3.2双曲线-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2双曲线-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 146.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-02 21:24:25 | ||
图片预览
文档简介
1090930011671300安徽省2020-2021学年第一学期人教A版（2019）选择性必修第一册3.2节双曲线课后练习
一、单选题
1．已知双曲线false：false的右顶点为false，任意一条平行于false轴的直线交false于false，false两点，总有false，则双曲线false的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．false是“方程false表示焦点在y轴上的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线false的一条渐近线方程为false，false为双曲线上一个动点，false，false为其左，右焦点，false的最小值为false，则此双曲线的焦距为（ ）.
A．2 B．4 C．false D．false
4．已知双曲线false的左、右焦点分别为false，点M在双曲线C的右支上，点N在线段false上（不与false重合），且false，若false，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．到两定点false的距离之差的绝对值等于6的点false的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段
6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．4 B．－4 C．－false D．false
7．已知双曲线false的离心率为false，则它的一条渐近线被圆false截得的线段长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知双曲线C：false，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若falseOMN为直角三角形，则|MN|=
A．false B．3 C．false D．4
二、填空题
9．已知双曲线false，则点false到false的渐近线的距离为______．
10．已知false，false分别为双曲线falsefalsefalse的左、右焦点，点P是以false为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段false的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为__________．
11．已知直线false与双曲线false的两条渐近线分别交于false两点，若false（false为坐标原点）的面积为false，且双曲线false的离心率为false，则false__________．
12．已知false，false分别是双曲线false的左，右焦点，false是双曲线上在第一象限内的点，若false且false.延长false交双曲线右支于点false，则false的面积等于________．
三、解答题
13.已知椭圆 C:x2a2+y24=1(a>0) 的中心为原点O，左焦点为F，离心率为 53 ，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于 M,N 两点.
（1）若 K(2,1) 为线段 MN 的中点，求直线l的方程.
（2）求点 P 是直线 x=?5a25 上一点，点Q在椭圆C上，且满足 PF?QF=0 ，设直线 PQ 与直线 OQ 的斜率分别为 k1,k2 ，问： k1k2 是否为定值？若是，请求出 k1k2 的值；若不是，请说明理由.
14.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率为 63 ，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 2 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设与圆O： x2+y2=34 相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。
15.已知双曲线 16x2?9y2=144 .
（1）求该双曲线的焦点坐标、离心率；
（2）设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且 |PF1|?|PF2|=32 ，求 ∠F1PF2 的大小.
16.已知曲线 C:x2?y2=1 ，过点 T(t,0) 作直线 l 和曲线 C 交于 A 、 B 两点.
（1）求曲线 C 的焦点到它的渐近线之间的距离；
（2）若 t=0 ，点 A 在第一象限， AH⊥x 轴，垂足为 H ，连结 BH ，求直线 BH 倾斜角的取值范围；
（3）过点 T 作另一条直线 m ， m 和曲线 C 交于 E 、 F 两点，问是否存在实数 t ，使得 AB?EF=0 和 |AB|=|EF| 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数 t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.
参考答案
D2．B3．D4．B5．B6．C7．D8．B9．false10．y＝±2x11．false12．4
13.【答案】 （1）解：设椭圆 C 的半焦距为 c ，由题意可得 {ca=53a2=4+c2 ，解得 a=3 .
故椭圆 C 的方程为 x29+y24=1 .
设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) .易知 x1≠x2 ，
由于点 M ， N 都在椭圆上，所以 {x129+y124=1x229+y224=1 ，
所以 x22?x129+y22?y124=0 .
因为 K(2,1) 为线段 MN 的中点，
所以 kMN=y2?y1x2?x1=?4(x2+x1)9(y2+y1)=?89 .
故直线 l 的方程为 y?1=?89(x?2) ，即 8x+9y?25=0
（2）解：由（1）可知，直线 x=?5a25=?955 ，点 F(?5,0) .
设点 P(?955,t) ， Q(x0,y0) ，
易知 x0≠0 .因为 PF?QF=0 ，
所以 (?5+955,?t)?(?5?x0,?y0)=0 ，得 ty0=4+455x0 .
