3.1椭圆-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 3.1椭圆-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课后练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 217.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-02 21:23:46 | ||
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文档简介
1186180012446000安徽省2020-2021学年第一学期人教A版（2019）选择性必修第一册3.1节椭圆课后练习
一、单选题
1．已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．设椭圆false的一个焦点为false，点false为椭圆false内一点，若椭圆false上存在一点false，使得false，则椭圆false的离心率的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．椭圆C：false的焦点在x轴上，其离心率为false则椭圆C的长轴长为（ ）
A．2 B．false C．4 D．8
4．若椭圆false的右焦点为F，且与直线false交于P，Q两点，则false的周长为（ ）
A．false B．false C．6 D．8
5．在平面直角坐标系false中，已知椭圆false，过左焦点false倾斜角为false的直线交椭圆上半部分于点false，以false，false为邻边作平行四边形false，若点false在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6．方程false表示椭圆的必要不充分条件是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
7．已知在false中，点false，点false，若false，则点false的轨迹方程为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
8．已知false是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且false，线段false的垂直平分线过false，若椭圆的离心率为false，双曲线的离心率为false，则false的最小值为（ ）
A．false B．3 C．6 D．false
二、填空题
9．椭圆false的焦点坐标是______.
10．过椭圆false上一点P及坐标原点O作直线l与圆false交于A，B两点.若存在一点P满足false，则实数a的取值范围是_________.
11．已知椭圆false与双曲线false有公共的焦点false，false，若false为两曲线的一个交点，则false______.
12．已知椭圆E：false，点P(2，t)，F为椭圆的左焦点，过点P作椭圆的切线PA、PB，切点分别为A、B，则falseABF面积的范围是__________．（经过椭圆false上一点(x0，y0)的椭圆的切线方程是：false）
解答题
13.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1????(a>b>0) 的左、右焦点分别为： F1(?2,0),F2(2,0) ，P为椭圆E上除长轴端点外任意一点， △PF1F2 周长为12．
（1）求椭圆E的方程；
（2）作 ∠F1PF2 的角平分线，与x轴交于点 Q(m,0) ，求实数m的取值范围．
14.已知椭圆 C:x225+y2m2=1(0（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线 x=6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP⊥BQ ，求 △APQ 的面积．
15.已知椭圆C1： x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= 43 |AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
16.已知椭圆 Γ: x2a2+y2b2=1(a>b>0) 左顶点为 A ，离心率为 32 ，且过点 (3,12) .
（1）求 Γ 的方程；
（2）过抛物线 C: y2=2px(p>0) 上一点P的切线 l 交 Γ 于 D,E 两点，线段 DE ， PA 的中点分别为 M,N .求证：对任意 p>0 ，都存在这样的点P，使得 MN 所在直线平行于 y 轴.
参考答案
A2．C3．C4．B5．D6．B7．B8．C9．false10．false11．312．false
13.【答案】 （1）解：依题意可得 c=2 ，∵ △PF1F2 周长为12，∴ 2a+2c=12 ，所以 2a=12?4=8 ，
所以 a=4 ，所以 b2=a2?c2=16?4=12 ，
∴椭圆E的方程为 x216+y212=1
（2）解：在 △PF1F2 中， |PF1|∈(a?c,a+c) 即 |PF1|∈(2,6) ，
∵ PQ 为 ∠F1PF2 的角平分线
∴ |QF1||PF1|=|QF2||PF2|
由合比性质得 |QF1||PF1|=|QF2||PF2|=|QF1|+|QF2||PF1|+|PF2|=2c2a=12
即 |QF1|=12|PF1| ，
∵ |QF1|=m?(?2)=m+2 ，
∴ m+2∈(1,3) ，
∴ m∈(?1,1) .
