2.2直线的方程-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2直线的方程-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 170.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-02 21:21:16 | ||
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文档简介
2.2直线的方程
一、单选题
1．直线false的斜率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知直线false方程为false，false和false分别为直线false上和false外的点，则方程false表示（ ）
A．过点false且与false垂直的直线 B．与false重合的直线
C．过点false且与false平行的直线 D．不过点false，但与false平行的直线
3．直线false：false和直线false：false.若false，则false的值为（ ）
A．0或5 B．0 C．5 D．非上述答案
4．经过点false，倾斜角是直线false的倾斜角的2倍的直线方程是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．经过定点false的直线都可以用方程false表示
B．不经过原点的直线都可以用方程false表示
C．经过定点false的直线都可以用方程false表示
D．对于直线false，无论false为何值，直线总过第一象限
6．直线false恒过定点（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．false，动直线false过定点false动直线false过定点false，若false与false交于点false（异于点false，false），则false的最大值为
A．false B．false C．false D．false
8．已知false与false是直线false(false为常数)上两个不同的点，则关于false和false的方程组false的解的情况是（ ）
A．无论false如何,总是无解 B．无论false如何,总有唯一解
C．存在false使之恰有两解 D．存在false使之有无穷多解
二、填空题
9．若动点false，false分别在直线false和false上移动，则线段AB的中点false到原点的距离的最小值为____________．
10．已知直线false过点false且与直线false：false垂直，则false的点斜式方程为 ．
11．已知三条直线false，false，false，若false，则false的值为______.
12．已知点false和点falsefalse，若线段false上的任意一点false都满足：经过点false的所有直线中恰好有两条直线与曲线falsefalse相切，则false的最大值为___．
三、解答题
13.过点 P(3,4) 的直线 l
（1）求 l 在两个坐标轴上截距相等的方程；
（2）求 l 与x,y正半轴相交，交点分别是A、B,当△AOB面积最小时的直线方程.
14.已知抛物线 C ： x2=2py(p>0) ，其焦点到准线的距离等于1，设动点 M(t,?12) ，过M作C的两条切线 MA ， MB （A，B为切点）.
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）求证：直线 AB 恒过定点Q；
（Ⅲ）设圆 E ： x2+(y?52)2=r2(r>0) ，若圆E与直线 AB 相切，且切点正好是线段 AB 的中点，求r的值.
15.已知直线 l 方程为 (m+2)x?my?3m?8=0 ， m∈R .
（1）求证：直线 l 恒过定点 P ，并求出定点 P 的坐标；
（2）若直线 l 在 x 轴， y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程.
16.已知圆 O:x2+y2=r2(r>0) 与椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 相交于点M（0，1），N（0，-1），且椭圆的离心率为 22 .
（1）求r的值和椭圆C的方程；
（2）过点M的直线 l 交圆O和椭圆C分别于A ， B两点.
①若 2MB=3MA ，求直线 l 的方程；
②设直线NA的斜率为 k1 ，直线NB的斜率为 k2 ，问: k2k1 是否为定值? 如果是，求出定值；如果不是，说明理由.
参考答案
B2．C3．A4．D5．D6．D7．B8．B9．false10．y－1＝－(x－2)．11．false12．.
13.【答案】 （1）解：当直线过原点时，斜率为 k=43 ，直线方程为 y=43x ；
当直线不过原点时设方程为 xa+ya=1 ，则 3a+4a=1 ，解得 a=7 ，直线方程为 x7+y7=1 ，即 y=?x+7 ．
综上所求直线方程为 y=43x 和 y=?x+7
（2）解：设直线 l 方程为 xa+yb=1(a>0,b>0) ，∵直线过点 P(3,4) ，∴ 3a+4b=1 ，
1=3a+4b≥212ab ，当且仅当 3a=4b ，即 a=6,b=8 时等号成立，∴ ab≥48 ，
S△OAB=12ab≥24 ，∴△AOB面积最小值为24，此时直线方程为 x6+y8=1 ，即 4x+3y?24=0
【解析】（1）分类讨论，直线过原点，直接求出斜率后得直线方程，直线不过原点时设方程为 xa+ya=1 求解；（2）设出截距式方程为 xa+yb=1(a>0,b>0) ，代入点的坐标，用基本不等式求得 ab 的最小值，从而得直线方程．
14.【答案】 解：（Ⅰ）因为抛物线C的焦点和准线分别为 (0,p2) 和 y=?p2 ，
所以由 |p2?(?p2)|=1 ，得 p=1 .
