1.3空间向量及其运算的坐标表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 1.3空间向量及其运算的坐标表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 236.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-01 22:16:00 | ||
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文档简介
1.3空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．已如向量false，false，且false与false互相垂直，则false（ ）．
A．false B．false C．false D．false
2．向量false，若false，且false，则false的值为（ ）
A．false B．1 C．3或1 D．false或1
3．已知平面false的法向量为false，若直线false平面false，则直线l的方向向量可以为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．已知false，false，则false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知长方体false，正方形false所在平面记为false，若经过点false的直线false与长方体false所有的棱所成角相等，且false，则线段false的长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．在空间直角坐标系中，点false关于平面false的对称点为false，则false( )
A．false B．false C．false D．false
7．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝falseA1B1，则false等于( )
A．false B．false C．false D．false
8．在棱长均为false的四面体false中，点false为false的中点，点false为false的中点.若点false，false是平面false内的两动点，且false，false，则false的面积为（ ）
A．false B．3
C．false D．2
二、填空题
9．已知false，false，则false _____．
10．已知空间三点false，若false，且false分别与false垂直，则向量false__________．
11．已知长方体false，false，false，在false上取一点M，在false上取一点N，使得直线false平面false，则线段MN的最小值为________.
12．已知直线false与平面false垂直，直线false的一个方向向量为false，向量false与平面false平行，则false______.
三、解答题
13.如图所示，圆锥的顶点为A，底面的圆心为O，BC是底面圆的一条直径，点D，E在底面圆上，已知 BC=OA=2 ， CD=2 .
（1）证明： AC⊥OD ；
（2）若二面角 C?OA?E 的大小为 60° ，求直线OC与平面ACE所成角的正弦值.
14.如图，在四棱锥 P?ABCD 中，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，其中 ∠BCD=120° ， PC=3 ．
（1）证明： AD⊥PC ；
（2）求 AC 与面 PBC 所成角的正弦值．
15.如图，在所有棱长都等于2的正三棱柱 ABC?A1B1C1 中，点 D 是 A1C1 的中点，求：
（1）异面直线 AD 与 CB1 所成角的大小；
（2）直线 B1B 与平面 B1DC 所成角的大小.
16.如图，在四棱锥 S?ABCD 中，二面角 S?AD?B 的大小为90°， AB//CD ， ∠DCB=1350 ， AB=CD=DS=2AD=2AS=22 ， DE=EC,SF=λSB(0<λ<1) ．
（1）求证： AD⊥SC ；
（2）试确定 λ 的值，使得直线 EF 与平面 SDC 所成的角的正弦值为 |?2λ+2|12λ2?8λ+6 ．
参考答案
B2．D3．B4．A5．D6．D7．C8．C9．false10．false或false11．false12．3
13.【答案】 （1）证明：因为 OC=OD ， CD=2 ，所以 DC2=OC2+OD2 ，
所以 OD⊥OC .
在圆锥AO中，AO与底面垂直，
所以 AO⊥OD .
因为 AO∩OC=O ，
所以 OD⊥ 平面OAC，
因为 AC? 平面OAC，
所以 AC⊥OD .
（2）解：由（1）可知0A，OC，OD两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则 O(0,0,0) ， C(0,1,0) ， A(0,0,2) .
因为 AO⊥OC ， AO⊥OE ，所以 ∠COE 为二面角 C?OA?E 的平面角，
所以 ∠COE=60° ，从而可得 E(?32,12,0) .
所以 AC=(0,1,?2) ， CE=(?32,?12,0) ， OC=(0,1,0) .
设平面ACE的法向量为 n=(x,y,z) .
则 {AC?n=y?2z=0CE?n=?32x?12y=0 .令 z=1 ，则 n=(?233,2,1) .
设直线OC与平面ACE所成的角为 θ ，
则 sinθ=|cos?OC,n?|=|OC?n||OC||n|=243+4+1=25719 .
【解析】（1）由 DC2=OC2+OD2 可得 OD⊥OC ，易证 OD⊥ 平面OAC，即可求得 AC⊥OD （2）建立空间直角坐标系，利用线面角计算公式求解即可.