【解析】（1）根据焦点坐标求出 c=2 ，根据 △PF1F2 周长求出 a=4 ，根据 b2=a2?c2 求出 b2=12 ，从而可得椭圆E的方程；（2）在 △PF1F2 中， |PF1|∈(2,6) ，根据角平分线长定理得到 |QF1||PF1|=|QF2||PF2| ，再根据合比性质得 |QF1|=12|PF1| ，根据 |QF1|=m?(?2)=m+2 和 |PF1|∈(2,6) 可解得结果
14.【答案】 （1）解： ∵ C:x225+y2m2=1(0∴ a=5 ， b=m ，
根据离心率 e=ca=1?(ba)2=1?(m5)2=154 ，
解得 m=54 或 m=?54 (舍)，
∴ C的方程为： x225+y2(54)2=1 ，
即 x225+16y225=1
（2）解： ∵ 点P在C上，点Q在直线 x=6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP⊥BQ ，
过点P作x轴垂线，交点为M，设 x=6 与x轴交点为N
根据题意画出图形，如图
∵ |BP|=|BQ| ， BP⊥BQ ， ∠PMB=∠QNB=90° ，
又 ∵ ∠PBM+∠QBN=90° ， ∠BQN+∠QBN=90° ，
∴ ∠PBM=∠BQN ，
根据三角形全等条件“ AAS ”，
可得： △PMB?△BNQ ，
∵ x225+16y225=1 ，
∴ B(5,0) ，
∴ |PM|=|BN|=6?5=1 ，
设 P 点为 (xP,yP) ，
可得 P 点纵坐标为 yP=1 ，将其代入 x225+16y225=1 ，
可得： xP225+1625=1 ，
解得： xP=3 或 xP=?3 ，
∴ P点为 (3,1) 或 (?3,1) ，
①当 P 点为 (3,1) 时，
故 |MB|=5?3=2 ，
∵ △PMB?△BNQ ，
∴ |MB|=|NQ|=2 ，
可得：Q点为 (6,2) ，
画出图象，如图
∵ A(?5,0) , Q(6,2) ，
可求得直线 AQ 的直线方程为： 2x?11y+10=0 ，
根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为： d=|2×3?11×1+10|22+112=|5|125=55 ，
根据两点间距离公式可得： |AQ|=(6+5)2+(2?0)2=55 ，
∴ △APQ 面积为： 12×55×55=52 ；
②当 P 点为 (?3,1) 时，
故 |MB|=5+3=8 ，
∵ △PMB?△BNQ ，
∴ |MB|=|NQ|=8 ，
可得：Q点为 (6,8) ，
画出图象，如图
∵ A(?5,0) , Q(6,8) ，
可求得直线 AQ 的直线方程为： 8x?11y+40=0 ，
根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为： d=|8×(?3)?11×1+40|82+112=|5|185=5185 ，
根据两点间距离公式可得： |AQ|=(6+5)2+(8?0)2=185 ，
∴ △APQ 面积为： 12×185×5185=52 ，
综上所述， △APQ 面积为： 52 .
【解析】（1）因为 C:x225+y2m2=1(015.【答案】 （1）解： ∵F(c,0) ， AB⊥x 轴且与椭圆 C1 相交于A、B两点，
则直线 AB 的方程为 x=c ，
联立 {x=cx2a2+y2b2=1a2=b2+c2 ，解得 {x=cy=±b2a ，则 |AB|=2b2a ，
抛物线 C2 的方程为 y2=4cx ，联立 {x=cy2=4cx ，
解得 {x=cy=±2c ， ∴|CD|=4c ，
∵|CD|=43|AB| ，即 4c=8b23a ， 2b2=3ac ，
即 2c2+3ac?2a2=0 ，即 2e2+3e?2=0 ，
∵0（2）解：由（1）知 a=2c ， b=3c ，椭圆 C1 的方程为 x24c2+y23c2=1 ，
联立 {y2=4cxx24c2+y23c2=1 ，消去 y 并整理得 3x2+16cx?12c2=0 ，
解得 x=23c 或 x=?6c （舍去），
由抛物线的定义可得 |MF|=23c+c=5c3=5 ，解得 c=3 .
因此，曲线 C1 的标准方程为 x236+y227=1 ，
曲线 C2 的标准方程为 y2=12x .
【解析】（1）求出 |AB| 、 |CD| ，利用 |CD|=43|AB| 可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆 C1 的离心率的值；（2）由（1）可得出 C1 的方程为 x24c2+y23c2=1 ，联立曲线 C1 与 C2 的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合 |MF|=5 可求得c的值，进而可得出 C1 与 C2 的标准方程.
