2.3直线的交点坐标与距离公式-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2.3直线的交点坐标与距离公式-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 174.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-02 21:21:36 | ||
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文档简介
2.3直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．斜率为2，且过直线false和直线false交点的直线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知点false关于直线false：false的对称点为A，设直线false经过点A，则当点false到直线false的距离最大时，直线false的方程为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
3．两平行直线分别过false，false两点，设两直线间的距离为d，则d最大值是（ ）
A．25 B．15 C．10 D．5
4．若两条直线false与false的交点在false轴上，那么false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．以上答案都不对
5．已知圆false经过原点false且圆心在false轴正半轴上，经过点false且倾斜角为false的直线false与圆false相切于点false，点false在false轴上的射影为点false，设点false为圆false上的任意一点，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．已知直线kx﹣y+2k+1＝0与直线2x+y﹣2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围（ ）
A．false B．false或k＞﹣1
C．false或kfalse D．false
7．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝( )
A．0 B．false
C．false D．2
8．若对圆false上任意一点false，false的取值与false，false无关， 则实数a的取值范围是( )
A．false B．false C．false或false D．false
二、填空题
9．平行直线false：false与false：false之间的距离为______.
10．已知直线y＝falsex＋b与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，那么b的取值范围是________．
11．已知点false是直线false上的一点，将直线false绕点false逆时针方向旋转角false，所得直线方程是false，若将它继续旋转false角，所得直线方程是false，则直线false的方程是______.
12．已知直线false交圆false于false，false两点，则false的取值范围为____________.
解答题
13.已知点 (2,?3) 在圆C： x2+y2?8x+6y+m=0 上．
（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；
（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为 ?43 的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．
14.已知直线 l 方程为 (m+2)x?my?3m?8=0 ， m∈R .
（1）求证：直线 l 恒过定点 P ，并求出定点 P 的坐标；
（2）若直线 l 在 x 轴， y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程.
15.已知 △ABC 的顶点 A(5,1) ， AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x?y?5=0 ， AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x?2y?5=0 ．
（Ⅰ）求顶点 B,C 的坐标；
（Ⅱ）求 △ABC 的面积．
16.如图，已知抛物线 Γ:y2=2px(p>0) ，斜率分别为 k1(k1≥1) ， k2 的直线 l1 ， l2 过焦点 F 且交抛物线于 A ， B 两点和 C ， D 两点.
（Ⅰ）若弦 AB 上一点 G(1,22) 在准线上的投影为 E ， |FA| ， |GE| ， |FB| 成等差数列，求抛物线 Γ 的方程；
（Ⅱ）若 p=2 ，直线 l1 ， l2 的倾斜角互补，求四边形 ACBD 面积的最大值.
参考答案
1.A2．B3．D4．D5．C6．D7．C8．D9．false10．[－1，0)∪(0，1]11．false12．false
13.【答案】 解：（Ⅰ）由题可知： 22+(?3)2?8×2+6×(?3)+m=0?m=21
所以圆 C 的标准方程为 (x?4)2+(y+3)2=4
所以圆心 C(4,?3) ，半径 r=2
（Ⅱ）直线 l 的方程为 y?1=(?43)(x+1) ，即 4x+3y+1=0
则圆心 C 到直线 l 的距离为 d=|4×4+3×(?3)+1|42+32=85
所以弦长 |AB|=2r2?d2=125
【解析】（Ⅰ）将点 (2,?3) 代入圆 C 方程可得 m ，然后将圆 C 方程转化为标准方程形式可得结果.（Ⅱ）根据点斜式可得直线方程，然后计算圆心到直线的距离 d ，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
14.【答案】 （1）证明：由 (m+2)x?my?3m?8=0 化简得 m(x?y?3)+2x?8=0 ,
令 {x?y?3=02x?8=0?{x=4y=1 ,故直线 l 恒过定点 P(4,1)
（2）解：由题得 (m+2)x?my?3m?8=0 中 m+2≠0,m≠0 .
令 x=0 有 ?my?3m?8=0?y=?3m?8m ,故 l 在 y 轴上的截距为 ?3m?8m .
令 y=0 有 (m+2)x?3m?8=0?x=3m+8m+2 .故 l 在 y 轴上的截距为 3m+8m+2 .
故 ?3m?8m=3m+8m+2?(3m+8)(2m+2)=0 ,故 m=?1 或 m=?83 .