14.【答案】 （1）证明：取 AD 中点 E ，则 PE⊥AD
OE⊥AD ，则 AD⊥ 平面 PEC ，因此 AD⊥PC
（2）解：方法一：由题意可得 ΔPOC 为正三角形
且平面 PEC⊥ 平面 ABCD ，则取 CE 中点 O ，因此 PO⊥ 平面 ABCD ．
PO=PC×sin60°=32 ， SΔPBC=12BC×PC=3 ， SΔABC=3
由等体积法可得 VA?PBC=VP?ABC ，即 13SΔPBC×hA=13SΔABC×OP ，则 hA=PO=32
因此 AC 与面 PBC 所成角的正弦值为 hAAC=34 ．
方法二：设 AC 与面 PBC 所成角为 θ ， sinθ=dA→面PBCAC=dE→面PBCAC=32×32=34 ．
方法三：如图建立空间直角坐标系 O?xyz ；
则 P(0,0,32) ， A(?32,?1,0) ， C(32,0,0) B(32,?2,0) ，则 BC=(0,?2,0) ， PC=(32,0,?32) ， AC=(3,1,0) ．
设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z) ，则 {PC?n=32x?32z=0BC?n=?2y=0 ，
令 x=3 ，
则 n=(3,0,1)
则 AC 与面 PBC 所成角的正弦值为 |AC?n|AC|?|n||=34
【解析】（1）取 AD 中点 E ，则 PE⊥AD ， OE⊥AD ，从而 AD⊥ 平面 PEC ，由此能证明 AD⊥PC ．（2）取 CE 中点 O ，则 PO⊥ 平面 ABCD ，由等体积法可得 VA?PBC=VP?ABC ，求出 hA=PO=32 ， AC 与面 PBC 所成角 θ 的正弦值为： sinθ=hAAC ，由此能求出结果．
15.【答案】 （1）解：取 AC 中点 E ,连接 DE ,则 DE//AA1 ,
正三棱柱 ABC?A1B1C1 所有棱长都等于2,
BE⊥AC , AA1⊥ 平面 ABC,∴DE⊥ 平面 ABC ,
以 E 为坐标原点, EA,EB,ED 所在的直线分别为
x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),D(0,0,2) ,
C(?1,0,0),B(0,3,0),B1(0,3,2) .
AD=(?1,0,2),CB1=(1,3,2)
cosAD，CB1=AD?CB1|AD||CB1|=3320
∴ 异面直线 AD 与 CB1 所成角的余弦为 3320 .
∴ 异面直线 AD 与 CB1 所成角是 arccos3320 .
（2）解： B1B=(0,0,2),DB1=(0,3,0),DC=(?1,0?2) ,
设平面 B1DC 的法向量 n=(x,y,z),n⊥DB1,n⊥DC ,
{n?DB1=3y=0n?DC=?x?2y=0 , y=0 ,令 y=?1 ,则 x=2 ,
∴ 平面 B1DC 的一个法向量 n=(2,0,?1),
设直线 B1B 与平面 B1DC 所成角 α ,
sinα=|cosB1B,n|=|B1B?n||B1B||n|=22×5=55 ,
∴ 直线 B1B 与平面 B1DC 所成角 arcsin55 .
【解析】（1）建立空间直角坐标系，确定 AD,CB1 坐标，即可求出 AD,CB1 所成角的余弦，转化为 AD 与 CB1 所成角，即可求出结果;（2）确定 B1B 坐标，求出平面 B1DC 的法向量，利用线面角公式，即可求出直线 B1B 与平面 B1DC 所成角
16.【答案】 （1）证明 ：因为 AB//CD ，且 AB=CD ，故四边形 ABCD 为平行四边形；
连接 AC ，
因为 AB=22,BC=2,∠DCB=1350,∠ABC=450 ，
由余弦定理得 AC2=8+4?2?22?2?cos450=4 ，
得 AC=2 ，所以 ∠ACB=900 ，即 BC⊥AC ，又 AD//BC ，
所以 AD⊥AC ，又 AD=AS=2,DS=22 ，所以 SA⊥AD,AS∩AC=A ，所以
AD⊥ 平面 SAC ，所以 AD⊥SC
（2）解：因为二面角 S?AD?B 的大小为90°， SA⊥AD ，所以 SA⊥ 底面 ABCD ，所以直线 AC,AD,AS 两两互相垂直，以 A 为原点，直线 AD,AC,AS 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系 A?xyz ，则 A(0,0,0),D(?2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(?1,1,0),S(0,0,2) ，所以 SC=(0,2,?2),SD=(?2,0,?2),SB=(2,2,?2) ，则 SF=(2λ,2λ,?2λ),F(2λ,2λ,?2λ+2) ，
所以 EF=(2λ+1,2λ?1,?2λ+2) ，设平面 SDC 的法向量为 n=(x,y,z) ，由 n·SC=0,n·SD=0 ，
得 {2y?2z=0?2x?2z=0 ，令 x=1 ，得 n=(1,?1,?1) ．
依题意， |EF·n||EF|·|n|=|?2λ+2|12λ2?8λ+6 ，化简可得 |2λ3|=|?2λ+2| ，
即 3|λ?1|=|λ| ，解得 λ=3?32
【解析】(1)先证明AD垂直于平面SAC中两条相交直线AC,SA,即得到A D ⊥ 平面 S A C,从而A D ⊥ S C;
(2)建立空间直角坐标系 A ? x y z ,写出各点的坐标,得到向量EF的坐标,求出平面 SDC的法向量的坐标,由向量的数量积为0,求出λ的值.