16.【答案】 （1）解： ∵ 椭圆的离心率为 ca=32 ， ∴c=32a ，则 b2=a2?c2=14a2 ，
∵ 椭圆 Γ ： x2a2+y214a2=1 过点 (3,12) ，
∴3a2+1a2=1 ，解得 a2=4 ，则 b2=14a2=1 ，
∴ 椭圆 Γ 的方程为 x24+y2=1 ；
（2）解：设 P(t22p,t) ， D(x1,y1) ， E(x2,y2) ，
抛物线 y=±2px ，求导得 y′=±122px ，
若 t>0 ，则抛物线在点 P(t22p,t) 处的切线斜率为 122p×2pt2=pt ，
若 t<0 ，则抛物线在点 P(t22p,t) 处的切线斜率为 ?122p×2pt2=pt ，
所以抛物线在点 P(t22p,t) 处的切线 l:y?t=pt(x?t22p) ，
由 {l:y?t=pt(x?t22p)x2+4y2?4=0 ，可得： (4p2t2+1)x2+4px+t2?4=0 ，
即 x1+x2=?4pt24p2+t2 ， Δ>0?t4?4t2?16p2<0 ①
要证 MN 所在直线平行于 y 轴即证： x1+x2=?4pt24p2+t2=t22p?2 ，即 t4+(12p2?4p)t2?16p3=0 ②
令 t2=y(y>0) ，则 y2+(12p2?4p)y?16p3=0 ，由 Δ=(12p2?4p)2+64p3>0
可知必有两解 y1 ， y2 ，且 y1?y2<0 ，故对任意 p>0 必存在 y2>0 ，从而存在 t2=8p29p2?2p+1+(3p?1) .
由②可知 ?4pt2?16p3=?t4?12p2t2 ，从而 p(t4?4t2?16p2)=(p?1)t4?12p2t2
当 p=1 时， p(t4?4t2?16p2)<0 ，从而①式成立；
当 00 ， p(t4?4t2?16p2)=t2(p?1)(t2?12p2(p?1))<0 ，从而①式成立；
当 p>1 时， 9p2?2p+1+(3p?1)=(p?1)+9p2?2p+1+2p>(p?1)>0 ， t2?12p2(p?1)<0 ，从而①式成立；
因此满足②的解 t 也满足①式，从而对任意 p>0 ，都存在这样的点P，使得 MN 所在直线平行于 y 轴.
【解析】（1）利用离心率可用a表示c、b，则椭圆 Γ ： x2a2+y214a2=1 ，代入特殊点 (3,12) 即可求得a、b，从而写出椭圆的方程；（2）设 P(t22p,t) ，求出抛物线在点P处的切线方程与椭圆方程联立得关于x的一元二次方程，根据韦达定理用 p、t 表示出 x1+x2 ，要证 MN 所在直线平行于 y 轴即证： x1+x2=?4pt24p2+t2=t22p?2 ，分类讨论证明满足 t4+(12p2?4p)t2?16p3=0 的解也满足 Δ>0?t4?4t2?16p2<0 式成立即可
一、单选题
1．已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．设椭圆false的一个焦点为false，点false为椭圆false内一点，若椭圆false上存在一点false，使得false，则椭圆false的离心率的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．椭圆C：false的焦点在x轴上，其离心率为false则椭圆C的长轴长为（ ）
A．2 B．false C．4 D．8
4．若椭圆false的右焦点为F，且与直线false交于P，Q两点，则false的周长为（ ）
A．false B．false C．6 D．8
5．在平面直角坐标系false中，已知椭圆false，过左焦点false倾斜角为false的直线交椭圆上半部分于点false，以false，false为邻边作平行四边形false，若点false在椭圆上，则椭圆的标准方程为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6．方程false表示椭圆的必要不充分条件是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
7．已知在false中，点false，点false，若false，则点false的轨迹方程为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
8．已知false是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且false，线段false的垂直平分线过false，若椭圆的离心率为false，双曲线的离心率为false，则false的最小值为（ ）
A．false B．3 C．6 D．false
二、填空题
9．椭圆false的焦点坐标是______.
10．过椭圆false上一点P及坐标原点O作直线l与圆false交于A，B两点.若存在一点P满足false，则实数a的取值范围是_________.
11．已知椭圆false与双曲线false有公共的焦点false，false，若false为两曲线的一个交点，则false______.
12．已知椭圆E：false，点P(2，t)，F为椭圆的左焦点，过点P作椭圆的切线PA、PB，切点分别为A、B，则falseABF面积的范围是__________．（经过椭圆false上一点(x0，y0)的椭圆的切线方程是：false）
解答题
13.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1????(a>b>0) 的左、右焦点分别为： F1(?2,0),F2(2,0) ，P为椭圆E上除长轴端点外任意一点， △PF1F2 周长为12．
（1）求椭圆E的方程；
（2）作 ∠F1PF2 的角平分线，与x轴交于点 Q(m,0) ，求实数m的取值范围．
14.已知椭圆 C:x225+y2m2=1(0
（2）若点P在C上，点Q在直线 x=6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP⊥BQ ，求 △APQ 的面积．
15.已知椭圆C1： x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= 43 |AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
16.已知椭圆 Γ: x2a2+y2b2=1(a>b>0) 左顶点为 A ，离心率为 32 ，且过点 (3,12) .
