2.4圆的方程-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2.4圆的方程-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 130.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-02 00:00:00 | ||
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文档简介
2.4圆的方程
一、单选题
1．若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0被直线l：x+yfalse4=0平分，则D+E的值为（ ）
A．false6 B．false2 C．false8 D．false4
2．已知点false 和圆false ，一束光线从点false 出发，经过false轴反射到圆false的最短路程是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．方程false表示圆，则a的范围是（ ）
A．false或false B．false C．false D．false
4．已知圆falsefalse为坐标原点，则以false为直径的圆的方程( )
A．false B．false
C．false D．false
5．已知半径为1的圆经过点false，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
6．设椭圆的方程为false右焦点为false，方程false的两实根分别为false，则false（ ）
A．必在圆false内 B．必在圆false外
C．必在圆false外 D．必在圆false与圆false形成的圆环之间
7．若方程false表示圆，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
8．在平面直角坐标系false中，圆false经过点false，false，且与false轴正半轴相切，若圆false上存在点false，使得直线false与直线false关于false轴对称，则false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题
9．已知圆false的圆心在直线false上，圆M与直线false相切于点false，则圆false的标准方程为______.
10．若曲线false上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为________.
11．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m.
12．已知圆false的圆心在坐标原点，截直线false所得的弦长为false，则圆的方程为__________．
三、解答题
13.已知圆 C 在 x 轴上的截距为 ?1 和 3 ，在 y 轴上的一个截距为 1 ．
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）若过点 (2?,??3?1) 的直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 的长为 4 ，求直线 l 的倾斜角；
（3）求过原点且被圆 C 截得的弦长最短时的直线 l′ 的方程．
14.已知两圆 C1:x2+y2?2x+10y?24=0 和 C2:x2+y2+2x+2y?8=0 ．
（1）求公共弦所在的直线方程；
（2）求公共弦的长度；
（3）求经过原点以及圆 C1 和圆 C2 交点的圆的方程．
15.已知：圆 C 过点 D(0,1) ， E(?2,1) ， F(?1,2) ，P是直线 l1:y=x?2 上的任意一点，直线 l2:y=x+1 与圆C交于A、B两点.
（1）求圆C的方程；
（2）求 |PA|2+|PB|2 的最小值.
16.在平面直角坐标系xOy中，圆C： x2+y2+4x?2ay+a2=0
（1）若圆C与x轴相切，求实数a的值；
（2）若M，N为圆C上不同的两点，过点M，N分别作圆C的切线 l1,l2 ，若 l1 与 l2 相交于点P，圆C上异于M，N另有一点Q，满足 MON=60° ，若直线 l1 ： x?y?6=0 上存在唯一的一个点T，使得 TP=2OC ，求实数a的值.
参考答案
C2．C3．C4．C5．A6．D7．B8．D9．false10．false11．false12．
13.【答案】 （1）解：设 A(?1,0)? ， B(3,0) ， D(0,1) ，
则 AB 中垂线为 x=1 ， AD 中垂线为 y=?x ，
∴圆心 C(x,y) 满足 {x=1?,?y=?x?,?
∴ C(1?,?1) ，半径 r=CD=1+4=5 ，
∴圆 C 的标准方程为 (x?1)2+(y+1)2=5
（2）解：当斜率不存在时， l ： x=2 到圆心的距离为1，
亦满足题意，直线 l 的倾斜角为90°；
当斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k(x?2)+3?1 ，
由弦长为4，可得圆心 (1?,?1) 到直线 l 的距离为 5?4=1 ，
即： |k(1?2)+1+3?1|1+k2=1 ，
∴ k=33 ，此时直线 l 的倾斜角为30°，
综上所述，直线 l 的倾斜角为30°或90°
（3）解：当过原点且被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l′ 与直线 OC 垂直
∵ kOC=?1 ??
∴直线 l′ ： y=x
【解析】（1）根据题意，圆过点 A(?1,0)? ， B(3,0) ， D(0,1) ，根据弦的中垂线过圆心即可求解；（2）先考虑直线斜率不存在时的情况，易知满足条件，再讨论斜率不存在的时候，设出方程，利用垂径定理求解即可；（3）过原点且被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l′ 与直线 OC 垂直，进而得直线 l′ 的方程.
