2.5直线与圆、圆与圆的位置关系-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 160.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-02 21:22:55 | ||
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文档简介
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．直线false与圆false的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．平面直角坐标系内，过点false的直线false与曲线false相交于false两点，当false的面积最大时，直线false的斜率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知点false，若圆false上存在点false，使得线段false的中点也在圆false上，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．圆false上到直线false的距离等于1.5的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若圆false上的任意一点false关于直线false对称的点仍在圆M上，则false的最小值为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
6．直线false与圆false相交于false两点，若弦false的中点为false，则直线false的方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知点false，false，若圆C：false上存在点P，使得false，则实数m的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．过抛物线false焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段false为直径的圆与直线false相切，则直线l的方程为（ ）
A．false或false B．false或false
C．false或false D．false或false
二、填空题
9．若关于x的方程false有两个不同实数解，则实数k的取值范围是________.
10．已知false为圆false上任意一点，false，false为直线false上的两个动点，且false，则false面积的取值范围是_________.
11．直线false被圆false截得的弦长为______.
12．已知圆false：false，（false）与圆false：false，（false）只有一条公切线，则false的最小值为______.
三、解答题
13.已知关于 x,y 的方程 C:x2+y2?2x?4y+m=0 ．
（1）若方程 C 表示圆，求 m 的取值范围；
（2）若圆 C 与圆 x2+y2?8x?12y+36=0 外切，求 m 的值；
（3）若圆 C 与直线 l:x+2y?4=0 相交于 M,N 两点，且 |MN|=455 ，求 m 的值．
14.已知圆 O:x2+y2=4 ，点P在直线 y=?3 上运动．
（1）若点P的横坐标为 ?1 ，且过点P的直线l被圆O截得的弦长为 23 ，求直线l的方程；
（2）若直线 PA ， PB 与圆O相切，且A，B为切点，证明：直线 AB 恒过定点，并求出定点坐标．
15点为A，B．
（1）当切线PA的长度为 3 时，求点P的坐标；
（2）若 △PAM 的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
16.已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 ∠COD=120° （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
参考答案
B2．A3．B4．B5．D6．C7．C8．B9．false10．false11．false12．false
13.【答案】 （1）解：方程 C 可化为? (x?1)2+(y?2)2=5?m ，
显然? 5?m>0时,即m<5 时方程 C 表示圆．
（2）解：由（1）知圆 C 的圆心为 (1,2) ，半径为 5?m ，
x2+y2?8x?12y+36=0 可化为 (x?4)2+(y?6)2=16 ，
故圆心为 (4,6) ，半径为 4 ．
又两圆外切，
所以 (4?1)2+(6?2)2=5?m+4 ，
即 5=5?m+4 ，可得 m=4 ．
（3）解：圆 C 的圆心 (1,2) 到直线 l:x+2y?4=0 的距离为
d=|1+2×2?4|12+22=15 ，
由 |MN|=455, 则 12|MN|=255 ，
又 r2=d2+(12|MN|)2 ，
所以 5?m=(55)2+(255)2, 得? m=4
【解析】（1）根据圆的标准的方程条件列不等式求出 m 的范围；（Ⅱ）利用垂径定理得出圆的半径，从而得出 m 的值．（Ⅲ）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出 m 的值．
14.【答案】 （1）解：∵点P在 y=?3 上，且横坐标为 ?1 ，∴ P(?1,?3) ，
又∵l被圆截得的弦长为 23 ，
∴圆心O到直线l的距离 d=1 ，
①当直线l斜率不存在，即 x=?1 时，满足题意；
②当直线l斜率存在时，设 l:y=k(x+1)?3 ，
则 d=|k?3|k2+1=1 ，解得 k=43 ，
∴ l:y=43(x+1)?3 ，即l的方程为 4x?3y?5=0 ；
综上所述，直线l的方程为 x=?1 或 4x?3y?5=0
（2）解：依题意，直线 PA ， PB 与圆O相切， PA⊥AO ， PB⊥BO ，A，B也在以OP为直径的圆上，
设 P(t,?3) ，则 OP 的中点坐标为 (t2,?32) ，∴以 OP 为直径的圆的半径为 12t2+9 ，
∴以 OP 为直径的圆的方程为 (x?t2)2+(y+32)2=14(t2+9)
整理得 x2?tx+y2+3y=0 ①，
又∵ A,B 为切点，圆O的方程 x2+y2=4 ②，
由①-②可得直线 AB 的方程为 tx?3y?4=0 ，易见 x=0 时 y=?43 ，
故直线 AB 恒过定点 (0,?43) ．
【解析】(1)先根据弦长求得圆心O到直线l的距离，利用距离列关系求斜率即可，注意考虑斜率不存在的情况；(2)先判断A，B也在以OP为直径的圆上，两圆作差即得相交弦所在直线 AB 的方程，再判断定点即可.