（Ⅱ）设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，则 x12=2y1 ， x22=2y2 ，
因为抛物线 C 的方程可写为 y=12x2 ，
由于 y′=x ，所以切线 MA 的斜率为 x1 ，故 y1+12x1?t=x1 ，
整理得切线 MA 的方程为 2tx1?2y1+1=0 ，
同理可得切线 MB 的方程为 2tx2?2y2+1=0
因为两点A，B确定直线 AB ，所以直线 AB 的方程为 2tx?2y+1=0 ，
所以直线 AB 过定点 Q(0,12) .
（Ⅲ）通过直线 AB 和抛物线C，则
由 {2tx?2y+1=0x2=2y ，可得 x2?2tx?1=0
于是 x1+x2=2t ， y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1
设 N 为线段 AB 的中点，则 N(t,t2+12)
由于 EN⊥AB ，而 EN=(t,t2?2) ， AB 与向量 QN=(t,t2) 平行，
所以 t2+(t2?2)t2=0 ，解得 t=0 或 t=±1
当 t=0 时， r=|EN|=2
当 t=±1 时， r=|EN|=2 .
【解析】（Ⅰ）根据题意可得 |p2?(?p2)|=1 ，简单计算，可得结果.（Ⅱ）利用导数可得切线 MA ， MB 的方程，进一步可得直线 AB 的方程，然后判断可得结果.（Ⅲ）联立直线 AB 与抛物线的方程并使用韦达定理，可得线段 AB 的中点 N 的坐标，然后根据 EN⊥AB 的坐标表示，进行计算可得结果.
15.【答案】 （1）证明：由 (m+2)x?my?3m?8=0 化简得 m(x?y?3)+2x?8=0 ,
令 {x?y?3=02x?8=0?{x=4y=1 ,故直线 l 恒过定点 P(4,1)
（2）解：由题得 (m+2)x?my?3m?8=0 中 m+2≠0,m≠0 .
令 x=0 有 ?my?3m?8=0?y=?3m?8m ,故 l 在 y 轴上的截距为 ?3m?8m .
令 y=0 有 (m+2)x?3m?8=0?x=3m+8m+2 .故 l 在 y 轴上的截距为 3m+8m+2 .
故 ?3m?8m=3m+8m+2?(3m+8)(2m+2)=0 ,故 m=?1 或 m=?83 .
当 m=?1 时, 化简得 x+y?5=0 ,当 m=?83 时,化简得 x?4y=0
故直线的方程为 x+y?5=0 或 x?4y=0
【解析】(1)将含有 m 的项提取出来,再令 m 所乘的式为0,不含 m 的项也为0,列方程求解即可.(2)算出直线 l 在 x,y 轴上的截距令其相等求解即可.
16.【答案】 （1）解：因为圆 O:x2+y2=r2(r>0) 与椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 相交于点M（0，1）所以b=r=1.又离心率为 e=ca=22 ，所以 a=2 ，所以椭圆 C:x22+y2=1 .
（2）解：①因为过点M的直线l另交圆O和椭圆C分别于A，B两点，所以设直线l的方程为 y=kx+1(k≠0) ，由 {y=kx+1x22+y2=1 ，得 (2k2+1)x2+4kx=0 ，
则 B(?4k2k2+1,?2k2+12k2+1) ，同理 {y=kx+1x2+y2=1 ，解得 A(?2kk2+1,?k2+1k2+1) ，
因为 2MB=3MA ，则 2?4k2k2+1=3?2kk2+1 ，
因为 k≠0 ，所以 k=±22 ，即直线l的方程为 y=±22x+1 .
②根据①， A(?2kk2+1,?k2+1k2+1) ， B(?4k2k2+1,?2k2+12k2+1) ，
k1=kNA=yA?yNxA?xN=?k2+1k2+1+1?2kk2+1=?1k ， k2=kNB=yB?yNxB?xN=?2k2+12k2+1+1?4k2k2+1=?12k ，
所以 k2k1=12 为定值.
【解析】（1）由交点M（0，1）可求b ， 由离心率可求a ， 从而得到椭圆方程；（2）①设出直线l的方程，分别联立椭圆方程和圆的方程，解出a ， B两点的坐标，由 2MB=3MA 得到关于k的方程，求解即可得到结果；②结合①中A ， B两点的坐标，利用斜率公式直接用k表示 k1 和 k2 ，由此可求得结果.