14.【答案】 （1）解：将两圆方程相减，有公共弦所在直线方程为 x?2y+4=0
（2）解：法一：由（1）有： x=2y?4 ，代入圆 C2 得 y2?2y=0 ，有 y1=0 ， y2=2 ．
∴ {x1=?4y1=0 或 {x2=0y2=2 ，交点坐标为 (?4,0) 和 (0,2) ．
∴两圆的公共弦长为 (?4?0)2+(0?2)2=25 ．
法二：由（1）有两圆相交弦所在直线为 x?2y+4=0 ，且圆心 C1(1,?5) ，
圆心 C1 到直线 x?2y+4=0 的距离 d=|1?2×(?5)+4|1+(?2)2=35 ，
设公共弦长为 2l ，由勾股定理 r2=d2+l2 ，得 50=45+l2 ，解得 l=5 ，所以公共弦长 2l=25 ．
（3）解：设经过原点以及圆 C1 和圆 C2 交点的圆的方程为 (x?a)2+(y?b)2=r2 ，
∴结合（1）（2）， {a2+b2=r2(a+4)2+b2=r2a2+(b?2)2=r2 ，得 {a=?2b=1r=5 ，
∴ x2+y2+4x?2y=0 ，
【解析】（1）由两圆公共弦的直线方程为两圆方程相减即可得；（2）法一：联立公共弦所在直线方程 x?2y+4=0 与其中一圆的方程求得交点坐标，根据两点距离公式即可求公共弦的长度；法二：求其中一圆的圆心到公共弦的距离 d ，它与圆的半径 r 、公共弦的一半 l 的关系： r2=d2+l2 即可求公共弦的长度；（3）设圆的方程为 (x?a)2+(y?b)2=r2 ，由它过原点以及圆 C1 和圆 C2 交点，将点坐标代入求参数，即可得圆的方程.
15.【答案】 （1）解：设圆C的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，依题意可得，
{E+F+1=0?2D+E+F+5=0?D+2E+F=3=0 ?D=2,E=0,F=?1 ．
所以圆 C 的方程为： x2+y2+2x?1=0
（2）解：联立 {y?x?1=0x2+y2+2x?1=0?{x=0y=1 或 {x=?2y=?1 ，
不妨设 A(0,1),B(?2,?1) ， P(x,y) ，则 y=x?2 ，
∴ |PA|2+|PB|2=x2+(y?1)2+(x+2)2+(y+1)2=4x2?4x+14=4(x?12)2+13 ．
故 |PA|2+|PB|2 的最小值为13
【解析】（1）设圆C的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，即可根据题意列出三个方程，解出 D,E,F ，即可得到圆C的方程；（2）联立直线 l2 的方程和圆C的方程可得A、B两点的坐标，设 P(x,y) ，再根据两点间的距离公式表示出 |PA|2+|PB|2 ，消去y，可得关于x的二次函数，即可求出最小值．
16.【答案】 （1）解：圆 C 的方程可以化为： (x+2)2+(y?a)2=4 ，
所以圆心 C(?2，a) ，半径为2，
因为圆 C 与 x 轴相切，所以 |a|=2 ，所以 a=±2 .
（2）解：因为点 M，N 在圆 C 上，且 ∠MQN=60? ，
所以 ∠MCN=120? ，
因为 PM，PN 分别是圆 C 的切线，
所以 PC=4 ，即点 P 在以 C 为圆心， 4 为半径的圆上，
所以点 P 的轨迹方程为 (x+2)2+(y?a)2=16 ，
设 T(x0，y0) ， P(m，n) ，
由 TP=2OC 得， (m?x0，n?y0)=2(?2，a)
所以 {m?x0=?4n?y0=2a ，即 {m=x0?4n=y0+2a ，所以 (x0?2)2+(y0+a)2=16 ，
因为直线 l ： x?y?6=0 上一存在唯一点 T ，使得 TP=2OC ，
所以 {(x0?2)2+(y0+a)2=16x0?y0?6=0 只有一组解，
所以 |2+a?6|2=4 ，所以 a=4±42 .
【解析】（1）根据圆的一般方程求得圆心和半径，结合圆与 x 轴相切求得 a 的值.（2）求得 P 的轨迹方程，结合直线 l ： x?y?6=0 上一存在唯一点 T ，使得 TP=2OC 列方程，解方程求得 a 的值.