当 m=?1 时, 化简得 x+y?5=0 ,当 m=?83 时,化简得 x?4y=0
故直线的方程为 x+y?5=0 或 x?4y=0
【解析】(1)将含有 m 的项提取出来,再令 m 所乘的式为0,不含 m 的项也为0,列方程求解即可.(2)算出直线 l 在 x,y 轴上的截距令其相等求解即可.
15.【答案】 解：（Ⅰ）设点 B(m,n) ，则点 M(m+52,n+12) ，由已知有 {m?2n?5=02×m+52?n+12?5=0 ，
∴{m=?1n=?3 故点 B(?1,?3) ，
同理设 C(x,y) 则 {2x?y?5=0y?1x?5=?2 ， ∴{x=4y=3 则点 C(4,3) ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 B(?1,?3) 、 C(4,3) ，所以 |BC|=(4+1)2+(3+3)2=61
且 kBC=?3?3?1?4=65 ，
所以直线 BC 的方程为 y+3=65(x+1) ，即 6x?5y?9=0
BC 边上的高即点 A 到直线 BC 的距离为 h=|30?5?9|62+52=1661
S△ABC=12|BC|?h=12×61×1661=8
【解析】（Ⅰ）设点 B(m,n) ，即可表示出 M 点的坐标，由 B 在 x?2y?5=0 上及 M 在直线 2x?y?5=0 上得到方程组，解得即可；同理可求 C 的坐标；（Ⅱ）求出边长 BC ，以及对应 BC 边上的高，计算 △ABC 的面积．
16.【答案】 解：（Ⅰ）作 AA1 、 BB1 垂直于准线，垂足分别为 A1 、 B1 ，如图，
因为 |FA| ， |GE| ， |FB| 成等差数列，所以 2|GE|=|FA|+|FB|=|A1A|+|B1B| ，
所以点 G(1,22) 为弦 AB 的中点，
设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，则 x1+x2=2 ， y1+y2=2 ，
将点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) 代入抛物线的方程可得 {y12=2px1y22=2px2 ，
作差得 y12?y22=2p(x1?x2) 即 (y1+y2)(y1?y2)x1?x2=2p ，所以 k1=2p ，
又点 F(p2,0) ，所以 k1=kFG=221?p2=22?p ，
所以 2p=22?p ，所以 p=1 ，
所以抛物线 Γ 的方程为 y2=2x ；
（Ⅱ）当 p=2 时，抛物线 Γ:y2=4x ，焦点 F(1,0) ，
设直线 l1 的方程为 y=k1x?k1 ，直线 l2 的方程为 y=k2x?k2 ，易知 k1=?k2 ，
设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， C(x3,y3) ， D(x4,y4) ，
联立 {y=k1x?k1y2=4x ，消去x整理得 k1y2?4y?4k1=0 ， Δ>0 ，
所以 y1+y2=4k1 ， y1y2=?4 ，
同理 y3+y4=4k2=?4k1 ， y3y4=?4 ，
所以 |AB|=1+1k12?(y1+y2)2?4y1y2=1+1k12?(4k1)2+16=4(1+k12)k12 ，
点C到直线 l1 的距离 d1=|k1x3?y3?k1|1+k12 ，点D到直线 l1 的距离 d2=|k1x4?y4?k1|1+k12 ，
由题知 k1≥1 ， 01 ，
所以 SACBD=12|AB|?(d1+d2)=2(1+k12)k12?(|k1x3?y3?k1|1+k12+|k1x4?y4?k1|1+k12)
=2(1+k12)k12??k1x3+y3+k1+k1x4?y4?k11+k12=21+k12k12?[k14(y42?y32)?(y4?y3)]
=21+k12k12?[k14?(?4k1)?1](y4?y3)=41+k12k12?(y4+y3)2?4y4y3
=41+k12k12?(?4k1)2+16=16(1+k12)k13=16(1k13+1k1) ，
所以当 1k1=1 即 k1=1 时，四边形 ACBD 的面积取最大值，最大值为32.
【解析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得点 G(1,22) 为弦 AB 的中点，利用点差法可得 k1=2p ，即可求得 p=1 ，即可得解；（Ⅱ）设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， C(x3,y3) ， D(x4,y4) ，联立方程可得 y1+y2=4k1 ， y1y2=?4 ， y3+y4=4k2=?4k1 ， y3y4=?4 ，由弦长公式、点到直线的距离公式化简可得四边形的面积为 16(1k13+1k1) ，即可得解.