15.【答案】 （1）解：由题可知，圆M的半径 r=1 ，设 P(?2b,b) ，
因为PA是圆M的一条切线，所以 ∠MAP=90° ，
所以 |MP|=(0+2b)2+(2?b)2=|AM|2+|AP|2=2 ，
解得 b=0 或 b=45 ，
所以点P的坐标为 P(0,0) 或 P(?85,45)
（2）解：设 P(?2b,b) ，因为 ∠MAP=90° ，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为 (x+b)2+(y?b+22)2=4b2+(b?2)24 ，
即 (2x?y+2)b+(x2+y2?2y)=0 ，
由 {2x?y+2=0x2+y2?2y=0 ，
解得 {x=0y=2 或 {x=?45y=25 ，
所以圆过定点 (0,2) ， (?45,25)
（3）解：因为圆N方程为 (x+b)2+(y?b+22)2=4b2+(b?2)24 ，
即 x2+y2+2bx?(b+2)y+2b=0 ①
又圆 M:x2+y2?4y+3=0 ②
①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
2bx?(b?2)y+2b?3=0 ．
点 M(0,2) 到直线AB的距离 d=15b2?4b+4 ，
所以相交弦长 |AB|=21?d2=21?15d2?4b+4
=21?15(b?25)2+165 ，
所以当 b=25 时，AB有最小值 112
【解析】（1）设 P(?2b,b) ，由 |MP|=|AM|2+|AP|2 ，计算即可求得 b ，得出结果；（2）因为A、P、M三点的圆N以MP为直径，所以圆 N 的方程为 (x+b)2+(y?b+22)2=4b2+(b?2)24 ，化简为 (2x?y+2)b+(x2+y2?2y)=0 ，由方程恒成立可知 {2x?y+2=0x2+y2?2y=0 ，即可求得动圆所过的定点；（3）由圆 M 和圆 N 方程作差可得直线 AB 方程，设点 M(0,2) 到直线AB的距离 d ，则 |AB|=21?d2 ，计算化简可得结果.
16.【答案】 （1）解：设点 P 的坐标为 (x,y) ，
由 |PA|=2|PB| 可得，
x2+(y?4)2=2x2+(y?1)2 ，
整理可得 x2+y2=4 ，
所以曲线 E 的轨迹方程为 x2+y2=4
（2）解：依题意， OC=OD=2 ，且 ∠COD=120° ，
则点 O 到 CD 边的距离为 1 ，
即点 O(0,0) 到直线 l:kx?y?4=0 的距离 4k2+1=1 ，
解得 k=±15 ，
所以直线 l 的斜率为 ±15 .
（3）解：依题意， ON⊥QN,OM⊥QM ，
则 M，N 都在以 OQ 为直径的圆 F 上，
Q是直线 l:y=x?4 上的动点，
设 Q(t,t?4)
则圆F的圆心为 (t2,t?42) ，且经过坐标原点，
即圆的方程为 x2+y2?tx?(t?4)y=0 ，
又因为 M,N 在曲线 E:x2+y2=4 上，
由 {x2+y2=4x2+y2?tx?(t?4)y=0 ，
可得 tx+(t?4)y?4=0
即直线 MN 的方程为 tx+(t?4)y?4=0
由 t∈R 且 t(x+y)?4y?4=0 可得，
{x+y=04y+4=0 解得 {x=1y=?1 ，
所以直线 MN 是过定点 (1,?1) .