一、单选题
1．若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0被直线l：x+yfalse4=0平分，则D+E的值为（ ）
A．false6 B．false2 C．false8 D．false4
2．已知点false 和圆false ，一束光线从点false 出发，经过false轴反射到圆false的最短路程是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．方程false表示圆，则a的范围是（ ）
A．false或false B．false C．false D．false
4．已知圆falsefalse为坐标原点，则以false为直径的圆的方程( )
A．false B．false
C．false D．false
5．已知半径为1的圆经过点false，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
6．设椭圆的方程为false右焦点为false，方程false的两实根分别为false，则false（ ）
A．必在圆false内 B．必在圆false外
C．必在圆false外 D．必在圆false与圆false形成的圆环之间
7．若方程false表示圆，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
8．在平面直角坐标系false中，圆false经过点false，false，且与false轴正半轴相切，若圆false上存在点false，使得直线false与直线false关于false轴对称，则false的最小值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题
9．已知圆false的圆心在直线false上，圆M与直线false相切于点false，则圆false的标准方程为______.
10．若曲线false上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为________.
11．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m.
12．已知圆false的圆心在坐标原点，截直线false所得的弦长为false，则圆的方程为__________．
三、解答题
13.已知圆 C 在 x 轴上的截距为 ?1 和 3 ，在 y 轴上的一个截距为 1 ．
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）若过点 (2?,??3?1) 的直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 的长为 4 ，求直线 l 的倾斜角；
（3）求过原点且被圆 C 截得的弦长最短时的直线 l′ 的方程．
14.已知两圆 C1:x2+y2?2x+10y?24=0 和 C2:x2+y2+2x+2y?8=0 ．
（1）求公共弦所在的直线方程；
（2）求公共弦的长度；
（3）求经过原点以及圆 C1 和圆 C2 交点的圆的方程．
15.已知：圆 C 过点 D(0,1) ， E(?2,1) ， F(?1,2) ，P是直线 l1:y=x?2 上的任意一点，直线 l2:y=x+1 与圆C交于A、B两点.
（1）求圆C的方程；
（2）求 |PA|2+|PB|2 的最小值.
16.在平面直角坐标系xOy中，圆C： x2+y2+4x?2ay+a2=0
（1）若圆C与x轴相切，求实数a的值；
（2）若M，N为圆C上不同的两点，过点M，N分别作圆C的切线 l1,l2 ，若 l1 与 l2 相交于点P，圆C上异于M，N另有一点Q，满足 MON=60° ，若直线 l1 ： x?y?6=0 上存在唯一的一个点T，使得 TP=2OC ，求实数a的值.
参考答案
C2．C3．C4．C5．A6．D7．B8．D9．false10．false11．false12．
13.【答案】 （1）解：设 A(?1,0)? ， B(3,0) ， D(0,1) ，
则 AB 中垂线为 x=1 ， AD 中垂线为 y=?x ，
∴圆心 C(x,y) 满足 {x=1?,?y=?x?,?
∴ C(1?,?1) ，半径 r=CD=1+4=5 ，
∴圆 C 的标准方程为 (x?1)2+(y+1)2=5
（2）解：当斜率不存在时， l ： x=2 到圆心的距离为1，
亦满足题意，直线 l 的倾斜角为90°；
当斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k(x?2)+3?1 ，
由弦长为4，可得圆心 (1?,?1) 到直线 l 的距离为 5?4=1 ，
即： |k(1?2)+1+3?1|1+k2=1 ，
∴ k=33 ，此时直线 l 的倾斜角为30°，
综上所述，直线 l 的倾斜角为30°或90°
（3）解：当过原点且被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l′ 与直线 OC 垂直
∵ kOC=?1 ??
∴直线 l′ ： y=x
【解析】（1）根据题意，圆过点 A(?1,0)? ， B(3,0) ， D(0,1) ，根据弦的中垂线过圆心即可求解；（2）先考虑直线斜率不存在时的情况，易知满足条件，再讨论斜率不存在的时候，设出方程，利用垂径定理求解即可；（3）过原点且被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l′ 与直线 OC 垂直，进而得直线 l′ 的方程.