一、单选题
1．斜率为2，且过直线false和直线false交点的直线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知点false关于直线false：false的对称点为A，设直线false经过点A，则当点false到直线false的距离最大时，直线false的方程为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
3．两平行直线分别过false，false两点，设两直线间的距离为d，则d最大值是（ ）
A．25 B．15 C．10 D．5
4．若两条直线false与false的交点在false轴上，那么false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．以上答案都不对
5．已知圆false经过原点false且圆心在false轴正半轴上，经过点false且倾斜角为false的直线false与圆false相切于点false，点false在false轴上的射影为点false，设点false为圆false上的任意一点，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．已知直线kx﹣y+2k+1＝0与直线2x+y﹣2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围（ ）
A．false B．false或k＞﹣1
C．false或kfalse D．false
7．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|min＝( )
A．0 B．false
C．false D．2
8．若对圆false上任意一点false，false的取值与false，false无关， 则实数a的取值范围是( )
A．false B．false C．false或false D．false
二、填空题
9．平行直线false：false与false：false之间的距离为______.
10．已知直线y＝falsex＋b与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，那么b的取值范围是________．
11．已知点false是直线false上的一点，将直线false绕点false逆时针方向旋转角false，所得直线方程是false，若将它继续旋转false角，所得直线方程是false，则直线false的方程是______.
12．已知直线false交圆false于false，false两点，则false的取值范围为____________.
解答题
13.已知点 (2,?3) 在圆C： x2+y2?8x+6y+m=0 上．
（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；
（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为 ?43 的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．
14.已知直线 l 方程为 (m+2)x?my?3m?8=0 ， m∈R .
（1）求证：直线 l 恒过定点 P ，并求出定点 P 的坐标；
（2）若直线 l 在 x 轴， y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程.
15.已知 △ABC 的顶点 A(5,1) ， AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x?y?5=0 ， AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x?2y?5=0 ．
（Ⅰ）求顶点 B,C 的坐标；
（Ⅱ）求 △ABC 的面积．
16.如图，已知抛物线 Γ:y2=2px(p>0) ，斜率分别为 k1(k1≥1) ， k2 的直线 l1 ， l2 过焦点 F 且交抛物线于 A ， B 两点和 C ， D 两点.
（Ⅰ）若弦 AB 上一点 G(1,22) 在准线上的投影为 E ， |FA| ， |GE| ， |FB| 成等差数列，求抛物线 Γ 的方程；
（Ⅱ）若 p=2 ，直线 l1 ， l2 的倾斜角互补，求四边形 ACBD 面积的最大值.
参考答案
1.A2．B3．D4．D5．C6．D7．C8．D9．false10．[－1，0)∪(0，1]11．false12．false
13.【答案】 解：（Ⅰ）由题可知： 22+(?3)2?8×2+6×(?3)+m=0?m=21
所以圆 C 的标准方程为 (x?4)2+(y+3)2=4
所以圆心 C(4,?3) ，半径 r=2
（Ⅱ）直线 l 的方程为 y?1=(?43)(x+1) ，即 4x+3y+1=0
则圆心 C 到直线 l 的距离为 d=|4×4+3×(?3)+1|42+32=85
所以弦长 |AB|=2r2?d2=125
【解析】（Ⅰ）将点 (2,?3) 代入圆 C 方程可得 m ，然后将圆 C 方程转化为标准方程形式可得结果.（Ⅱ）根据点斜式可得直线方程，然后计算圆心到直线的距离 d ，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
14.【答案】 （1）证明：由 (m+2)x?my?3m?8=0 化简得 m(x?y?3)+2x?8=0 ,
令 {x?y?3=02x?8=0?{x=4y=1 ,故直线 l 恒过定点 P(4,1)
（2）解：由题得 (m+2)x?my?3m?8=0 中 m+2≠0,m≠0 .
令 x=0 有 ?my?3m?8=0?y=?3m?8m ,故 l 在 y 轴上的截距为 ?3m?8m .
令 y=0 有 (m+2)x?3m?8=0?x=3m+8m+2 .故 l 在 y 轴上的截距为 3m+8m+2 .
故 ?3m?8m=3m+8m+2?(3m+8)(2m+2)=0 ,故 m=?1 或 m=?83 .