因为点 Q(x0,y0) 在椭圆 C 上，所以 x029+y024=1 ，即 y02=4(1?x029) .
所以 k1k2=y0?tx0+955?y0x0=y02?ty0x02+955x0=4?49x02?4?455x0x02+955x0=?49 ，
所以 k1k2 的值是定值，且值为 ?49
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c，根据 {ca=53a2=4+c2 求得椭圆C的方程，再根据 K(2,1) 为线段 MN 的中点，利用点差法求解。（2）根据（1）求得直线 x=?5a25 ，点 F 的坐标，设点 P(?955,t) ， Q(x0,y0) ，根据 PF?QF=0 ，得 t,y0,x0 间的关系，再计算 k1k2 .
14.【答案】 解：（I）由题设： ca=63,bc=2 ，
解得 a2=3,b2=1
∴椭圆C的方程为 x23+y2=1
（Ⅱ）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)
⒈当AB ⊥ x轴时， |AB|=3
⒉当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 y=kx+m
由已知 |m|1+k2=32 ，得 m2=34(k2+1)
把 y=kx+m 代入椭圆方程消去y，
整理得 (3k2+1)x2+6kmx+3m2?3=0 ,
有 x1+x2=?6km3k2+1,x1x2=3(m2?1)3k2+1
|AB|2=(1+k2)(x1?x2)2=(1+k2)[36k2m2(3k2+1)2?12(m2?1)3k2+1] ,
=12(k2+1)(3k2+1?m2)(3k2+1)2=3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2 ,
=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6(k≠0) ,
≤3+122×3+6=4 ,
当且仅当 9k2=1k2, ，即 k=±33 时等号成立.
当 k=0 时， |AB|=3
综上所述 |AB|max=2 ，从而△AOB面积的最大值为 32
【解析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率为 63 ，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 2 ，建立方程，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）对直线AB的斜率分类讨论，设直线AB的方程为 y=kx+m ，利用相切可得 m2=34(k2+1) ，与椭圆联立，利用韦达定理可以表示 |AB| ，利用均值不等式求出最值即可得到△AOB面积的最大值
15.【答案】 （1）解：由 16x2?9y2=144 ，得 x29?y216=1 ，∴ a=3 ， b=4 ， c=5 ，
∴焦点为 F1(?5,0) ， F2(5,0) ，离心率 e=53
（2）解：由双曲线的定义，得 ||PF1|?|PF2||=6 ，
∴ cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2?|F1F2|22|PF1||PF2|=(|PF1|?|PF2|)2+2|PF1||PF2|?|F1F2|22|PF1||PF2|
=36+64?10064=0 ，
∴ ∠F1PF2=90° ．
【解析】（1）根据双曲线的标准方程即可写出（2）根据双曲线的定义得 ||PF1|?|PF2||=6 ，结合 |PF1|?|PF2|=32 ，利用余弦定理即可求出.
16.【答案】 （1）解：曲线 C 的焦点为 F1(?2,0),F2(2,0) ，渐近线方程 y=±x ，
由对称性，不妨计算 F2(2,0) 到直线 y=x 的距离， d=|2?0|2=1 .
（2）解：设 l:y=kx(0又因为点 A 在第一象限，所以 0从而 kBH∈(0，12) ，
所以直线 BH 倾斜角的取值范围是 (0,arctan12)
（3）解：当直线 l:y=0 ，直线 m:x=t
|AB|=2,E(0,t2?1),F(0,?t2?1) ， 2t2?1=2?t=±2.
当直线 l:x=t ，直线 m:y=0 时， t=±2
不妨设 l:y=k(x?t)(k≠0) ，与双曲线联立可得 (1?k2)x2+2k2tx?(1+k2t2)=0 ，
由弦长公式， |AB|=1+k2Δ|1?k2|=21+k2(t2?1)k2+1|1?k2|
将 k 替换成 ?1k ，可得 |EF|=2k2+1t2?1+k2|k2?1|
由 |AB|=|EF| ，可得 (t2?1)k2+1=t2?1+k2 ，
解得 t=±2 ，此时 Δ=4(k2t2?k2+1)>0 成立．
因此满足条件的集合为 {?2,2}
【解析】（1）求出曲线 C 的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可；（2）设 l:y=kx(0
一、单选题
1．已知双曲线false：false的右顶点为false，任意一条平行于false轴的直线交false于false，false两点，总有false，则双曲线false的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．false是“方程false表示焦点在y轴上的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线false的一条渐近线方程为false，false为双曲线上一个动点，false，false为其左，右焦点，false的最小值为false，则此双曲线的焦距为（ ）.
