1.1空间向量及其运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 1.1空间向量及其运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 193.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-01 22:15:19 | ||
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文档简介
1.1空间向量及其运算
一、单选题
1．已知false是正方体内切球的一条直径，点false在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知MN是棱长为2的正方体false内切球的一条直径，则false（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．已知三棱锥false中，E是false的中点，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．与向量false共线的单位向量是（ ）
A．false B．false和false
C．false D．false或false
5．在以下命题中：
①三个非零向量false，false，false不能构成空间的一个基底，则false，false，false共面；
②若两个非零向量false，false与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则false，false共线；
③对空间任意一点false和不共线的三点false，false，false，若false，则false，false，false，false四点共面
④若false，false是两个不共线的向量，且false，则false构成空间的一个基底
⑤若false为空间的一个基底，则false构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图所示，在平行六面体false中，false，且false，则对角线false的长为（ ）
A．false B．5 C．6 D．false
7．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量false=false，向量falsefalse，则不能与false构成空间的一个基底的是（ ）
A．false B．false C．false D．false或false
8．已知false（2，1，﹣3），false（﹣1，2，3），false（7，6，λ），若P，A，B，C四点共面，则λ＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3
二、填空题
9．已知平面false的一个法向量为false，平面false的一个法向量为false，若false，则false的值为__________.
10．已知false，则false__________．
11．在正四面体O－ABC中，false，D为BC的中点，E为AD的中点，则false＝______________(用false表示)．
12．已知：如图，在false的二面角的棱上有false两点，直线false分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直false，已知false，则false__________．
三、解答题
13.如图，三棱锥 P?ABC 中， PA=PC ，底面 ABC 为正三角形.
（Ⅰ）证明： AC⊥PB ；
（Ⅱ）若平面 PAC⊥平面ABC ， AC=PC=2 ，求二面角 A?PC?B 的余弦值.
14.如图，在四棱锥 S?ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA⊥ 底面 ABCD ， AB 垂直于 AD 和 BC ， SA=AB=BC=2 ， AD=1 ．M是棱 SB 的中点．
（1）求证： AM// 面 SCD ；
（2）求二面角 S?CD?M 的正弦值；
（3）在线段 DC 上是否存在一点 N 使得 MN 与平面 SAB 所成角的正弦值为 357 若存在，请求出 DNDC 的值，若不存在，请说明理由.
15.已知空间三点 A(?2,0,2)???,???B(?1,1,2)???,???C(?3,0,4) ，设 a=AB???,???b=AC .
（1）求 a 和 b 的夹角 θ 的余弦值；
（2）若向量 ka+b 与 ka?2b 互相垂直，求 k 的值.
16.已知平面内一动点 P 到点 F(0,1) 的距离与点 P 到 x 轴的距离的差等于1.
（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（2）过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2 ，设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B ， l2 与轨迹 C 相交于点 D,E ，求 AD?EB 的最小值.
参考答案
B2．D3．D4．D5．D6．B7．C8．B9．410．false11．false12．false
13.【答案】 解：（Ⅰ）证明：取AC的中点OO，连接PO， BO，
∵PA=PC，
∴PO⊥AC，
又AB=CB，
∴ ，
∴AC⊥PB.
（Ⅱ）平面PAC⊥平面ABC且交于AC， PO⊥AC，
∴PO⊥平面ABC，则可建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
又PA=PC ，? AC=PC=2，△ABC为正三角形，
∴P(0 ，? 0 ，? 3 ) ， B(0 ，? 3 ，? 0) ，? C(?1 ，? 0 ，? 0)
PB ?=(0， 3 ，- 3 ) ，? BC =(?1， 3 ，0)
设 n =(x ，? y ， z)为平面PBC的法向量，则 n?PB =0, n?BC =0
∴ 3 y? 3 z=0,?x? 3 y=0
取y=?1，则 n =( 3 ，?1 ，?1)为平面PBC的一个法向量，
又 OB =(0 ，? 3 ?， 0)为平面PAC的一个法向量，
∴ cos?n,OB?=?35×3=?55 ，
则二面角A?PC=BA?PC=B的余弦值为 cos?n,OB?=?35×3=?55 .