一、单选题
1．已如向量false，false，且false与false互相垂直，则false（ ）．
A．false B．false C．false D．false
2．向量false，若false，且false，则false的值为（ ）
A．false B．1 C．3或1 D．false或1
3．已知平面false的法向量为false，若直线false平面false，则直线l的方向向量可以为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．已知false，false，则false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知长方体false，正方形false所在平面记为false，若经过点false的直线false与长方体false所有的棱所成角相等，且false，则线段false的长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．在空间直角坐标系中，点false关于平面false的对称点为false，则false( )
A．false B．false C．false D．false
7．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝falseA1B1，则false等于( )
A．false B．false C．false D．false
8．在棱长均为false的四面体false中，点false为false的中点，点false为false的中点.若点false，false是平面false内的两动点，且false，false，则false的面积为（ ）
A．false B．3
C．false D．2
二、填空题
9．已知false，false，则false _____．
10．已知空间三点false，若false，且false分别与false垂直，则向量false__________．
11．已知长方体false，false，false，在false上取一点M，在false上取一点N，使得直线false平面false，则线段MN的最小值为________.
12．已知直线false与平面false垂直，直线false的一个方向向量为false，向量false与平面false平行，则false______.
三、解答题
13.如图所示，圆锥的顶点为A，底面的圆心为O，BC是底面圆的一条直径，点D，E在底面圆上，已知 BC=OA=2 ， CD=2 .
（1）证明： AC⊥OD ；
（2）若二面角 C?OA?E 的大小为 60° ，求直线OC与平面ACE所成角的正弦值.
14.如图，在四棱锥 P?ABCD 中，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，其中 ∠BCD=120° ， PC=3 ．
（1）证明： AD⊥PC ；
（2）求 AC 与面 PBC 所成角的正弦值．
15.如图，在所有棱长都等于2的正三棱柱 ABC?A1B1C1 中，点 D 是 A1C1 的中点，求：
（1）异面直线 AD 与 CB1 所成角的大小；
（2）直线 B1B 与平面 B1DC 所成角的大小.
16.如图，在四棱锥 S?ABCD 中，二面角 S?AD?B 的大小为90°， AB//CD ， ∠DCB=1350 ， AB=CD=DS=2AD=2AS=22 ， DE=EC,SF=λSB(0<λ<1) ．
（1）求证： AD⊥SC ；
（2）试确定 λ 的值，使得直线 EF 与平面 SDC 所成的角的正弦值为 |?2λ+2|12λ2?8λ+6 ．
参考答案
B2．D3．B4．A5．D6．D7．C8．C9．false10．false或false11．false12．3
13.【答案】 （1）证明：因为 OC=OD ， CD=2 ，所以 DC2=OC2+OD2 ，
所以 OD⊥OC .
在圆锥AO中，AO与底面垂直，
所以 AO⊥OD .
因为 AO∩OC=O ，
所以 OD⊥ 平面OAC，
因为 AC? 平面OAC，
所以 AC⊥OD .
（2）解：由（1）可知0A，OC，OD两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则 O(0,0,0) ， C(0,1,0) ， A(0,0,2) .
因为 AO⊥OC ， AO⊥OE ，所以 ∠COE 为二面角 C?OA?E 的平面角，
所以 ∠COE=60° ，从而可得 E(?32,12,0) .
所以 AC=(0,1,?2) ， CE=(?32,?12,0) ， OC=(0,1,0) .
设平面ACE的法向量为 n=(x,y,z) .
则 {AC?n=y?2z=0CE?n=?32x?12y=0 .令 z=1 ，则 n=(?233,2,1) .
设直线OC与平面ACE所成的角为 θ ，
则 sinθ=|cos?OC,n?|=|OC?n||OC||n|=243+4+1=25719 .
【解析】（1）由 DC2=OC2+OD2 可得 OD⊥OC ，易证 OD⊥ 平面OAC，即可求得 AC⊥OD （2）建立空间直角坐标系，利用线面角计算公式求解即可.