14.【答案】 （1）解：将两圆方程相减，有公共弦所在直线方程为 x?2y+4=0
（2）解：法一：由（1）有： x=2y?4 ，代入圆 C2 得 y2?2y=0 ，有 y1=0 ， y2=2 ．
∴ {x1=?4y1=0 或 {x2=0y2=2 ，交点坐标为 (?4,0) 和 (0,2) ．
∴两圆的公共弦长为 (?4?0)2+(0?2)2=25 ．
法二：由（1）有两圆相交弦所在直线为 x?2y+4=0 ，且圆心 C1(1,?5) ，
圆心 C1 到直线 x?2y+4=0 的距离 d=|1?2×(?5)+4|1+(?2)2=35 ，
设公共弦长为 2l ，由勾股定理 r2=d2+l2 ，得 50=45+l2 ，解得 l=5 ，所以公共弦长 2l=25 ．
（3）解：设经过原点以及圆 C1 和圆 C2 交点的圆的方程为 (x?a)2+(y?b)2=r2 ，
∴结合（1）（2）， {a2+b2=r2(a+4)2+b2=r2a2+(b?2)2=r2 ，得 {a=?2b=1r=5 ，
∴ x2+y2+4x?2y=0 ，
【解析】（1）由两圆公共弦的直线方程为两圆方程相减即可得；（2）法一：联立公共弦所在直线方程 x?2y+4=0 与其中一圆的方程求得交点坐标，根据两点距离公式即可求公共弦的长度；法二：求其中一圆的圆心到公共弦的距离 d ，它与圆的半径 r 、公共弦的一半 l 的关系： r2=d2+l2 即可求公共弦的长度；（3）设圆的方程为 (x?a)2+(y?b)2=r2 ，由它过原点以及圆 C1 和圆 C2 交点，将点坐标代入求参数，即可得圆的方程.
15.【答案】 （1）解：设圆C的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，依题意可得，
{E+F+1=0?2D+E+F+5=0?D+2E+F=3=0 ?D=2,E=0,F=?1 ．
所以圆 C 的方程为： x2+y2+2x?1=0
（2）解：联立 {y?x?1=0x2+y2+2x?1=0?{x=0y=1 或 {x=?2y=?1 ，
不妨设 A(0,1),B(?2,?1) ， P(x,y) ，则 y=x?2 ，
∴ |PA|2+|PB|2=x2+(y?1)2+(x+2)2+(y+1)2=4x2?4x+14=4(x?12)2+13 ．
故 |PA|2+|PB|2 的最小值为13
【解析】（1）设圆C的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，即可根据题意列出三个方程，解出 D,E,F ，即可得到圆C的方程；（2）联立直线 l2 的方程和圆C的方程可得A、B两点的坐标，设 P(x,y) ，再根据两点间的距离公式表示出 |PA|2+|PB|2 ，消去y，可得关于x的二次函数，即可求出最小值．
16.【答案】 （1）解：圆 C 的方程可以化为： (x+2)2+(y?a)2=4 ，
所以圆心 C(?2，a) ，半径为2，
因为圆 C 与 x 轴相切，所以 |a|=2 ，所以 a=±2 .
（2）解：因为点 M，N 在圆 C 上，且 ∠MQN=60? ，
所以 ∠MCN=120? ，
因为 PM，PN 分别是圆 C 的切线，
所以 PC=4 ，即点 P 在以 C 为圆心， 4 为半径的圆上，
所以点 P 的轨迹方程为 (x+2)2+(y?a)2=16 ，
设 T(x0，y0) ， P(m，n) ，
由 TP=2OC 得， (m?x0，n?y0)=2(?2，a)
所以 {m?x0=?4n?y0=2a ，即 {m=x0?4n=y0+2a ，所以 (x0?2)2+(y0+a)2=16 ，
因为直线 l ： x?y?6=0 上一存在唯一点 T ，使得 TP=2OC ，
所以 {(x0?2)2+(y0+a)2=16x0?y0?6=0 只有一组解，
所以 |2+a?6|2=4 ，所以 a=4±42 .
【解析】（1）根据圆的一般方程求得圆心和半径，结合圆与 x 轴相切求得 a 的值.（2）求得 P 的轨迹方程，结合直线 l ： x?y?6=0 上一存在唯一点 T ，使得 TP=2OC 列方程，解方程求得 a 的值.