【解析】（1）利用中点的性质结合已知条件推出线线垂直，进而证出线面垂直，再利用线面垂直的定义推出线线垂直。
（2）利用已知条件结合面面垂直的性质定理推出线线垂直，进而推出线线垂直，再利用建系的方法结合空间向量的方法求出二面角 A?PC?B 的余弦值。
14.【答案】 （1）解：以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
A(0,0,0) ， B(0,2,0) ， D(1,0,0) ， S(0,0,2) ， M(0,1,1) ．
则 AM=(0,1,1) ， SD=(1,0,?2) ， CD=(?1,?2,0) ．
设平面 SCD 的法向量是 n=(x,y,z) ，则 {SD·n=0CD·n=0 ，即 {x?2z=0?x?2y=0
令 z=1 ，则 x=2 ， y=?1 ．于是 n=(2,?1,1) ．
∵ n?AM=0?1×1+1×1=0 ， ∴ AM⊥n ．
又 ∵AM? 平面 SCD ， ∴AM// 平面 SCD ．
（2）解：设平面 CDM 的法向量为 n1=(x1,y1,z1) ．则 CD=(?1,?2,0) ， DM=(?1,1,1)
{n1·CD=0n1·DM=0 即 {?x1?2y1=0?x1+y1+z1=0 据此可得平面 CDM 的一个法向量 n1=(2,?1,3) ,
设二面角 S?CD?M 的平面角大小为 θ ，易知：
则 cosθ=n?n1|n|?|n1|=421 ，即 sinθ=1?cos2θ=10521 ．???
∴ 二面角 S?CD?M 的正弦值为 10521 ．
（3）解：假设存在满足题意的点N，且： DN=λDC(0≤λ≤1) ，
设点N的坐标为 N(x,y,z) ，据此可得： (x?1,y,z)=λ(1,2,0) ，
由对应坐标相等可得 N(λ+1,2λ,0) ，
故 MN=(λ+1,2λ?1,?1) ，由于平面 SAB 的一个法向量 AD=(1,0,0) ，
由题意可得： |MN?AD||MN|?|AD|=|λ+1|(λ+1)2+(2λ?1)2+1=357
解得： λ=23 ，
据此可得存在满足题意的点N，且 DNDC 的值为 23 .
【解析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面 SCD 的法向量 n?AM=0 即可证明 AM// 平面 SCD ；（2）分别求出平面 SCD 与平面 CDM 的法向量，利用法向量的夹角即可得出；（3）假设存在，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可。
15.【答案】 （1）解： a=AB=(?1,1,2)?(?2,0,2)=(1,1,0) ，
b=AC=(?3,0,4)?(?2,0,2)=(?1,0,2) ．
则 cosθ=a?b|a||b|=?1+0+02×5=?1010 ，
所以 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值为 ?1010 .
（2）解： ka+b=(k,k,0)+(?1,0,2)=(k?1,k,2) ，
ka?2b=(k,k,0)?(?2,0,4)=(k+2,k,?4) ，
所以 (k?1,k,2)?(k+2,k,?4)=(k?1)(k+2)+k2?8=0 ,
即 2k2+k?10=0 ，
所以 k=?52 或 k=2 .
【解析】（1）利用向量夹角公式即可得出；（2）利用两个向量互相垂直，其数量积为0，可得关于 k 的方程.
16.【答案】 （1）解：设动点 P 的坐标为 (x,y) ，由题意得 x2+(y?1)2?|y|=1
化简得 x2=2y+2|y| 当 y≥0 时 x2=4y ；当 y<0 时x=0
所以动点P的轨迹 C 的方程为 x2=4y 和X=0（ y<0 ）
（2）解：由题意知，直线 l1 的斜率存在且不为0，设为 k ，则 l1 的方程为 y=kx+1 ．
由 {y=kx+1x2=4y得x2?4kx?4=0
设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则
x1+x2=4k,x1·x2=?4 ， y1+y2=4k2+2，y1·y2=1
因为 l1⊥l2 ，所以 l2 的斜率为 ?1k ．设 D(x3,y3),E(x4,y4) ，则同理可得 x3+x4=?4k,x3·x4=?4 ， y3+y4=4k2+2,y3·y4=1
AD?EB=(AF+FD)·(EF?FB)=AF?EF+FD?EF+AF?FB+FD?FB=FD?EF+AF?FB=|FD||EF|+|AF||FB|=(y3+1)(y4+1)+(y1+1)(y2+1)
y3y4+(y3+y4)+1+y1y2+(y1+y2)+1 ?
8+4k2+4k2=8+4(k2+1k2)≥8+4×2=16 ?