（1）求 Γ 的方程；
（2）过抛物线 C: y2=2px(p>0) 上一点P的切线 l 交 Γ 于 D,E 两点，线段 DE ， PA 的中点分别为 M,N .求证：对任意 p>0 ，都存在这样的点P，使得 MN 所在直线平行于 y 轴.
参考答案
A2．C3．C4．B5．D6．B7．B8．C9．false10．false11．312．false
13.【答案】 （1）解：依题意可得 c=2 ，∵ △PF1F2 周长为12，∴ 2a+2c=12 ，所以 2a=12?4=8 ，
所以 a=4 ，所以 b2=a2?c2=16?4=12 ，
∴椭圆E的方程为 x216+y212=1
（2）解：在 △PF1F2 中， |PF1|∈(a?c,a+c) 即 |PF1|∈(2,6) ，
∵ PQ 为 ∠F1PF2 的角平分线
∴ |QF1||PF1|=|QF2||PF2|
由合比性质得 |QF1||PF1|=|QF2||PF2|=|QF1|+|QF2||PF1|+|PF2|=2c2a=12
即 |QF1|=12|PF1| ，
∵ |QF1|=m?(?2)=m+2 ，
∴ m+2∈(1,3) ，
∴ m∈(?1,1) .
【解析】（1）根据焦点坐标求出 c=2 ，根据 △PF1F2 周长求出 a=4 ，根据 b2=a2?c2 求出 b2=12 ，从而可得椭圆E的方程；（2）在 △PF1F2 中， |PF1|∈(2,6) ，根据角平分线长定理得到 |QF1||PF1|=|QF2||PF2| ，再根据合比性质得 |QF1|=12|PF1| ，根据 |QF1|=m?(?2)=m+2 和 |PF1|∈(2,6) 可解得结果
14.【答案】 （1）解： ∵ C:x225+y2m2=1(0
根据离心率 e=ca=1?(ba)2=1?(m5)2=154 ，
解得 m=54 或 m=?54 (舍)，
∴ C的方程为： x225+y2(54)2=1 ，
即 x225+16y225=1
（2）解： ∵ 点P在C上，点Q在直线 x=6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP⊥BQ ，
过点P作x轴垂线，交点为M，设 x=6 与x轴交点为N
根据题意画出图形，如图
∵ |BP|=|BQ| ， BP⊥BQ ， ∠PMB=∠QNB=90° ，
又 ∵ ∠PBM+∠QBN=90° ， ∠BQN+∠QBN=90° ，
∴ ∠PBM=∠BQN ，
根据三角形全等条件“ AAS ”，
可得： △PMB?△BNQ ，
∵ x225+16y225=1 ，
∴ B(5,0) ，
∴ |PM|=|BN|=6?5=1 ，
设 P 点为 (xP,yP) ，
可得 P 点纵坐标为 yP=1 ，将其代入 x225+16y225=1 ，
可得： xP225+1625=1 ，
解得： xP=3 或 xP=?3 ，
∴ P点为 (3,1) 或 (?3,1) ，
①当 P 点为 (3,1) 时，
故 |MB|=5?3=2 ，
∵ △PMB?△BNQ ，
∴ |MB|=|NQ|=2 ，
可得：Q点为 (6,2) ，
画出图象，如图
∵ A(?5,0) , Q(6,2) ，
可求得直线 AQ 的直线方程为： 2x?11y+10=0 ，
根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为： d=|2×3?11×1+10|22+112=|5|125=55 ，
根据两点间距离公式可得： |AQ|=(6+5)2+(2?0)2=55 ，
∴ △APQ 面积为： 12×55×55=52 ；
②当 P 点为 (?3,1) 时，
故 |MB|=5+3=8 ，
∵ △PMB?△BNQ ，
∴ |MB|=|NQ|=8 ，
可得：Q点为 (6,8) ，
画出图象，如图
∵ A(?5,0) , Q(6,8) ，
可求得直线 AQ 的直线方程为： 8x?11y+40=0 ，
根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为： d=|8×(?3)?11×1+40|82+112=|5|185=5185 ，
根据两点间距离公式可得： |AQ|=(6+5)2+(8?0)2=185 ，
∴ △APQ 面积为： 12×185×5185=52 ，
综上所述， △APQ 面积为： 52 .