【解析】（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由 ∠COD=120° ，则点O到 CD 边的距离为 1 ，由点到线的距离公式得直线 l 的斜率；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设 Q(t,t?4) ，则圆 F 的圆心为 (t2,t?42) 运用直径式圆的方程，得直线 MN 的方程为 tx+(t?4)y?4=0 ，结合直线系方程，即可得到所求定点．
一、单选题
1．直线false与圆false的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．平面直角坐标系内，过点false的直线false与曲线false相交于false两点，当false的面积最大时，直线false的斜率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知点false，若圆false上存在点false，使得线段false的中点也在圆false上，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．圆false上到直线false的距离等于1.5的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若圆false上的任意一点false关于直线false对称的点仍在圆M上，则false的最小值为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
6．直线false与圆false相交于false两点，若弦false的中点为false，则直线false的方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知点false，false，若圆C：false上存在点P，使得false，则实数m的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．过抛物线false焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段false为直径的圆与直线false相切，则直线l的方程为（ ）
A．false或false B．false或false
C．false或false D．false或false
二、填空题
9．若关于x的方程false有两个不同实数解，则实数k的取值范围是________.
10．已知false为圆false上任意一点，false，false为直线false上的两个动点，且false，则false面积的取值范围是_________.
11．直线false被圆false截得的弦长为______.
12．已知圆false：false，（false）与圆false：false，（false）只有一条公切线，则false的最小值为______.
三、解答题
13.已知关于 x,y 的方程 C:x2+y2?2x?4y+m=0 ．
（1）若方程 C 表示圆，求 m 的取值范围；
（2）若圆 C 与圆 x2+y2?8x?12y+36=0 外切，求 m 的值；
（3）若圆 C 与直线 l:x+2y?4=0 相交于 M,N 两点，且 |MN|=455 ，求 m 的值．
14.已知圆 O:x2+y2=4 ，点P在直线 y=?3 上运动．
（1）若点P的横坐标为 ?1 ，且过点P的直线l被圆O截得的弦长为 23 ，求直线l的方程；
（2）若直线 PA ， PB 与圆O相切，且A，B为切点，证明：直线 AB 恒过定点，并求出定点坐标．
15点为A，B．
（1）当切线PA的长度为 3 时，求点P的坐标；
（2）若 △PAM 的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
16.已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 ∠COD=120° （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
参考答案
B2．A3．B4．B5．D6．C7．C8．B9．false10．false11．false12．false
13.【答案】 （1）解：方程 C 可化为? (x?1)2+(y?2)2=5?m ，
显然? 5?m>0时,即m<5 时方程 C 表示圆．
（2）解：由（1）知圆 C 的圆心为 (1,2) ，半径为 5?m ，
x2+y2?8x?12y+36=0 可化为 (x?4)2+(y?6)2=16 ，
故圆心为 (4,6) ，半径为 4 ．
又两圆外切，
所以 (4?1)2+(6?2)2=5?m+4 ，
即 5=5?m+4 ，可得 m=4 ．
（3）解：圆 C 的圆心 (1,2) 到直线 l:x+2y?4=0 的距离为
d=|1+2×2?4|12+22=15 ，
由 |MN|=455, 则 12|MN|=255 ，
又 r2=d2+(12|MN|)2 ，
所以 5?m=(55)2+(255)2, 得? m=4
【解析】（1）根据圆的标准的方程条件列不等式求出 m 的范围；（Ⅱ）利用垂径定理得出圆的半径，从而得出 m 的值．（Ⅲ）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出 m 的值．
14.【答案】 （1）解：∵点P在 y=?3 上，且横坐标为 ?1 ，∴ P(?1,?3) ，
又∵l被圆截得的弦长为 23 ，
∴圆心O到直线l的距离 d=1 ，
①当直线l斜率不存在，即 x=?1 时，满足题意；
②当直线l斜率存在时，设 l:y=k(x+1)?3 ，
则 d=|k?3|k2+1=1 ，解得 k=43 ，
∴ l:y=43(x+1)?3 ，即l的方程为 4x?3y?5=0 ；
综上所述，直线l的方程为 x=?1 或 4x?3y?5=0
（2）解：依题意，直线 PA ， PB 与圆O相切， PA⊥AO ， PB⊥BO ，A，B也在以OP为直径的圆上，
设 P(t,?3) ，则 OP 的中点坐标为 (t2,?32) ，∴以 OP 为直径的圆的半径为 12t2+9 ，
∴以 OP 为直径的圆的方程为 (x?t2)2+(y+32)2=14(t2+9)
整理得 x2?tx+y2+3y=0 ①，
又∵ A,B 为切点，圆O的方程 x2+y2=4 ②，
由①-②可得直线 AB 的方程为 tx?3y?4=0 ，易见 x=0 时 y=?43 ，
故直线 AB 恒过定点 (0,?43) ．
【解析】(1)先根据弦长求得圆心O到直线l的距离，利用距离列关系求斜率即可，注意考虑斜率不存在的情况；(2)先判断A，B也在以OP为直径的圆上，两圆作差即得相交弦所在直线 AB 的方程，再判断定点即可.