当且仅当 k2=1k2 即 k=±1 时， AD?EB 取最小值16
【解析】（1）直接设点P的坐标，根据条件设出方程，解出方程即可。
（2）由题意设出两直线方程，分别联立曲线C，根据韦达定理得到坐标间的关系，然后直接求两向量的数量积，在求最值时运用均值不等式即可。
一、单选题
1．已知false是正方体内切球的一条直径，点false在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知MN是棱长为2的正方体false内切球的一条直径，则false（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．已知三棱锥false中，E是false的中点，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．与向量false共线的单位向量是（ ）
A．false B．false和false
C．false D．false或false
5．在以下命题中：
①三个非零向量false，false，false不能构成空间的一个基底，则false，false，false共面；
②若两个非零向量false，false与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则false，false共线；
③对空间任意一点false和不共线的三点false，false，false，若false，则false，false，false，false四点共面
④若false，false是两个不共线的向量，且false，则false构成空间的一个基底
⑤若false为空间的一个基底，则false构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图所示，在平行六面体false中，false，且false，则对角线false的长为（ ）
A．false B．5 C．6 D．false
7．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量false=false，向量falsefalse，则不能与false构成空间的一个基底的是（ ）
A．false B．false C．false D．false或false
8．已知false（2，1，﹣3），false（﹣1，2，3），false（7，6，λ），若P，A，B，C四点共面，则λ＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3
二、填空题
9．已知平面false的一个法向量为false，平面false的一个法向量为false，若false，则false的值为__________.
10．已知false，则false__________．
11．在正四面体O－ABC中，false，D为BC的中点，E为AD的中点，则false＝______________(用false表示)．
12．已知：如图，在false的二面角的棱上有false两点，直线false分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直false，已知false，则false__________．
三、解答题
13.如图，三棱锥 P?ABC 中， PA=PC ，底面 ABC 为正三角形.
（Ⅰ）证明： AC⊥PB ；
（Ⅱ）若平面 PAC⊥平面ABC ， AC=PC=2 ，求二面角 A?PC?B 的余弦值.
14.如图，在四棱锥 S?ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA⊥ 底面 ABCD ， AB 垂直于 AD 和 BC ， SA=AB=BC=2 ， AD=1 ．M是棱 SB 的中点．
（1）求证： AM// 面 SCD ；
（2）求二面角 S?CD?M 的正弦值；
（3）在线段 DC 上是否存在一点 N 使得 MN 与平面 SAB 所成角的正弦值为 357 若存在，请求出 DNDC 的值，若不存在，请说明理由.
15.已知空间三点 A(?2,0,2)???,???B(?1,1,2)???,???C(?3,0,4) ，设 a=AB???,???b=AC .
（1）求 a 和 b 的夹角 θ 的余弦值；
（2）若向量 ka+b 与 ka?2b 互相垂直，求 k 的值.
16.已知平面内一动点 P 到点 F(0,1) 的距离与点 P 到 x 轴的距离的差等于1.
（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（2）过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2 ，设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B ， l2 与轨迹 C 相交于点 D,E ，求 AD?EB 的最小值.
参考答案
B2．D3．D4．D5．D6．B7．C8．B9．410．false11．false12．false
13.【答案】 解：（Ⅰ）证明：取AC的中点OO，连接PO， BO，
∵PA=PC，
∴PO⊥AC，
又AB=CB，
∴ ，
∴AC⊥PB.
（Ⅱ）平面PAC⊥平面ABC且交于AC， PO⊥AC，
∴PO⊥平面ABC，则可建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
又PA=PC ，? AC=PC=2，△ABC为正三角形，
∴P(0 ，? 0 ，? 3 ) ， B(0 ，? 3 ，? 0) ，? C(?1 ，? 0 ，? 0)
PB ?=(0， 3 ，- 3 ) ，? BC =(?1， 3 ，0)
设 n =(x ，? y ， z)为平面PBC的法向量，则 n?PB =0, n?BC =0
∴ 3 y? 3 z=0,?x? 3 y=0
取y=?1，则 n =( 3 ，?1 ，?1)为平面PBC的一个法向量，
又 OB =(0 ，? 3 ?， 0)为平面PAC的一个法向量，
∴ cos?n,OB?=?35×3=?55 ，
则二面角A?PC=BA?PC=B的余弦值为 cos?n,OB?=?35×3=?55 .