【解析】（1）因为 C:x225+y2m2=1(0
则直线 AB 的方程为 x=c ，
联立 {x=cx2a2+y2b2=1a2=b2+c2 ，解得 {x=cy=±b2a ，则 |AB|=2b2a ，
抛物线 C2 的方程为 y2=4cx ，联立 {x=cy2=4cx ，
解得 {x=cy=±2c ， ∴|CD|=4c ，
∵|CD|=43|AB| ，即 4c=8b23a ， 2b2=3ac ，
即 2c2+3ac?2a2=0 ，即 2e2+3e?2=0 ，
∵0
联立 {y2=4cxx24c2+y23c2=1 ，消去 y 并整理得 3x2+16cx?12c2=0 ，
解得 x=23c 或 x=?6c （舍去），
由抛物线的定义可得 |MF|=23c+c=5c3=5 ，解得 c=3 .
因此，曲线 C1 的标准方程为 x236+y227=1 ，
曲线 C2 的标准方程为 y2=12x .
【解析】（1）求出 |AB| 、 |CD| ，利用 |CD|=43|AB| 可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆 C1 的离心率的值；（2）由（1）可得出 C1 的方程为 x24c2+y23c2=1 ，联立曲线 C1 与 C2 的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合 |MF|=5 可求得c的值，进而可得出 C1 与 C2 的标准方程.
16.【答案】 （1）解： ∵ 椭圆的离心率为 ca=32 ， ∴c=32a ，则 b2=a2?c2=14a2 ，
∵ 椭圆 Γ ： x2a2+y214a2=1 过点 (3,12) ，
∴3a2+1a2=1 ，解得 a2=4 ，则 b2=14a2=1 ，
∴ 椭圆 Γ 的方程为 x24+y2=1 ；
（2）解：设 P(t22p,t) ， D(x1,y1) ， E(x2,y2) ，
抛物线 y=±2px ，求导得 y′=±122px ，
若 t>0 ，则抛物线在点 P(t22p,t) 处的切线斜率为 122p×2pt2=pt ，
若 t<0 ，则抛物线在点 P(t22p,t) 处的切线斜率为 ?122p×2pt2=pt ，
所以抛物线在点 P(t22p,t) 处的切线 l:y?t=pt(x?t22p) ，
由 {l:y?t=pt(x?t22p)x2+4y2?4=0 ，可得： (4p2t2+1)x2+4px+t2?4=0 ，
即 x1+x2=?4pt24p2+t2 ， Δ>0?t4?4t2?16p2<0 ①
要证 MN 所在直线平行于 y 轴即证： x1+x2=?4pt24p2+t2=t22p?2 ，即 t4+(12p2?4p)t2?16p3=0 ②
令 t2=y(y>0) ，则 y2+(12p2?4p)y?16p3=0 ，由 Δ=(12p2?4p)2+64p3>0
可知必有两解 y1 ， y2 ，且 y1?y2<0 ，故对任意 p>0 必存在 y2>0 ，从而存在 t2=8p29p2?2p+1+(3p?1) .
由②可知 ?4pt2?16p3=?t4?12p2t2 ，从而 p(t4?4t2?16p2)=(p?1)t4?12p2t2
当 p=1 时， p(t4?4t2?16p2)<0 ，从而①式成立；
当 0
当 p>1 时， 9p2?2p+1+(3p?1)=(p?1)+9p2?2p+1+2p>(p?1)>0 ， t2?12p2(p?1)<0 ，从而①式成立；
因此满足②的解 t 也满足①式，从而对任意 p>0 ，都存在这样的点P，使得 MN 所在直线平行于 y 轴.
【解析】（1）利用离心率可用a表示c、b，则椭圆 Γ ： x2a2+y214a2=1 ，代入特殊点 (3,12) 即可求得a、b，从而写出椭圆的方程；（2）设 P(t22p,t) ，求出抛物线在点P处的切线方程与椭圆方程联立得关于x的一元二次方程，根据韦达定理用 p、t 表示出 x1+x2 ，要证 MN 所在直线平行于 y 轴即证： x1+x2=?4pt24p2+t2=t22p?2 ，分类讨论证明满足 t4+(12p2?4p)t2?16p3=0 的解也满足 Δ>0?t4?4t2?16p2<0 式成立即可