A．2 B．4 C．false D．false
4．已知双曲线false的左、右焦点分别为false，点M在双曲线C的右支上，点N在线段false上（不与false重合），且false，若false，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．到两定点false的距离之差的绝对值等于6的点false的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段
6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．4 B．－4 C．－false D．false
7．已知双曲线false的离心率为false，则它的一条渐近线被圆false截得的线段长为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知双曲线C：false，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若falseOMN为直角三角形，则|MN|=
A．false B．3 C．false D．4
二、填空题
9．已知双曲线false，则点false到false的渐近线的距离为______．
10．已知false，false分别为双曲线falsefalsefalse的左、右焦点，点P是以false为直径的圆与C在第一象限内的交点，若线段false的中点Q在C的渐近线上，则C的两条渐近线方程为__________．
11．已知直线false与双曲线false的两条渐近线分别交于false两点，若false（false为坐标原点）的面积为false，且双曲线false的离心率为false，则false__________．
12．已知false，false分别是双曲线false的左，右焦点，false是双曲线上在第一象限内的点，若false且false.延长false交双曲线右支于点false，则false的面积等于________．
三、解答题
13.已知椭圆 C:x2a2+y24=1(a>0) 的中心为原点O，左焦点为F，离心率为 53 ，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于 M,N 两点.
（1）若 K(2,1) 为线段 MN 的中点，求直线l的方程.
（2）求点 P 是直线 x=?5a25 上一点，点Q在椭圆C上，且满足 PF?QF=0 ，设直线 PQ 与直线 OQ 的斜率分别为 k1,k2 ，问： k1k2 是否为定值？若是，请求出 k1k2 的值；若不是，请说明理由.
14.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率为 63 ，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 2 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设与圆O： x2+y2=34 相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。
15.已知双曲线 16x2?9y2=144 .
（1）求该双曲线的焦点坐标、离心率；
（2）设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且 |PF1|?|PF2|=32 ，求 ∠F1PF2 的大小.
16.已知曲线 C:x2?y2=1 ，过点 T(t,0) 作直线 l 和曲线 C 交于 A 、 B 两点.
（1）求曲线 C 的焦点到它的渐近线之间的距离；
（2）若 t=0 ，点 A 在第一象限， AH⊥x 轴，垂足为 H ，连结 BH ，求直线 BH 倾斜角的取值范围；
（3）过点 T 作另一条直线 m ， m 和曲线 C 交于 E 、 F 两点，问是否存在实数 t ，使得 AB?EF=0 和 |AB|=|EF| 同时成立？如果存在，求出满足条件的实数 t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.
参考答案
D2．B3．D4．B5．B6．C7．D8．B9．false10．y＝±2x11．false12．4
13.【答案】 （1）解：设椭圆 C 的半焦距为 c ，由题意可得 {ca=53a2=4+c2 ，解得 a=3 .
故椭圆 C 的方程为 x29+y24=1 .
设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) .易知 x1≠x2 ，
由于点 M ， N 都在椭圆上，所以 {x129+y124=1x229+y224=1 ，
所以 x22?x129+y22?y124=0 .
因为 K(2,1) 为线段 MN 的中点，
所以 kMN=y2?y1x2?x1=?4(x2+x1)9(y2+y1)=?89 .
故直线 l 的方程为 y?1=?89(x?2) ，即 8x+9y?25=0
（2）解：由（1）可知，直线 x=?5a25=?955 ，点 F(?5,0) .
设点 P(?955,t) ， Q(x0,y0) ，
易知 x0≠0 .因为 PF?QF=0 ，
所以 (?5+955,?t)?(?5?x0,?y0)=0 ，得 ty0=4+455x0 .