【解析】（1）利用中点的性质结合已知条件推出线线垂直，进而证出线面垂直，再利用线面垂直的定义推出线线垂直。
（2）利用已知条件结合面面垂直的性质定理推出线线垂直，进而推出线线垂直，再利用建系的方法结合空间向量的方法求出二面角 A?PC?B 的余弦值。
14.【答案】 （1）解：以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
A(0,0,0) ， B(0,2,0) ， D(1,0,0) ， S(0,0,2) ， M(0,1,1) ．
则 AM=(0,1,1) ， SD=(1,0,?2) ， CD=(?1,?2,0) ．
设平面 SCD 的法向量是 n=(x,y,z) ，则 {SD·n=0CD·n=0 ，即 {x?2z=0?x?2y=0
令 z=1 ，则 x=2 ， y=?1 ．于是 n=(2,?1,1) ．
∵ n?AM=0?1×1+1×1=0 ， ∴ AM⊥n ．
又 ∵AM? 平面 SCD ， ∴AM// 平面 SCD ．
（2）解：设平面 CDM 的法向量为 n1=(x1,y1,z1) ．则 CD=(?1,?2,0) ， DM=(?1,1,1)
{n1·CD=0n1·DM=0 即 {?x1?2y1=0?x1+y1+z1=0 据此可得平面 CDM 的一个法向量 n1=(2,?1,3) ,
设二面角 S?CD?M 的平面角大小为 θ ，易知：
则 cosθ=n?n1|n|?|n1|=421 ，即 sinθ=1?cos2θ=10521 ．???
∴ 二面角 S?CD?M 的正弦值为 10521 ．
（3）解：假设存在满足题意的点N，且： DN=λDC(0≤λ≤1) ，
设点N的坐标为 N(x,y,z) ，据此可得： (x?1,y,z)=λ(1,2,0) ，
由对应坐标相等可得 N(λ+1,2λ,0) ，
故 MN=(λ+1,2λ?1,?1) ，由于平面 SAB 的一个法向量 AD=(1,0,0) ，
由题意可得： |MN?AD||MN|?|AD|=|λ+1|(λ+1)2+(2λ?1)2+1=357
解得： λ=23 ，
据此可得存在满足题意的点N，且 DNDC 的值为 23 .
【解析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面 SCD 的法向量 n?AM=0 即可证明 AM// 平面 SCD ；（2）分别求出平面 SCD 与平面 CDM 的法向量，利用法向量的夹角即可得出；（3）假设存在，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可。
15.【答案】 （1）解： a=AB=(?1,1,2)?(?2,0,2)=(1,1,0) ，
b=AC=(?3,0,4)?(?2,0,2)=(?1,0,2) ．
则 cosθ=a?b|a||b|=?1+0+02×5=?1010 ，
所以 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值为 ?1010 .
（2）解： ka+b=(k,k,0)+(?1,0,2)=(k?1,k,2) ，
ka?2b=(k,k,0)?(?2,0,4)=(k+2,k,?4) ，
所以 (k?1,k,2)?(k+2,k,?4)=(k?1)(k+2)+k2?8=0 ,
即 2k2+k?10=0 ，
所以 k=?52 或 k=2 .
【解析】（1）利用向量夹角公式即可得出；（2）利用两个向量互相垂直，其数量积为0，可得关于 k 的方程.
16.【答案】 （1）解：设动点 P 的坐标为 (x,y) ，由题意得 x2+(y?1)2?|y|=1
化简得 x2=2y+2|y| 当 y≥0 时 x2=4y ；当 y<0 时x=0
所以动点P的轨迹 C 的方程为 x2=4y 和X=0（ y<0 ）
（2）解：由题意知，直线 l1 的斜率存在且不为0，设为 k ，则 l1 的方程为 y=kx+1 ．
由 {y=kx+1x2=4y得x2?4kx?4=0
设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则
x1+x2=4k,x1·x2=?4 ， y1+y2=4k2+2，y1·y2=1
因为 l1⊥l2 ，所以 l2 的斜率为 ?1k ．设 D(x3,y3),E(x4,y4) ，则同理可得 x3+x4=?4k,x3·x4=?4 ， y3+y4=4k2+2,y3·y4=1
AD?EB=(AF+FD)·(EF?FB)=AF?EF+FD?EF+AF?FB+FD?FB=FD?EF+AF?FB=|FD||EF|+|AF||FB|=(y3+1)(y4+1)+(y1+1)(y2+1)
y3y4+(y3+y4)+1+y1y2+(y1+y2)+1 ?
8+4k2+4k2=8+4(k2+1k2)≥8+4×2=16 ?
当且仅当 k2=1k2 即 k=±1 时， AD?EB 取最小值16
【解析】（1）直接设点P的坐标，根据条件设出方程，解出方程即可。
（2）由题意设出两直线方程，分别联立曲线C，根据韦达定理得到坐标间的关系，然后直接求两向量的数量积，在求最值时运用均值不等式即可。