14.【答案】 （1）证明：取 AD 中点 E ，则 PE⊥AD
OE⊥AD ，则 AD⊥ 平面 PEC ，因此 AD⊥PC
（2）解：方法一：由题意可得 ΔPOC 为正三角形
且平面 PEC⊥ 平面 ABCD ，则取 CE 中点 O ，因此 PO⊥ 平面 ABCD ．
PO=PC×sin60°=32 ， SΔPBC=12BC×PC=3 ， SΔABC=3
由等体积法可得 VA?PBC=VP?ABC ，即 13SΔPBC×hA=13SΔABC×OP ，则 hA=PO=32
因此 AC 与面 PBC 所成角的正弦值为 hAAC=34 ．
方法二：设 AC 与面 PBC 所成角为 θ ， sinθ=dA→面PBCAC=dE→面PBCAC=32×32=34 ．
方法三：如图建立空间直角坐标系 O?xyz ；
则 P(0,0,32) ， A(?32,?1,0) ， C(32,0,0) B(32,?2,0) ，则 BC=(0,?2,0) ， PC=(32,0,?32) ， AC=(3,1,0) ．
设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z) ，则 {PC?n=32x?32z=0BC?n=?2y=0 ，
令 x=3 ，
则 n=(3,0,1)
则 AC 与面 PBC 所成角的正弦值为 |AC?n|AC|?|n||=34
【解析】（1）取 AD 中点 E ，则 PE⊥AD ， OE⊥AD ，从而 AD⊥ 平面 PEC ，由此能证明 AD⊥PC ．（2）取 CE 中点 O ，则 PO⊥ 平面 ABCD ，由等体积法可得 VA?PBC=VP?ABC ，求出 hA=PO=32 ， AC 与面 PBC 所成角 θ 的正弦值为： sinθ=hAAC ，由此能求出结果．
15.【答案】 （1）解：取 AC 中点 E ,连接 DE ,则 DE//AA1 ,
正三棱柱 ABC?A1B1C1 所有棱长都等于2,
BE⊥AC , AA1⊥ 平面 ABC,∴DE⊥ 平面 ABC ,
以 E 为坐标原点, EA,EB,ED 所在的直线分别为
x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),D(0,0,2) ,
C(?1,0,0),B(0,3,0),B1(0,3,2) .
AD=(?1,0,2),CB1=(1,3,2)
cosAD，CB1=AD?CB1|AD||CB1|=3320
∴ 异面直线 AD 与 CB1 所成角的余弦为 3320 .
∴ 异面直线 AD 与 CB1 所成角是 arccos3320 .
（2）解： B1B=(0,0,2),DB1=(0,3,0),DC=(?1,0?2) ,
设平面 B1DC 的法向量 n=(x,y,z),n⊥DB1,n⊥DC ,
{n?DB1=3y=0n?DC=?x?2y=0 , y=0 ,令 y=?1 ,则 x=2 ,
∴ 平面 B1DC 的一个法向量 n=(2,0,?1),
设直线 B1B 与平面 B1DC 所成角 α ,
sinα=|cosB1B,n|=|B1B?n||B1B||n|=22×5=55 ,
∴ 直线 B1B 与平面 B1DC 所成角 arcsin55 .
【解析】（1）建立空间直角坐标系，确定 AD,CB1 坐标，即可求出 AD,CB1 所成角的余弦，转化为 AD 与 CB1 所成角，即可求出结果;（2）确定 B1B 坐标，求出平面 B1DC 的法向量，利用线面角公式，即可求出直线 B1B 与平面 B1DC 所成角
16.【答案】 （1）证明 ：因为 AB//CD ，且 AB=CD ，故四边形 ABCD 为平行四边形；
连接 AC ，
因为 AB=22,BC=2,∠DCB=1350,∠ABC=450 ，
由余弦定理得 AC2=8+4?2?22?2?cos450=4 ，
得 AC=2 ，所以 ∠ACB=900 ，即 BC⊥AC ，又 AD//BC ，
所以 AD⊥AC ，又 AD=AS=2,DS=22 ，所以 SA⊥AD,AS∩AC=A ，所以
AD⊥ 平面 SAC ，所以 AD⊥SC
（2）解：因为二面角 S?AD?B 的大小为90°， SA⊥AD ，所以 SA⊥ 底面 ABCD ，所以直线 AC,AD,AS 两两互相垂直，以 A 为原点，直线 AD,AC,AS 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系 A?xyz ，则 A(0,0,0),D(?2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(?1,1,0),S(0,0,2) ，所以 SC=(0,2,?2),SD=(?2,0,?2),SB=(2,2,?2) ，则 SF=(2λ,2λ,?2λ),F(2λ,2λ,?2λ+2) ，
所以 EF=(2λ+1,2λ?1,?2λ+2) ，设平面 SDC 的法向量为 n=(x,y,z) ，由 n·SC=0,n·SD=0 ，
得 {2y?2z=0?2x?2z=0 ，令 x=1 ，得 n=(1,?1,?1) ．
依题意， |EF·n||EF|·|n|=|?2λ+2|12λ2?8λ+6 ，化简可得 |2λ3|=|?2λ+2| ，
即 3|λ?1|=|λ| ，解得 λ=3?32
【解析】(1)先证明AD垂直于平面SAC中两条相交直线AC,SA,即得到A D ⊥ 平面 S A C,从而A D ⊥ S C;
(2)建立空间直角坐标系 A ? x y z ,写出各点的坐标,得到向量EF的坐标,求出平面 SDC的法向量的坐标,由向量的数量积为0,求出λ的值.