因为点 Q(x0,y0) 在椭圆 C 上，所以 x029+y024=1 ，即 y02=4(1?x029) .
所以 k1k2=y0?tx0+955?y0x0=y02?ty0x02+955x0=4?49x02?4?455x0x02+955x0=?49 ，
所以 k1k2 的值是定值，且值为 ?49
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c，根据 {ca=53a2=4+c2 求得椭圆C的方程，再根据 K(2,1) 为线段 MN 的中点，利用点差法求解。（2）根据（1）求得直线 x=?5a25 ，点 F 的坐标，设点 P(?955,t) ， Q(x0,y0) ，根据 PF?QF=0 ，得 t,y0,x0 间的关系，再计算 k1k2 .
14.【答案】 解：（I）由题设： ca=63,bc=2 ，
解得 a2=3,b2=1
∴椭圆C的方程为 x23+y2=1
（Ⅱ）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)
⒈当AB ⊥ x轴时， |AB|=3
⒉当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 y=kx+m
由已知 |m|1+k2=32 ，得 m2=34(k2+1)
把 y=kx+m 代入椭圆方程消去y，
整理得 (3k2+1)x2+6kmx+3m2?3=0 ,
有 x1+x2=?6km3k2+1,x1x2=3(m2?1)3k2+1
|AB|2=(1+k2)(x1?x2)2=(1+k2)[36k2m2(3k2+1)2?12(m2?1)3k2+1] ,
=12(k2+1)(3k2+1?m2)(3k2+1)2=3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2 ,
=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6(k≠0) ,
≤3+122×3+6=4 ,
当且仅当 9k2=1k2, ，即 k=±33 时等号成立.
当 k=0 时， |AB|=3
综上所述 |AB|max=2 ，从而△AOB面积的最大值为 32
【解析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率为 63 ，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 2 ，建立方程，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）对直线AB的斜率分类讨论，设直线AB的方程为 y=kx+m ，利用相切可得 m2=34(k2+1) ，与椭圆联立，利用韦达定理可以表示 |AB| ，利用均值不等式求出最值即可得到△AOB面积的最大值
15.【答案】 （1）解：由 16x2?9y2=144 ，得 x29?y216=1 ，∴ a=3 ， b=4 ， c=5 ，
∴焦点为 F1(?5,0) ， F2(5,0) ，离心率 e=53
（2）解：由双曲线的定义，得 ||PF1|?|PF2||=6 ，
∴ cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2?|F1F2|22|PF1||PF2|=(|PF1|?|PF2|)2+2|PF1||PF2|?|F1F2|22|PF1||PF2|
=36+64?10064=0 ，
∴ ∠F1PF2=90° ．
【解析】（1）根据双曲线的标准方程即可写出（2）根据双曲线的定义得 ||PF1|?|PF2||=6 ，结合 |PF1|?|PF2|=32 ，利用余弦定理即可求出.
16.【答案】 （1）解：曲线 C 的焦点为 F1(?2,0),F2(2,0) ，渐近线方程 y=±x ，
由对称性，不妨计算 F2(2,0) 到直线 y=x 的距离， d=|2?0|2=1 .
（2）解：设 l:y=kx(0
所以直线 BH 倾斜角的取值范围是 (0,arctan12)
（3）解：当直线 l:y=0 ，直线 m:x=t
|AB|=2,E(0,t2?1),F(0,?t2?1) ， 2t2?1=2?t=±2.
当直线 l:x=t ，直线 m:y=0 时， t=±2
不妨设 l:y=k(x?t)(k≠0) ，与双曲线联立可得 (1?k2)x2+2k2tx?(1+k2t2)=0 ，
由弦长公式， |AB|=1+k2Δ|1?k2|=21+k2(t2?1)k2+1|1?k2|
将 k 替换成 ?1k ，可得 |EF|=2k2+1t2?1+k2|k2?1|
由 |AB|=|EF| ，可得 (t2?1)k2+1=t2?1+k2 ，
解得 t=±2 ，此时 Δ=4(k2t2?k2+1)>0 成立．
因此满足条件的集合为 {?2,2}
【解析】（1）求出曲线 C 的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可；（2）设 l:y=kx(0