15.【答案】 （1）解：由题可知，圆M的半径 r=1 ，设 P(?2b,b) ，
因为PA是圆M的一条切线，所以 ∠MAP=90° ，
所以 |MP|=(0+2b)2+(2?b)2=|AM|2+|AP|2=2 ，
解得 b=0 或 b=45 ，
所以点P的坐标为 P(0,0) 或 P(?85,45)
（2）解：设 P(?2b,b) ，因为 ∠MAP=90° ，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为 (x+b)2+(y?b+22)2=4b2+(b?2)24 ，
即 (2x?y+2)b+(x2+y2?2y)=0 ，
由 {2x?y+2=0x2+y2?2y=0 ，
解得 {x=0y=2 或 {x=?45y=25 ，
所以圆过定点 (0,2) ， (?45,25)
（3）解：因为圆N方程为 (x+b)2+(y?b+22)2=4b2+(b?2)24 ，
即 x2+y2+2bx?(b+2)y+2b=0 ①
又圆 M:x2+y2?4y+3=0 ②
①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
2bx?(b?2)y+2b?3=0 ．
点 M(0,2) 到直线AB的距离 d=15b2?4b+4 ，
所以相交弦长 |AB|=21?d2=21?15d2?4b+4
=21?15(b?25)2+165 ，
所以当 b=25 时，AB有最小值 112
【解析】（1）设 P(?2b,b) ，由 |MP|=|AM|2+|AP|2 ，计算即可求得 b ，得出结果；（2）因为A、P、M三点的圆N以MP为直径，所以圆 N 的方程为 (x+b)2+(y?b+22)2=4b2+(b?2)24 ，化简为 (2x?y+2)b+(x2+y2?2y)=0 ，由方程恒成立可知 {2x?y+2=0x2+y2?2y=0 ，即可求得动圆所过的定点；（3）由圆 M 和圆 N 方程作差可得直线 AB 方程，设点 M(0,2) 到直线AB的距离 d ，则 |AB|=21?d2 ，计算化简可得结果.
16.【答案】 （1）解：设点 P 的坐标为 (x,y) ，
由 |PA|=2|PB| 可得，
x2+(y?4)2=2x2+(y?1)2 ，
整理可得 x2+y2=4 ，
所以曲线 E 的轨迹方程为 x2+y2=4
（2）解：依题意， OC=OD=2 ，且 ∠COD=120° ，
则点 O 到 CD 边的距离为 1 ，
即点 O(0,0) 到直线 l:kx?y?4=0 的距离 4k2+1=1 ，
解得 k=±15 ，
所以直线 l 的斜率为 ±15 .
（3）解：依题意， ON⊥QN,OM⊥QM ，
则 M，N 都在以 OQ 为直径的圆 F 上，
Q是直线 l:y=x?4 上的动点，
设 Q(t,t?4)
则圆F的圆心为 (t2,t?42) ，且经过坐标原点，
即圆的方程为 x2+y2?tx?(t?4)y=0 ，
又因为 M,N 在曲线 E:x2+y2=4 上，
由 {x2+y2=4x2+y2?tx?(t?4)y=0 ，
可得 tx+(t?4)y?4=0
即直线 MN 的方程为 tx+(t?4)y?4=0
由 t∈R 且 t(x+y)?4y?4=0 可得，
{x+y=04y+4=0 解得 {x=1y=?1 ，
所以直线 MN 是过定点 (1,?1) .
【解析】（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由 ∠COD=120° ，则点O到 CD 边的距离为 1 ，由点到线的距离公式得直线 l 的斜率；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设 Q(t,t?4) ，则圆 F 的圆心为 (t2,t?42) 运用直径式圆的方程，得直线 MN 的方程为 tx+(t?4)y?4=0 ，结合直线系方程，即可得到所求定点．