当 m=?1 时, 化简得 x+y?5=0 ,当 m=?83 时,化简得 x?4y=0
故直线的方程为 x+y?5=0 或 x?4y=0
【解析】(1)将含有 m 的项提取出来,再令 m 所乘的式为0,不含 m 的项也为0,列方程求解即可.(2)算出直线 l 在 x,y 轴上的截距令其相等求解即可.
15.【答案】 解：（Ⅰ）设点 B(m,n) ，则点 M(m+52,n+12) ，由已知有 {m?2n?5=02×m+52?n+12?5=0 ，
∴{m=?1n=?3 故点 B(?1,?3) ，
同理设 C(x,y) 则 {2x?y?5=0y?1x?5=?2 ， ∴{x=4y=3 则点 C(4,3) ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 B(?1,?3) 、 C(4,3) ，所以 |BC|=(4+1)2+(3+3)2=61
且 kBC=?3?3?1?4=65 ，
所以直线 BC 的方程为 y+3=65(x+1) ，即 6x?5y?9=0
BC 边上的高即点 A 到直线 BC 的距离为 h=|30?5?9|62+52=1661
S△ABC=12|BC|?h=12×61×1661=8
【解析】（Ⅰ）设点 B(m,n) ，即可表示出 M 点的坐标，由 B 在 x?2y?5=0 上及 M 在直线 2x?y?5=0 上得到方程组，解得即可；同理可求 C 的坐标；（Ⅱ）求出边长 BC ，以及对应 BC 边上的高，计算 △ABC 的面积．
16.【答案】 解：（Ⅰ）作 AA1 、 BB1 垂直于准线，垂足分别为 A1 、 B1 ，如图，
因为 |FA| ， |GE| ， |FB| 成等差数列，所以 2|GE|=|FA|+|FB|=|A1A|+|B1B| ，
所以点 G(1,22) 为弦 AB 的中点，
设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，则 x1+x2=2 ， y1+y2=2 ，
将点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) 代入抛物线的方程可得 {y12=2px1y22=2px2 ，
作差得 y12?y22=2p(x1?x2) 即 (y1+y2)(y1?y2)x1?x2=2p ，所以 k1=2p ，
又点 F(p2,0) ，所以 k1=kFG=221?p2=22?p ，
所以 2p=22?p ，所以 p=1 ，
所以抛物线 Γ 的方程为 y2=2x ；
（Ⅱ）当 p=2 时，抛物线 Γ:y2=4x ，焦点 F(1,0) ，
设直线 l1 的方程为 y=k1x?k1 ，直线 l2 的方程为 y=k2x?k2 ，易知 k1=?k2 ，
设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， C(x3,y3) ， D(x4,y4) ，
联立 {y=k1x?k1y2=4x ，消去x整理得 k1y2?4y?4k1=0 ， Δ>0 ，
所以 y1+y2=4k1 ， y1y2=?4 ，
同理 y3+y4=4k2=?4k1 ， y3y4=?4 ，
所以 |AB|=1+1k12?(y1+y2)2?4y1y2=1+1k12?(4k1)2+16=4(1+k12)k12 ，
点C到直线 l1 的距离 d1=|k1x3?y3?k1|1+k12 ，点D到直线 l1 的距离 d2=|k1x4?y4?k1|1+k12 ，
由题知 k1≥1 ， 0
所以 SACBD=12|AB|?(d1+d2)=2(1+k12)k12?(|k1x3?y3?k1|1+k12+|k1x4?y4?k1|1+k12)
=2(1+k12)k12??k1x3+y3+k1+k1x4?y4?k11+k12=21+k12k12?[k14(y42?y32)?(y4?y3)]
=21+k12k12?[k14?(?4k1)?1](y4?y3)=41+k12k12?(y4+y3)2?4y4y3
=41+k12k12?(?4k1)2+16=16(1+k12)k13=16(1k13+1k1) ，
所以当 1k1=1 即 k1=1 时，四边形 ACBD 的面积取最大值，最大值为32.
【解析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得点 G(1,22) 为弦 AB 的中点，利用点差法可得 k1=2p ，即可求得 p=1 ，即可得解；（Ⅱ）设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， C(x3,y3) ， D(x4,y4) ，联立方程可得 y1+y2=4k1 ， y1y2=?4 ， y3+y4=4k2=?4k1 ， y3y4=?4 ，由弦长公式、点到直线的距离公式化简可得四边形的面积为 16(1k13+1k1) ，即可得解.