一、单选题
1．直线false的斜率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知直线false方程为false，false和false分别为直线false上和false外的点，则方程false表示（ ）
A．过点false且与false垂直的直线 B．与false重合的直线
C．过点false且与false平行的直线 D．不过点false，但与false平行的直线
3．直线false：false和直线false：false.若false，则false的值为（ ）
A．0或5 B．0 C．5 D．非上述答案
4．经过点false，倾斜角是直线false的倾斜角的2倍的直线方程是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．经过定点false的直线都可以用方程false表示
B．不经过原点的直线都可以用方程false表示
C．经过定点false的直线都可以用方程false表示
D．对于直线false，无论false为何值，直线总过第一象限
6．直线false恒过定点（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．false，动直线false过定点false动直线false过定点false，若false与false交于点false（异于点false，false），则false的最大值为
A．false B．false C．false D．false
8．已知false与false是直线false(false为常数)上两个不同的点，则关于false和false的方程组false的解的情况是（ ）
A．无论false如何,总是无解 B．无论false如何,总有唯一解
C．存在false使之恰有两解 D．存在false使之有无穷多解
二、填空题
9．若动点false，false分别在直线false和false上移动，则线段AB的中点false到原点的距离的最小值为____________．
10．已知直线false过点false且与直线false：false垂直，则false的点斜式方程为 ．
11．已知三条直线false，false，false，若false，则false的值为______.
12．已知点false和点falsefalse，若线段false上的任意一点false都满足：经过点false的所有直线中恰好有两条直线与曲线falsefalse相切，则false的最大值为___．
三、解答题
13.过点 P(3,4) 的直线 l
（1）求 l 在两个坐标轴上截距相等的方程；
（2）求 l 与x,y正半轴相交，交点分别是A、B,当△AOB面积最小时的直线方程.
14.已知抛物线 C ： x2=2py(p>0) ，其焦点到准线的距离等于1，设动点 M(t,?12) ，过M作C的两条切线 MA ， MB （A，B为切点）.
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）求证：直线 AB 恒过定点Q；
（Ⅲ）设圆 E ： x2+(y?52)2=r2(r>0) ，若圆E与直线 AB 相切，且切点正好是线段 AB 的中点，求r的值.
15.已知直线 l 方程为 (m+2)x?my?3m?8=0 ， m∈R .
（1）求证：直线 l 恒过定点 P ，并求出定点 P 的坐标；
（2）若直线 l 在 x 轴， y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程.
16.已知圆 O:x2+y2=r2(r>0) 与椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 相交于点M（0，1），N（0，-1），且椭圆的离心率为 22 .
（1）求r的值和椭圆C的方程；
（2）过点M的直线 l 交圆O和椭圆C分别于A ， B两点.
①若 2MB=3MA ，求直线 l 的方程；
②设直线NA的斜率为 k1 ，直线NB的斜率为 k2 ，问: k2k1 是否为定值? 如果是，求出定值；如果不是，说明理由.
参考答案
B2．C3．A4．D5．D6．D7．B8．B9．false10．y－1＝－(x－2)．11．false12．.
13.【答案】 （1）解：当直线过原点时，斜率为 k=43 ，直线方程为 y=43x ；
当直线不过原点时设方程为 xa+ya=1 ，则 3a+4a=1 ，解得 a=7 ，直线方程为 x7+y7=1 ，即 y=?x+7 ．
综上所求直线方程为 y=43x 和 y=?x+7
（2）解：设直线 l 方程为 xa+yb=1(a>0,b>0) ，∵直线过点 P(3,4) ，∴ 3a+4b=1 ，
1=3a+4b≥212ab ，当且仅当 3a=4b ，即 a=6,b=8 时等号成立，∴ ab≥48 ，
S△OAB=12ab≥24 ，∴△AOB面积最小值为24，此时直线方程为 x6+y8=1 ，即 4x+3y?24=0
【解析】（1）分类讨论，直线过原点，直接求出斜率后得直线方程，直线不过原点时设方程为 xa+ya=1 求解；（2）设出截距式方程为 xa+yb=1(a>0,b>0) ，代入点的坐标，用基本不等式求得 ab 的最小值，从而得直线方程．
14.【答案】 解：（Ⅰ）因为抛物线C的焦点和准线分别为 (0,p2) 和 y=?p2 ，
所以由 |p2?(?p2)|=1 ，得 p=1 .
