项式展开定理证明kn为偶数。
15.【答案】 （1）解：曲线 C1 的普通方程为 x?y?1=0 .
曲线 C2 的极坐标方程 ρ2=123+sin2θ 可变形为 3ρ2+ρ2sin2θ=12 ，将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入得 3x2+4y2=12 ，
即 C2 的直角坐标方程为 x24+y23=1 ；
（2）解： P(0,?1) 在直线 C1:x?y?1=0 上，该直线的斜率 k=tanπ4=1 ，
其参数方程可写为 {x=22sy=?1+22s （s为参数），
代入曲线 C2 的方程 3x2+4y2=12 ，化简可得 7s2?82s?16=0 .
∴s1+s2=827,s1s2=?167<0,∴s1,s2 一正一负.
∴|PA|+|PB|=|s1|+|s2|=|s1?s2|=(s1+s2)2?4s1s2=247 .
【解析】（1）利用消参法可得 C1 的普通方程；将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入得 3x2+4y2=12 ，可得曲线的普通方程；（2）利用参数方程参数的几何意义，即可得答案.
16.【答案】 （1）解：因为圆心 C 在直线 x+y?2=0 上，故设圆心坐标为 C(x,2?x) ，
又因为圆 C 经过坐标原点 O 和点 G(?2,2) ，
所以 |OC|=|CG| ，即 x2+(2?x)2=(x+2)2+[(2?x)?2]2 ，解得： x=0 ，
所以圆心为 C(0,2) ，半径为 r=2 ，所以圆 C 的方程为： x2+y2?4y=0 ；
（2）解：①因为点 P 在直线 x?y?2=0 上运动，故设 P(a,a?2) ，
又因为 PA、PB 是圆 C 的两条切线，其中 A,B 为切点，故连接 CA,CB ，如图
所以 CA⊥AP ， CB⊥BP ，所以 A,B 在以 CP 为直径的圆上，
所以 CP 的中点坐标为 (a2,a2) ，所以以 CP 为直径的圆的方程为：
(x?a2)2+(y?a2)2=a2+(a?4)24 ，化简得： x2+y2?ax?ay+2a?4=0 ，
所以 AB 是两圆的公共弦，故两圆方程做差得弦 AB 的方程： ax+ay?4y?2a+4=0 ，
整理得： a(x+y?2)+(4?4y)=0 ，所以直线 AB 经过定点 (1,1) ；
②设点 P(a,a24) ，设过 P 的与圆相切的直线斜率为 k ，切线方程为： kx?y?ka+a24=0 ，
∴ 圆心 C 到切线的距离 d=|a24?ka?2|1+k2=2 ，
整理得： (a2?4)k2?2a(a24?2)k+a416?a2=0
∴ 由题知： Δ>0, 即： 4a2(a24?2)2?4(a2?4)(a416?a2)>0 ，整理得： a2>0 ，
k1+k2=2a(a24?2)a2?4 ， k1k2=a416?a2a2?4
不妨记直线 PA 的斜率为 k1 ，直线 PB 的斜率为 k2
所以有 PA:y?a24=k1(x?a) ， PB:y?a24=k2(x?a) ，令 y=0 得，
xM=a?a24k1，xN=a?a24k2
∴ |MN|=|xM?xN|=|a24k1?a24k2|=a24|k2?k1||k1k2|=a24(k1+k2)2?4k1k2|k1k2|=4a2a2?16 ，
∴S△PMN=12|MN|?yP=12|MN|?a24=2a2a2?16?a24=a42(a2?16)=12?11a2?16a4 ，
令 1a2=t(a>4) ，则 t∈(0,116)
∴ 1a2?16a4=?16t2+t=?16(t2?116t)=?16(t?132)2+164
=?16(t?132)2+164∈(0,164] ?
∴ 11a2?16a4≥64
∴ S≥32
【解析】（1）由题可设圆心坐标为 C(x,2?x) ，则根据圆 C 经过坐标原点 O 和点 G(?2,2) 得 |CO|=|CG| ，再根据两点间的距离公式列式解得圆心为 C(0,2) ，半径为 r=2 ，即可得方程；（2）①根据题意设 P(a,a?2) ，再根据题意知 A,B 在以 CP 为直径的圆上，此时再写出以 CP 为直径的圆的方程，又因为 AB 是两圆的公共弦，所以两圆方程做差求得弦 AB 的方程即可解决；②设 P(a,a24) ，过 P 的与圆相切的直线斜率为 k ，写出切线方程，再根据直线与圆相切得关于 k 的一元二次方程，不妨记直线 PA 的斜率为 k1 ，直线 PB 的斜率为 k2 ，利用韦达定理得 k1 与 k2 关系，另一方面，写出 PA ， PB 方程，令 y=0 得 xM，xN ，再求出 |MN|=|xM?xN| ，表示出 △PMN 面积，再根据函数的性质求解面积最值即可.