（Ⅱ）设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，则 x12=2y1 ， x22=2y2 ，
因为抛物线 C 的方程可写为 y=12x2 ，
由于 y′=x ，所以切线 MA 的斜率为 x1 ，故 y1+12x1?t=x1 ，
整理得切线 MA 的方程为 2tx1?2y1+1=0 ，
同理可得切线 MB 的方程为 2tx2?2y2+1=0
因为两点A，B确定直线 AB ，所以直线 AB 的方程为 2tx?2y+1=0 ，
所以直线 AB 过定点 Q(0,12) .
（Ⅲ）通过直线 AB 和抛物线C，则
由 {2tx?2y+1=0x2=2y ，可得 x2?2tx?1=0
于是 x1+x2=2t ， y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1
设 N 为线段 AB 的中点，则 N(t,t2+12)
由于 EN⊥AB ，而 EN=(t,t2?2) ， AB 与向量 QN=(t,t2) 平行，
所以 t2+(t2?2)t2=0 ，解得 t=0 或 t=±1
当 t=0 时， r=|EN|=2
当 t=±1 时， r=|EN|=2 .
【解析】（Ⅰ）根据题意可得 |p2?(?p2)|=1 ，简单计算，可得结果.（Ⅱ）利用导数可得切线 MA ， MB 的方程，进一步可得直线 AB 的方程，然后判断可得结果.（Ⅲ）联立直线 AB 与抛物线的方程并使用韦达定理，可得线段 AB 的中点 N 的坐标，然后根据 EN⊥AB 的坐标表示，进行计算可得结果.
15.【答案】 （1）证明：由 (m+2)x?my?3m?8=0 化简得 m(x?y?3)+2x?8=0 ,
令 {x?y?3=02x?8=0?{x=4y=1 ,故直线 l 恒过定点 P(4,1)
（2）解：由题得 (m+2)x?my?3m?8=0 中 m+2≠0,m≠0 .
令 x=0 有 ?my?3m?8=0?y=?3m?8m ,故 l 在 y 轴上的截距为 ?3m?8m .
令 y=0 有 (m+2)x?3m?8=0?x=3m+8m+2 .故 l 在 y 轴上的截距为 3m+8m+2 .
故 ?3m?8m=3m+8m+2?(3m+8)(2m+2)=0 ,故 m=?1 或 m=?83 .
当 m=?1 时, 化简得 x+y?5=0 ,当 m=?83 时,化简得 x?4y=0
故直线的方程为 x+y?5=0 或 x?4y=0
【解析】(1)将含有 m 的项提取出来,再令 m 所乘的式为0,不含 m 的项也为0,列方程求解即可.(2)算出直线 l 在 x,y 轴上的截距令其相等求解即可.
16.【答案】 （1）解：因为圆 O:x2+y2=r2(r>0) 与椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 相交于点M（0，1）所以b=r=1.又离心率为 e=ca=22 ，所以 a=2 ，所以椭圆 C:x22+y2=1 .
（2）解：①因为过点M的直线l另交圆O和椭圆C分别于A，B两点，所以设直线l的方程为 y=kx+1(k≠0) ，由 {y=kx+1x22+y2=1 ，得 (2k2+1)x2+4kx=0 ，
则 B(?4k2k2+1,?2k2+12k2+1) ，同理 {y=kx+1x2+y2=1 ，解得 A(?2kk2+1,?k2+1k2+1) ，
因为 2MB=3MA ，则 2?4k2k2+1=3?2kk2+1 ，
因为 k≠0 ，所以 k=±22 ，即直线l的方程为 y=±22x+1 .
②根据①， A(?2kk2+1,?k2+1k2+1) ， B(?4k2k2+1,?2k2+12k2+1) ，
k1=kNA=yA?yNxA?xN=?k2+1k2+1+1?2kk2+1=?1k ， k2=kNB=yB?yNxB?xN=?2k2+12k2+1+1?4k2k2+1=?12k ，
所以 k2k1=12 为定值.
【解析】（1）由交点M（0，1）可求b ， 由离心率可求a ， 从而得到椭圆方程；（2）①设出直线l的方程，分别联立椭圆方程和圆的方程，解出a ， B两点的坐标，由 2MB=3MA 得到关于k的方程，求解即可得到结果；②结合①中A ， B两点的坐标，利用斜率公式直接用k表示 k1 和 k2 ，由此可求得结果.